一个公式的推广

高中立体几何中有这样一个公式：如图1,若面ADC⊥面BDC,则有：COS∠BDA=cos∠BDC×cos∠ADC①     

一道外接球问题的通解

<正>近日,有一朋友与我交流一道外接球问题,做后颇有感悟,特记录下此题与诸位分享.原题三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上,且平面ABC⊥平面BCD,AB=CD=5,AC=8,BD=3,且∠BAC+∠BDC=π,则球O的表面积为_.解析法一(借助双圆模型)令∠BAC=θ,∠BDC=α,由余弦定理知,BC²=AB2=AB²+AC2+AC²-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC2-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC²=BC2=BC²+BD2+BD²-2BC·BD·cosα=34-30cosα;     

一道联赛试题的几何解法

<正>2016年全国初中(初三)数学联赛二试中有这样一道几何题:题目如图1,在△ABC中,AB=8,AC=10.D为△ABC内一点,满足∠ADC=90°,∠ABD=∠ACD,设E为BC的中点,求DE的长.命题组提供参考答案的思路是如图2,作∠CAF=∠BAD,得到△ABD∽△ACF,利用相似三角形的对应线段成比例关系,得出BD与CF、DA与AF之间的数量关系,进而求出DF的长.比较△ADC与△ABH中三个角,可以得到:AF⊥BD.倍长△BDC的中线DE至G,通过证明三角形的     

从圆的定义谈起

湖北教育出版社出版的数学《双基训练》中有这样一道几何题; 在等边三角形ABC外作一锐角∠PAC,在AP上截取AD=BC,求∠BDC的度数(图1) 本题若用直线形知识求解,则过程较繁,即∠BDC=(1/2)(180°-∠CAD)-∠ADB=90°-(1/2)∠CAD-(1/2)(180°-60°--∠CAD)=90°-(1/2)∠CAD-60° ∠CAD=30°若用圆的定义解此题,则可达事半功倍的效果。由题设知AD=AC=AB=BC,即点D,     

避开相似 充分利用三角函数

<正>对于有公共角或等角的直角三角形,我们可以避开相似,充分利用三角函数的定义解题,这样更为简洁,下面举例说明.引例如图1,CD是Rt△ABC的斜边上的高,求证:(1)BC2=AB·BD;(2)CD2=AD·BD.证明(1)∵Rt△ABC中,cos∠B=BC AB,而在Rt△BCD中,cos∠B=BD/BC,∴BC AB=BD/BC,即BC2=AB·BD.(2)∵∠B、∠ACD都与∠A互余,∴∠B=∠ACD.∵Rt△BCD中,tan∠B=CD/BD,     

由一道习题引发的探究

<正>老师总说:只要思考,数学探究无处不在.只有亲身经历过一次数学探究之旅后才能对这句话有深刻的体会.引发我们思考的是一道作业中的题目:如图1,△ABC是等边三角形,E,F分别在AB,AC上,△DBC是等腰三角形,BD=DC,∠BDC=120°,∠BDC=2∠EDF,AB=2.求△AEF的周长.     

四边形的一个性质及其推论

<正>性质如图1,在四边形ABCD中,若∠BAD+∠BCD=α(0°<α≤180°),则(AC·BD)²=(AB·CD)2=(AB·CD)²+(AD·BC)2+(AD·BC)²-2AB·BC·CD·ADcosα.证明如图2,过点A、D分别作射线AE、DE交于点E,且使∠DAE=∠BCD、∠ADE=∠BDC,则△EDA∽△BDC.     

构造辅助圆巧解中考题

<正>先看2015年山东威海的一道中考题:如图1,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为().(A)68°(B)88°(C)90°(D)112°本题若按常规方法,可利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理,通过列方程求解.设∠CAD=α.由AB=AC=AD,     

一题一议话转化

例 一个零件的形 状如图1所示,零件要求 ∠A应等于90°,∠B和 ∠C应分别为35°和23°, 检验工人量得∠BDC= 151°就判定这个零件不 合格,你知道为什么吗?能否运用有关知识 说明不合格的理由?     

解三角形中的增根问题

<正>一、从一具体问题的求解谈起2013年北京市高考数学卷中,有这样一道题:在△ABC中,已知∠B=2∠A,a=3,b=26^(1/2),(1)求cos A;(2)计算边c的值.此题第一问可以很容易求出:∵∠B=2∠A,sinB=2sinAcosA.根据正弦定理,sinB/sinA=b/a,     

四面体的一个体积公式--三面角的棱面角公式的一个应用

文 [1 ]给出了三面角中棱与面所成角与三面角之间的关系如下 :定理 1　在三面角S—A1 B1 C1 中 ,三个面角∠C1 SB1 =α ,∠A1 SC1 =β,∠A1 SB1 =γ ,且棱SA1 和平面C1 SB1 所成的棱面角为θ1 ,棱SB1 和平面A1 SC1 所成的棱面角为θ2 ,棱SC1 与平面A1 SB1 所成棱面角为θ3,则cosθ1 =cos2 β+cos2 γ- 2cosαcosβcosγsinα ,cosθ2 =cos2 γ+cos2 α- 2cosαcosβcosγsinβ ,cosθ3 =cos2 α +cos2 β- 2cosαcosβcosγsinγ .(三面角的棱面角的余弦公式 )文 [2 ]给出了定理 1的一个简证 .受定理 1启发 ,如图 ,若分别在SA1…     

1.多余的条件

初中几何课本中有这样一题:在ΔABC中,AB=AC,点O在形内,∠AOB>∠AOC,求证:OC>OB。甲同学的证法是:如图1,以AC为边在ΔABC外作ΔACD≌ΔABO,连OD,则∠AOB=∠ADC,     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

初中平面几何基础培优讲座之十 正三角形综合练习(下)

<正>例12(1991年北京市中学生数学竞赛初二年级复赛试题四)如图11,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作ー个60°的角,角的两边分别交AB于M,交AC于N.连接MN,形成一个三角形AMN.求证,△AMN的周长等于2.证明因为∠ABC=∠ACB=60°,∠CBD=∠BCD=30°.     

一道立几习题的应用

六年制重点中学高中数学教材第二册第100页总复习参考题第3题: 如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1cosθ_2=cosθ。 (I) 该命题可以看成三垂线定理的推广,在立体几何中有广泛的应用。一为了突出图形的特点,可以把上述命题改写成如下形式: 从直二面角棱上一点在两个面内任引两条射线,则射线与棱的夹角的余弦之积等于这两条射线夹角的余弦。用它来解决一类折叠成直二面角的立几题往往十分简捷。     

莫利定理的简洁证明

莫利定理　任意三角形每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正三角形 .证明　如图 1,在任意△ ABC内部构造△ BDC,使∠ DBC =∠ B3,∠ DCB =∠ C3,又作△ BDF,使∠ DBF =∠ B3,∠ BDF =6 0° ∠ C3,使 DF交 BF于 F,作正△ DFE,则∠ EDC =6 0° ∠ B3.又连结 EC,分别延长BD与 C     

数学问题解答

2005年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)6在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D,E在上,且∠DAE=60°,过A,D,E的圆交AB于P,AC于Q.(1)当BP CQ=EP DQ时,求∠BAD的度;(2)当AP=21CQ时,求∠BAD的度数.(福建厦门九中陈四川361004)解:(1)连结DP,EQ.∠B=∠C=30°,设∠BADα,∠CAE=β,α β=60°;⊙ADE的半径为R.因为∠ADC=∠1,∠C为公共角.所以△CDA△CQE,ACDD=ECQQ,CQ=EQ·ACDD.同理:BP=PD·ABEE.BP CQ=2R·sinα·sin(sαin B60°) 2R·sinβn(β 60°)sinC=4R[sinα·sin(α 60°) sinβ·β 60°)]=2R[cos60…     

成比例线段证题中的“面积法”

三角形面积公式,不仅可用来计算有关图形的面积,而且在证题方面也有较广泛的应用。本文仅就用它来证明有关成比例线段略举几例,思路常是运用面积相等或面积之比使其获证。若恰当地运用三角函数关系往往更为简便。例1 圆内接四边形ABCD的对角线AC平分另一对角线BD于E,求证:AB/AD=DC/BC。分析:结论即求证:AB·BC=AD·DC,∠ABC=180°-∠ADC,于是变为求证: (1/2)AB·BCsin∠ABC=(1/2)AD·DCsin(180°-∠ADC), 根据三角形面积公式,可考虑S_(△ABC)=S_(△ADC)。     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

2011年全国高中联赛一道题的三种解法

<正>(2011年高中数学联赛第六题)在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知:四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中,对直角三角形