赏析均值不等式的妙用四例

利用均值不等式可以求一类函数的最值．本文给出均值不等式在求函数最值中的妙用四例,供同学们赏析．     

应用均值不等式的“技巧”

均值不等式√ab≤a＋b/2（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时取等号）是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解慕些函数最值问题的有效工具．     

均值代换和不等式的证明

设ｘ≥ 0 ,ｙ≥ 0 .作为算术平均———几何平均不等式Ａ ≥Ｇ的应用 ,我们把代换Ａ =ｘ ｙ2Ｇ =ｘｙ叫做均值代换 .在这样的代换下有 :ｘ ｙ =2Ａ ,ｘｙ=Ｇ2 ,(ｘ -ｙ) 2 =4Ａ2 - 4Ｇ2 =4(Ａ Ｇ) (Ａ-Ｇ)ｘ2 ｙ2 =4Ａ2 - 2Ｇ2 =2 (2Ａ2 -Ｇ2 )ｘ3 ｙ3=8Ａ3- 6ＡＧ2 =2Ａ(4Ａ2 - 3Ｇ2 )……由于ｍａｘ(ｘ ,ｙ)≥Ａ≥Ｇ≥ｍｉｎ(ｘ ,ｙ) ≥ 0 ,因此应用均值代换法证不等式特别利于放缩 ,能起化难为易的作用 ,收事半功倍的效果 .例 1　 (美国纽约 ,1 975 )证明 ,对任意正数ａ≠ｂ之算术平均值Ａ=ａ ｂ2 与几何平均值Ｂ=ａｂ ,有Ｂ <(ａ-ｂ) …     

均值不等式求最值“失效”时的对策

运用均值不等式是求最值的一种常用方法。但由于其约束条件苛刻．不少同学在使用时往往顾此失彼．从而导致均值不等式“失效”，下面例说几种常用的处理策略。     

函数均值不等式及其应用

利用函数均值不等式修正了两个积分不等式,简证了两道考研题.     

应用均值不等式的推广证不等式

文[1]用列表法证明了算术——几何平均数不等式的推广．本文应用均值不等式的推广证明一些不等式．为了阅读方便，将均值不等式的推广择录如下：     

巧用均值不等式求条件分式最值

你面对在某种条件下,求分式趣题的最值（2011）问题,倘若一时想不出适当的解法,走到山穷水尽的地步,不妨试一试构造均值不等式,它能使你走向柳暗花明的前程．     

用均值不等式求最值取等号的错因剖析

用均值不等式求最值是高中代数教学的一个重点和难点，也是高考在综合题、应用题中出现频率很高的知识点．运用时必须注意三个限制条件，即“一正、二定、三取等”．笔者在教学实践中，发现很多同学在“取等”这一环节上由于观察不仔细，条件分析不充分，知识方法应用不恰当等原因，经常出现错而不知的现象．本文拟从多角度剖析运用均值不等式求最值时取错等号的原因，以期引起大家的注意．     

一类无理不等式

近两年 ,各种中学数学刊物对于代数不等式中的分式不等式的讨论颇多 ,但对无理不等式的关注似乎较少 .本文将利用文 [1 ]的结论 ,即下述引理建立几个无理不等式 ,它们或推广或加强了已知不等式或给出已知不等式的反向估计 .引理　设ａ≤ｘｉ ≤ｂ ,ｉ=1 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 2 ,ｘ1 … ｘｎ =ｓ,ｆ(ｘ)是 [ａ ,ｂ]上的连续的严格上凸函数 ,Ｆ(ｘ1 …ｘｎ) =ｆ(ｘ1 ) … ｆ(ｘｎ) ,则Ⅰ　Ｆｍａｘ =Ｆ ｓｎ,… ,ｓｎ =ｎｆ ｓｎ ,即当且仅当ｘ1 =… =ｘｎ 时Ｆ达到最大值 ;Ⅱ　Ｆｍｉｎ =Ｆ(ａ ,… ,ａ ,ｂ ,… ,ｂ ,ｃ) =ｕｆ(ａ) (ｎ - 1 -ｕ…     

构造辅助函数证明不等式

构造辅助函数，然后通过求导的方法考察函数的单调性和最值，是证明不等式的常用方法．其中辅助函数的构造是证明的关键．下面撷取几例．谈谈构造函数的常用方法．     

均值不等式在立体几何中的应用

均值不等式的初始教学是在不等式一章中进行的,应用十分广泛．如果把它迁移到立几中,能够解与最值有关的题目,不过有时要作些技巧性的变形,现举例说明．     

二元均值不等式求三角函数最值

<正>来看这样一个问题:设0相似文献   

赏析均值不等式的妙用四例

利用均值不等式可以求一类函数的最值.本文给出均值不等式在求函数最值中的妙用四例,供同学们赏析.一、与分式约分结合     

不等式的证明

本单元重、难点分析 1)实数的两个特征：①x∈R←→x^2≥0；②任意两实数均可比较大小．由此得到的两实数差的符号与两实数大小比较的关系是证明不等式和解不等式的理论基础和主要依据．     

应用均值不等式证明不等式的λ方法

应用均值不等式证明不等式的λ方法杨涤尘（湖南娄底师范４１７０００）应用均值不等式证明不等式，有时需要较强的配凑技巧．如果恰当地引入参数λ，结合平均值不等式，通过直接对参数λ赋值，或者结合题设条件，通过解方程或方程组确定λ的值，从而导出要证明的不等式．...     

活用均值不等式等号成立条件证难题

怎样证明不等式,大家常将关注落脚点放在不等式使用的技巧上,而对不等式的等号成立条件有所忽略．其实,如果注意合理使用不等式的等号成立条件,常常能帮助我们迅速找到一扇证明不等式难题的思路之门．     

探寻均值不等式与2011年高考数学湖北卷21题之间的关系

一、背景分析本题第一问是一个简单的函数最值问题,利用导数的相关知识就可以解出这一小问．第一小题对于一般考生都是没有难度的,在解第二小题时,可能刚看到,考生会感到有些突兀,     

均值不等式的图解

高中数学第二册 (上 )在习题中指出 :已知a、b都是正数 ,求证 :21 /a 1 /b≤ab≤ a b2 ≤ a2 b22 ,记为H≤G≤A≤Q .即调和平均 (H)≤几何平均(G)≤算术平均 (A) ≤均方根 (Q) .这组公式称为两个正数的均值不等式 ,它们有鲜明的几可背景 .现给出两种图解 .图 1图解Ⅰ　如图 1 ,以a b长的线段为直径作半圆 ,在直径AB上取点C ,作AC=a ,CB =b .过C作垂直于AB的线段交半圆周于D ,连AD ,DB .连OD ,过C作CE⊥OD于E .过O作AB的垂线段交半圆周于F ,连CF .在Rt△ADB中 ,由CD2 =AC·CB ,有CD=ab ;在Rt△COD中 ,由CD2 =DE·O…     

应用均值不等式时如何构造定值

应用均值不等式求最值时,应使和或积为定值．这时往往需要采用“拆项、添项、变系数”等变形技巧构造定值．本文例析若干变形技巧．     

均值不等式的加强及逆向

本文给出关于平均值Ａｎ,Ｇｎ 的两个新的不等式及其等价形式 ,它们可看作均值不等式Ａｎ≥Ｇｎ 的加强及逆向 ,有着许多有趣的应用 .定理　设ｘｉ∈ [ａ ,ｂ] ,0 <ａ <ｂ ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,则有1ｎ ｎｉ=1 (ｘｉ-2ａ) 2 ≥ [( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ -2ａ] 2 (1)1ｎ ｎｉ=1 (2ｂ -ｘｉ) 2 ≤ [2ｂ -( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ] 2 (2 )即　 14ａ[1ｎ ｎｉ=1 ｘ2ｉ-( ｎｉ=1 ｘ2ｉ) 1ｎ]　≥ 1ｎ ｎｉ=1 ｘｉ-( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ (3)　≥ 14ｂ[1ｎ ｎｉ=1 ｘ2ｉ-( ｎｉ=1 ｘ2ｉ) 1ｎ] (4)以上各式取等号的条件均为ｘ1 =ｘ2 =… =ｘｎ.证　易知 (3) …