两个反比例函数图像间的一个有趣性质

对于反比例函数的图像,有一个大家比较熟悉且容易证明的性质:设A是反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点,过A引x、y轴的平行线,分别交y、x轴于点B、C,则|AB|·|AC|=|k|(定值).进一步探究我们发现,将以上性质中的一个反比例函数引申拓     

再析反比例函数的图像性质

<正>反比例函数y=k x中,我们印象最深的莫过于其图像上的每一点对x轴、y轴所构成的矩形的面积相等,都为|k|,就是这条重要特性,我们还可以提示出反比例函数图像的另外两个特征.图1我们知道反比例函数图像关于原点中心对称,直线与反比例函数图像交于A,B两点,若直线AB过原点时,则必有OA=OB.如图1.那么,若直线AB不过原点,还会有相等的情况吗?首先,在平面几何中,我们知道如下基本性质.     

反比例函数的一个性质及其推广

引子如图1,设P（m,n）是反比例函数y=x^k（k≠0）的图象上任意一点,PE⊥x轴,PF⊥y轴,E、F是垂足,则SPEOF=｜k｜．连结OP,     

既约真分数的一个性质

文 [1 ]证明了奇分母既约真分数可表成互不相同的奇数分母的单位分数之和 .即 :设 0 <ｍ<ｎ ,(ｍ ,ｎ) =1 ,ｎ为奇数 ,则存在ｋ个互不相同的奇数ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｋ,使下列等式成立 :ｍｎ =1ｘ1 +1ｘ2 +… +1ｘｋ本文发现既约真分数的又一个性质 ,即 :任何既约真分数都可表成互不相同的偶数分母的单位分数之和 .它与文 [1 ]结果相映成趣 ,但比文 [1 ]的结论更完备 .我们先证如下命题为真 .命题　设ａ≥ 2是自然数 ,则任何小于 2 ａ·3的正整数都可以写成 2 ａ· 3的不同约数之和 ,且每个约数的质因数分解式中含 2的幂最多 (ａ- 1 )次 .证明…     

反比例函数与一次函数图像

下面刊登的两篇短文分别是来自湖南和湖北的刘小杰和范鸿,他们都对我刊曾发表过的一篇文章给出了更多的证明方法,请读者们一共分享,同时也感谢广大读者一直以来对杂志的关爱和支持.     

基于数学理解的“正弦函数图像与性质”教学

随着新课标和新教材的推进和落实,基于数学理解的课堂教学越来越受到重视.笔者以“正弦函数图像与性质”这一内容为例,兼顾数学严谨性和学生认知特点,通过对比上海二期课改教材、人教社A版教材和上教社2020年版新教材中这一部分的差异,探讨如何从学生理解数学概念本质出发,利用研究一般函数的工具和方法来研究具体函数的图像和性质,同时通过两条并行交织的教学主线讨论如何选取适当的教学资源帮助学生突破难点,更好地理解数学内容的本质,落实“四基”,培养“四能”,发展学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养.     

一个性质的另证与补充

文[1]研究并得出了椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质,并通过类比引申,得出了双曲线x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与圆x^2＋y^2=a^2的一个相关性质．     

对一个函数图象结论的证明

文 [1 ]指出了函数ｙ=(ａｘ +ｃ) +ｂｘ +ｄ(ａｂ≠ 0 ,ｃ,ｄ∈Ｒ)的图象是双曲线并给出了证明 ,但由于证明过程中用到了行列式、函数极限等知识 ,不适合向中学生讲解 ,本文将给出一个更“基本”的证明 ,供同行们教学时参考 .证明　由ｙ=(ａｘ +ｃ) +ｂｘ +ｄ 可得ｙ=ａ(ｘ+ｄ) +ｂｘ+ｄ+(ｃ -ａｄ) ,它的图象可由函数ｙ =ａｘ+ｂｘ 的图象沿向量 (-ｄ ,ｃ-ａｄ)平移得到 ,设函数ｙ =ａｘ+ｂｘ 的图象为Ｃ ,将Ｃ绕原点Ｏ顺时针旋转θ(0 <θ<π2 )角得图象Ｃ′,设Ｃ′上任意一点为Ｐ(ｘ,ｙ) ,与它对应的Ｃ上的点为Ｐ′(ｘ′,ｙ′) ,由复数知…     

反比例函数图象的拓展性质

笔者研究发现,反比例函数的图象有一些非常美妙的拓展性质．下面先来认识一下直线与反比例函数图象的基本命题,并把它作为后续推理的基础．     

一个双曲线方程的配方法证明

文 [1 ]证明函数y=(ax+c) + bx+d(ab≠0 ,c、d ∈R)的图象是双曲线中用到了行列式和函数极限等知识 ,文 [2 ]的证明做了改进 ,但由于要用到图象的旋转等复数方面的知识 ,对于不熟悉复数的同学来说 ,仍然难以理解 .本文用配方法给出一个证明 ,所需的知识很浅 ,同学们容易接受 .证明　先将y =(ax+c) + bx+d的图象沿向量 ( -d ,c-ad)平移得到函数y=ax + bx 的图象 ,只需证y=ax+ bx 的图象是双曲线即可 .因为　ab≠ 0 .1 )ab>0时 ,将y =ax+ bx 化为xya -x2 =ba( >0 ) ①设A2 + 1 =B22AB =1a　并在①两边同加上B2 (x2 +y2 ) ,得A2 x2 +B2 y2 …     

正切函数的图像与性质教学设计

本节课的教学内容是正切函数的图像与性质．是在学生已经掌握了三角函数线的前提下,在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上,进一步分析和探究正切函数的图像和性质．因为对于函数的研究方法学生已经基本掌握,在实际学习的过程中,学生对通过函数图像研究函数性质的步骤和手段不会感到很陌生．     

利用单调函数的性质证明一类不等式

文[1]用单调函数的性质,变更定义中的表达形式,非常简单地证明了一类不等式,读后深受启发．如果变更定义中的表达形式为f(x1)-f(x2)＜0(或＞0),f(x2)/f(x1)＞1(或＜1),解决我们常用数学归纳法证明的一类数列不等式,将收到较好的效果．     

复合函数单调性的一个代数运算性质

通过数学归纳法证明了复合函数单调性的一个比较简单实用的性质:设y=f(x)在定义域的某个区间是Nt个单调函数的复合函数,则f(x)的单调性可以由Nt及这Nt个函数中单调递增的函数的个数之和的奇偶性来确定     

基于三次函数图像性质的解题研究

三次函数在高中数学教学中是一个基本的函数,在高考中也屡次出现,对于一些基本的性质学生能够掌握,但对一些延伸的性质需要进一步的研究,特别是对图像整体形态中所具有的性质,本文对此作一些探究分析.     

巧用相似证明双曲线性质

数学问题的解决方法非常多,数形结合往往会得到意想不到的结果．文[1]中作者提出了关于双曲线的一条有趣的性质,并用代数的方法证明,稍显繁琐．现将定理摘录如下：     

三次函数的图像和性质

一元三次函数是高中数学的重要内容,是高考的热点问题,2013年高考数学结束后,笔者发现学生遇到三次函数为背景的问题时感觉力不从心,经了解发现,原因是学生对三次函数的图像和性质掌握的不透彻,对函数性质的理解只是停留在记忆的层面上,达不到用图像和性质熟练解决问题的程度.因此,笔者想在高考专题复习时,教师引导学生系统地探究三次函数的图像和性质,     

三次函数性质与应用

三次函数的图像与性质一直是高考命题的热点,深入研究并利用这些图像与性质可以迅速有效地解决高考数学卷中的部分试题．     

不等式的性质与证明

不等式的基本性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用中，因此它是学习的重点．运用不等式的基本性质解决不等式问题时，应注意性质成立的条件．     

关于最小二乘法估计量性质的一个注记

本文指出了文献[1]中最小二乘法估计量性质证明过程中的不妥之处，并且给出了正确的证明方法。