四个结论的推广

文[1]给出了圆锥曲线中的斜率为定值的四个结论,现考虑将点A分裂成两个点A1、A2,结论会发生怎样的变化？（将一个点分裂成两个点是几何中常见的一种推广结论的手法,这方面有许多成功的案例）笔者经过深入探索研究得到下面的两个命题,现整理成文与大家交流．     

推广一个结论解决一类问题

反思若以O为原点,OP轴为x轴,建立直角坐标系,A（x0,y0）为定点,则切线PA的斜率为定值,BC的斜率为定值,且kBC=-kPA．在椭圆、双曲线、抛物线中是否有类似的结论呢？     

有关圆锥曲线的四组结论及其应用

圆锥曲线是高中数学的主干知识,是高考的重点和热点,但解题时一般由于运算量大、过程复杂,使学生望而生畏,是学生学习的难点.笔者在教学实践中发现,以下有关圆锥曲线的四组结论不仅结构优美,便于记忆,而且在应用中,计算量小,优化了计算过程,降低了思维难度,有利于培养学生的解题能力.结论一经过横向型圆锥曲线的焦点F作倾斜角为目的     

圆锥曲线两个性质的推广

《数学通报》2 0 0 2年第 6期文 [1 ]给出了圆锥曲线的如下两个性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .性质 2　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,点Ｃ在Ｌ上 ,直线ＡＣ平分线段ＥＦ ,则ＢＣ∥ＦＥ .本文旨在将以上两个性质进行推广 ,即若将性质中的焦点Ｆ推广为圆锥曲线 (包括圆 )对称轴上的任意一定点 ,是可得如下若干结论 ,1　性质 1的推广定理 1…     

2011年高考江苏卷第18题的推广与探源

真题再现 如图1,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆x2/4+y2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中点P在第一象限.过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.     

一道高考题的反思及结论探究

(2007年天津卷(理)22题)设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为1/3| OF1 |.(1)证明a=√(2b);(2)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.这里的D点轨迹是一个圆:x2+y2=2b2/3,是本题中由于a,b关系的特殊性决定了存在这样的圆,还是对于一般的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)皆有这样的结论呢?     

对一道圆锥曲线斜率定值问题的探究

本文对2022年新高考全国Ⅰ卷数学第21题斜率定值问题进行解法探究,并将问题进行一般化推广,有利于减轻学生学习负担,培养学生数学运算核心素养.     

一道八校联考解析几何题的推广

湖北省八校2012届高三第一次联考理科第20题如下:已知F是双曲线x2/16-y2/9=1的一个焦点,过F作一条与坐标轴不垂直,且与渐近线也不平行的直线l,交双曲线于A、B两点,线段AB的中垂线l'交x轴于M点.(1)设F为右焦点,直线l的斜率为1,求l'的方程;     

圆锥曲线中的斜率为定值问题

问题提出已知椭圆C过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）． （1）求椭圆C的方程;（2）E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值．     

一道竞赛题的推广

题目如图1,PA,PB为⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过P的直线交⊙O于C,D两点,交弦AB于点Q,求证:PQ~2=PC·PD-QC·QD.这是2009年全国高中数学联赛陕西赛区的一道试题,联想到圆与圆锥曲线的许多结论具有相同之处,笔者试着利用几何画板进行验证,结果是在圆锥曲线中的确有     

第三定义创设，轨迹性质应用——基于几道教材习题的探究

基于教材中同类型的三道例(习)题,通过反思,发展思维,类比拓展,结合相应的逻辑推理与数学运算,得到“有心圆锥曲线”背景下过中心的弦两端点与异于端点的动点连线的斜率之积为常数的轨迹问题,总结规律,挖掘本质,链接高考,指导数学教学与数学学习.     

对圆锥曲线焦点三角形角平分线的一个性质的再推广

圆锥曲线焦点三角形角平分线的性质在各种试题中常常出现,引起大家的关注.本文结合近期几位同仁的工作,对其中内角平分线与切线的关系做了整理,并推广到所有圆锥曲线中.一、推广后的三个定理及其证明问题(2011年北大保送生考试题)点P为双曲线上任一点,PQ为双曲线在点P处的切线,F1、F2为双曲线的焦点.求证:PQ平分∠F1PF2.证明见文[1].此结论可以表述为:定理1点P为双曲线上任一点,F1、F2为双曲线的两焦点,则双曲线在P点处的切线与∠F1PF2的平分线重合.     

一道高考题的求解及推广

题目（2009年高考辽宁数学文科卷第22题）已知椭圆C过点A（1,2^-3）,两个焦点为（-1,0）（1,0）. （1）求椭圆C的方程; （2）E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值．     

圆锥曲线的一个统一性质——一道高考题的推广

题目（2014年高考安徽理卷19题）如图1,已知两条抛物线E1：y^2=2p1x（p1〉O）和E2：y^2=2p2x（p2〉0）,过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点。     

对一道椭圆中两条直线斜率乘积为定值试题的探究

先给出一道广东省2021届高三综合能力测试题的证法,然后将试题的条件一般化,探究得到椭圆的一组性质,类比得到抛物线中的相关性质.     

对一道全国高中数学联赛试题的推广

1问题的提出2011年全国高中数联赛复赛第11题是这样一道题:"作斜率为13的直线l与椭圆x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且点P(32^1/2,2^1/2)在直线l的上方.（1）证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;（2）若∠APB=60°,求△PAB的面积.笔者在对该问题进行探讨时,发现该题中的第（1）小题的结论可以推广到一般情形,即有如下一般     

抛物线的一个几何性质的推广

《数学通报》2 0 0 0 (7)文 [1 ]给出了抛物线的一个几何性质 ,本文把它记为定理 1　设Ａ是抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,Ｂ是Ａ关于ｙ轴的对称点 ,(1 )若过Ａ点引直线与这抛物线相交于Ｐ ,Ｑ两点 (图 1 ) ,则∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ ;(2 )若过Ｂ点引直线与这抛物线相交于Ｐ ,Ｑ两点 (图 2 ) ,则∠ＰＡＢ+∠ＱＡＢ =1 80°.图 1图 2　　定理 1揭示了抛物线对称轴上任意关于顶点对称的两点所具有的性质 ,我们自然要问 :椭圆、双曲线有没有类似的性质呢 ?定理 2　设Ａ ,Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 )长轴上分别…     

圆锥曲线的又一个有趣性质

笔者近日在对圆锥曲线内点性质研究时 ,发现了圆锥曲线内点的一个新颖有趣的性质 .图 1性质 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆Ｅ内部一定点 (异于Ｅ的中心Ｏ) ,过点Ｐ引直线ｌ交椭圆Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、ＯＢ为邻边作平行四边形 (当Ａ、Ｏ、Ｂ三点共线时 ,可视为退化情形 ,下同)ＯＡＱＢ ,则点Ｑ的轨迹是以Ｐ为中心且与椭圆Ｅ有相同离心率的椭圆Ｅ′(当原曲线为圆时 ,点Ｑ轨迹是圆 ) ,同时椭圆Ｅ′过Ｅ的中心 .图 2性质 2　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线Ｅ内部 (含焦点的区域 )一定点 ,Ｅ的中心为Ｏ .过Ｐ引直线ｌ交双曲线Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、…