椭圆“4α三角形”的优美性质

定义 设椭圆x^2/b^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线与椭圆交于A、B两点（不与椭圆长轴端点重合）,由于△ABF1的周长为定值4a,我们定义△ABF1叫椭圆的“4a三角形”．笔者经过探索,得出椭圆“4a三角形”的几个优美性质,现写出来与大家交流、分享．     

挖掘本质，类比探究——圆锥曲线焦点弦的一个优美定值

借助一道有关椭圆焦点弦问题的解决与分析,回归问题本质,归纳拓展结论,从椭圆角度全面推广到双曲线、抛物线,以及更具一般的圆锥曲线问题,得到圆锥曲线焦点弦的一个优美定值,全面深化解题效益,提升解题品质与数学能力,引领并指导数学教学与解题研究.     

另类解法引出意外发现

有一次笔者布置了这样一道解析几何作业题： 题已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1．     

双曲线定长焦点弦条数问题的探究

一次,老师在练习中布置了如下一道题：如图1,过双曲线C：x2-y2/2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若｜AB｜=5,则这样的直线l有（ ）．     

由一道自主招生题的巧解所思

题（2011年同济大学等九校（卓越联盟）自主招生第13题）已知椭圆的两个焦点F1（-1,0）,F2（1,0）,且椭圆与直线y=x-√3再相切．     

借助“一题多解”,进行“一题多变”——以2023年高考数学新高考Ⅱ卷第5题为例

直线与圆锥曲线的位置关系问题,是高考对平面解析几何考查时离不开的一个话题.结合一道高考真题,深入剖析问题,多思维技巧方法应用,展开数学思维技巧与策略,借助各知识视角剖析问题本质,合理变式拓展,发散数学思维,指导数学解题研究与复习备考.     

“心”轨迹 “新”探索

探讨椭圆(双曲线)的焦点三角形的“五心”(重心、内心、垂心、外心、旁心)的轨迹方程.     

“一道高考试题的再推广”的一个修正及补充

文[1]推广了文[2]的两个结论，得到如下命题： 命题1 设A，B分别为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右顶点，P为直线x=u上不同于点（u，0）的任一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，则     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理： 定理1椭圆x^2/^a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0），A（a，0），直线l与椭圆交于C，D两点，则AC⊥AD←→直线l过定点（a（a^2-b^2）/a^2＋b^2，0）.     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;     

圆锥曲线性质新探

性质1 过椭圆E：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的一个焦点F的任一直线与Y轴交于点M,与椭圆E交于A,B,A,B分有向线段MF的比为λ1,λ2,     

意外的“错误”

我以前一直以为:在数学证明题中,如果证明出了最后的结论,那就应该是对的.恰恰是"应该二字,让我上了一节印象深刻的数学课.周三的时候,老师发下来一份数学试卷,我一股脑扑进去苦思冥想.令我自豪的是,我花了很大功夫独立想出了试卷的最后一题,这是一道关于抽象函数基本性质的证明题:定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意     

一道高考题的探源与推广

（2012年安徽卷理科20题）如图1,E（-c,0）、F。（c,0）分别是椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉6〉0）的左,右焦点,过点F。作z轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a^2/c于点Q;C     

又见四点共圆

2011年高考全国卷Ⅱ第21题如下： 已知O为坐标原点,F为椭圆C：x^2＋y^2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-√2的直线l与C交于A、B两点,点P满足→＋OA＋→OB＋OP=0．     

椭圆及双曲线平行弦的又一组性质

文[1]给出了双曲线平行弦的两个性质,文[2]将其推广到圆与椭圆,笔者进一步研究,得出了椭圆与双曲线的又一组性质.性质1如图1,若P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点(非长轴端点),连结OP,过椭圆的焦点F作直线MN,使MN∥OP,且交椭圆于M,N两     

破解利器“三板斧”,参数方程最优越

高中数学教材例(习)题都是历年高考数学命题之源,方法之根.结合教材中一道椭圆的习题,展示破解问题的三种常见技巧方法,合理分析与对比,体现圆锥曲线参数方程的应用的优越性,链接真题,指导与引领平时的实际数学教学与数学学习.     

一道高考题的反思

题目（2010年,辽宁卷第20题）设椭圆C：x^2/a^2＋y^2＋b^2=1（n〉6〉0）的右焦点F,过F的直线l与椭圆C交于A、B两点,     

这道作图题还可以这样解简

题目已知椭圆的右焦点和上顶点分别是过点P（1,1/2）引圆x^2＋y^2=1的两切线的切点A、B的直线与x、y轴的交点,则该椭圆的标准方程为_______。     

韦达定理的妙用一则

本题中因为直线经过左焦点F,所以线段AF、BF的长度可以依据椭圆的第二定义,转化为A、B两点到准线的距离,但是如果直线通过x轴上异于焦点的其它定点,这种转化我们将无法实现,那么此类问题如何处理呢？     

“椭圆与双曲线的两个统一性质”的相关结论

文[1]中介绍了定理1：已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1的左右顶点分别为A1，A2，已知直线l：x=t（｜t｜≠a，t≠0），P为l上一动点（P不在椭圆上），直线PA1与椭圆交于另一点M，直线PA2与椭圆交于另一点N，则MN与x轴交于定点．并对它进行了征明．同时文[1]认为用同样的证明方法可得出双曲线也具有这样的性质，对此笔者存有疑异，觉得“双曲线也具有这样的性质”中有欠严谨的地方。