例谈证明线段相等的常用方法

在平面几何中,证明两条线段相等是一种最常见的题型.常用的证明方法有:利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形(如平行四边形、等腰梯形等)的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等.现将     

线段相等关系分类证明的几种方法

线段相等关系的证明,在初中几何证明中占有相当大的比例,这部分问题的探讨无疑对学生从不同于课本内容的另一角度建构发展数学基本技能,增进学生的思维能力,以及掌握归纳分类的数学思想,有极大的潜移默化的作用.笔者现把初中几何学习中线段相等关系的证明方法列举如下.     

一道证明线段相等的经典几何题

题目 (2010年无锡市初中毕业升学考试第26题)(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP平分线上一点,若∠AMN=90°,求证:AM=MN.     

运用中间媒介证明圆中线段相等

在学习了圆的知识后,在证明线段相等的方法上,增添很多新的思路和策略,如运用同圆（等圆）的圆心角相等、圆周角相等的方法来解决,或运用垂径定理来证明．除此之外对一些比较复杂的圆中线段相等的证明题,还需要运用中间媒介过渡才能达到目的．笔者以近年来的竞赛题为例,简析如何运用中间媒介来证明圆中线段相等．     

线段之和的证明方法

线段之和证明是中考数学试题中常见的类型题之一,解决这类问题的最简便方法是什么呢?下面通过举例说明.     

运用相等关系证明不等式

许多恒等式在一定条件下 ,可以轻易转化为不等式 ,因而 ,利用相等关系证明不等式是一种重要方法 .例 1　若a>b >c,求证 :a2a-b+b2b-c>a +2b +c.(第 32届乌克兰IMO试题 )证明 :　不难寻找如下等式 :a2a-b+b2b-c=(a2 -b2 ) +b2a -b +(b2 -c2 ) +c2b-c ,于是 a2a-b+b2b-c=a+b+b2a -b +b+c+c2b-c=a+2b+c+b2a-b+c2b-c;考虑 b2a-b+c2b-c>0 ,故 a2a -b+b2b-c>a+2b+c.例 2　设x1 ,x2 ,… ,xn 为正数 ,求证 :x21 x2+x22x3+… +x2 n -1 xn+x2 nx1≥x1 +x2 +… +xn.(1 984年全国高中数学联赛试题 )证明 :　显然 ,x21 x2 +x22x3 +… +x2 n -1 xn +x2 n…     

给两道平面几何证明问题找茬

证明平面几何这一类问题有一些经典的错误案例,如证明所有的三角形都是等腰三角形.本文列举两例经典案例进行分析.     

解决空间几何问题的常用方法

空间几何蕴藏着丰富的数学思维方法和思想精髓，是学生创新思维的生长点．本文对空间几何问题的解题方法作一归纳总结，以期给读者一些有益的启示．     

证明“有关比例线段”的几种技巧

有关比例线段的几何证明,是证明相似三角形的常见问题,也是初中几何证明的难点.有相当的学生对这方面的几何证明往往是无从下笔.在此,笔者根据多年的教学经验谈谈有关比例线段的几种证明技巧.     

不等式证明的常用方法

不等式在数学中的地位十分重要，证明不等式的方法和技巧也很多，本文介绍一些常用方法及其在数学竞赛中的应用。     

斯坦纳——雷米欧司定理的证明及推广

两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形.这就是著名的斯坦纳——雷米欧司定理.这是一个充满诱惑力的几何命题,是一道脍炙人口的几何名题.1840年德国数学家雷米欧司在给斯图姆的一封信中提到,几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形两底角平分线相等,初中生都会证明;可是反过来,已知三角形两内角平分线相等,要证它是等腰三角形却不容易了,我至今还没有想出来,斯图姆向许多数学家提到了这件事,请求给出一个纯粹的几何学的证明,首先回答这个问题的是瑞士的几何学家斯坦纳(1796—1863),所以这个问题就以斯坦纳——雷米欧司定理而闻名于世.     

基于吴方法的几何定理证明的恒等式方法

多年来通常认为以吴方法为代表的几何定理机器证明的坐标法给出的证明不可读,或不是图灵意义下的类人解答.其实,只要对吴氏的算法做不多的改进,即将命题的结论多项式表示为其条件多项式的线性组合,就能获得不依赖于理论、算法和大量计算过程的恒等式明证.这样的恒等式可以转化为其他更简明且更有直观几何意义的点几何形式或向量及其他形式,从而获得多种证明方法.这也证明了点几何恒等式明证方法对等式型几何命题的普遍有效性.     

用代数方法和向量方法证明斯坦纳定理

斯坦纳定理：如图1,DB平分∠ABC,EC平分∠ACB,BD—EC,则AB＝AC．即△ABC是等腰三角形． 1．代数方法证明     

用向量法证明平面几何问题

向量的线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,用向量法解决平面几何问题,不仅是一种全新的解题思路,对一些比较复杂的线段比例问题用向量法求解还是一种有效的捷径.下面是用向量法证平面几何题的几种常见类型,供同学们学习过程中参考.     

几何定理机器证明的方法--吴方法思想的形成

计算机在自己发展的早期就与数学结下了不解之缘 .众所周知 ,数值计算无论是在数学发展之初 ,还是现在 ,甚至在未来的数学发展中都将占据着至关重要的地位 .因此 ,在解决越来越复杂的数值计算过程中 ,世界各民族都创造了各式各样的计算工具 :屈指计算 →卵石计算 (结绳计算、刻痕计算 ) →算筹 →算盘→计算尺 →…… ,而计算机成了数值计算工具中的佼佼者 ,从手摇 (机械 )计算机 →电动 (机械 )计算机 →直到现在发展的高速电子计算机 (电脑 ) .计算机作为数值计算工具的发明要归功于 1 5世纪法国著名的数学家、物理学家和思想家帕斯卡 (B…     

两个几何图形中两条线段的四种平均

本文拟以圆和梯形为背景 ,给出关于两条线段的算术平均、几何平均、调和平均及二次幂平均 (均方根 )的两个模型 ,趣味无穷 .从中可以领略数学的和谐、统一和奇妙 .　　 1.如图 1,P为○.O外一点 ,PT1 、PT2 是○. O的两条切线 ,T1 、T2为切点 ,PAB是○.O的任一条割线 ,设 PA =a,     

不等式证明问题的思考方法

不等式的证明是中学数学中的一个难点．如何寻求不等式的证明思路是中学生常感到困惑的问题,本文通过对一道不等式证明问题的多角度思考来说明不等式证明中一些常用的思想方法．     

“椭圆光学性质”的古今三种证明方法及思考

1椭圆光学性质简介椭圆光学性质是指:由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.其等价形式有:椭圆上任意点的切线与两焦半径所成夹角相同.椭圆的光学性质在生产与科技方面有着广泛应用,如电影放映机的聚光灯泡(如图1),以及光能的换位聚焦等就是利用椭圆的这一性质.     

有关点的个数问题例析

综观近年来的中考试题,有关几何问题中的点的个数问题频频出现.因这类问题涉及的知识点多,解法灵活多样,技巧性强,同学们探求起来普遍感到困难.下面结合例题予以探求剖析,旨在帮助同学们探求解题规律,掌握求解方法.     

也谈用几何方法证明不等式

《中学生数学》2011年4月下P16例2提出的用几何方法证明不等式不愧为一个方法,但对于本题来说,用几何方法证明是绕了一个很大的弯子,把简单的问题复杂化了.现简证如下: