凸四边形的一个面积公式

1问题的提出 众所周知,如果已知三角形的两边a1,a2及其夹角θ1（如图1）,我们便有三角形面积的公式如下：     

关于四边形面积最大值的一个不等式

文[1]建立了如下四边形边长与面积的一个不等式：设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a，b，C，d和△。     

四边形的内接三角形的一个性质

图1我们先了解关于圆内接三角形的一个性质.如图1,△x1y1z1为⊙O的内接三角形,P为圆内一点,x1P、y1P、z1P与圆分别交于x2、y2、z2.则△x1y1z1△x2y2z2=Px1·Py1·Pz1Px2·Py2·Pz2.注本文等式中的“△xyz”均表示△xyz的面积.简证设⊙O的半径为R,连z1O并延长交圆于y1′,连x1y1′,则∠x1y1z1=∠x1y1′z1.于是△x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1′z1=12x1y1·y1z1·x1z12R=14Rx1y1·y1z1·x1z1.同理△x2y2z2=14Rx2y2·y2z2·x2z2.故△x1y1z1△x2y2z2=x1y1·y1z1·x1z1x2y2·y2z2·x2z2=     

空间四边形的一个性质及其应用

性质　如图 ,空间四边形ABCD中 ,点E分AB ,及点F分DC所成的比均为λ ,则EF =11 +λAD + λ1 +λBC .图 1证明　如图 ,过C点作CH∥AD且CH =AD ,连结AH ,则四边形ADCH为平行四边形 .设CB和CH确定的平面为α ,过F作AD的平行线交AH于G ,连结EG .因为E ,F分AB ,DC所成比为λ所以AGGH=DFFC=λ =AEEB,因为EF =EG +GF ,EG =λ1 +λBH ,所以EF =λ1 +λBH + λ1 +λHC + 11 +λAD=λ1 +λBC + 11 +λAD .又因为E ,G ,F分别为中点 ,所以EG =12 BH ,GF =AC =HC ,所以EF =12 BH +AD =12 (BH +HC) +12 AD =1…     

四边形重心的一个性质及推广

本文运用复数方法，先证明关于四边形重心的一个有趣性质，然后将这一性质推广至一般情形，并说明其应用。     

圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.本文给出它的另外两个性质:     

圆内接四边形的一条性质及应用

圆内接四边形有如下一条有趣的结论,我们作为其性质,介绍如下：     

球面四边形的性质

高中数学选修课程《球面上的几何》介绍了球面三角形的诸多性质,而对于球面四边形的性质讨论较少,本文将介绍球面四边形的一些基本性质,为此,我们先介绍球面四边形及其球面凸四边形的定义.     

凸四边形面积公式的另证

贵刊文[1]用分的方法把四边形面积分成两个三角形的面积,使用正余弦定理结合三角形的面积公式证明了凸四边形的一个面积公式：     

关于四边形的一个不等式

受文[1]的启发,笔者得到一个关于四边形的优美不等式,现整理出来供读者参考.定理在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,则有AC2+ BD2≤1/2[( AB+ CD)2+(AD+ BC)2]①当且仅当四边形ABCD是平行四边形时不等式①取到等号.为证明定理,首先引用文[1]的一个定理,即双十定理凸四边形两条对角线的平方和等于两组对边中位线平方和的2倍.     

凸四边形的一个面积公式——“类海伦公式”

文[1]探究了海伦公式的推广问题．由于三角形被三条边长完全确定,而四边形则否,因此,作者认识到与海伦公式不同,四边形的面积不能用四边长通过一个式子表示．接下来,作者考虑了几种特殊情况,根据四边形有外接圆、四边形有内切圆、四边形既有外接圆又有内切圆等不同情况,给出了只用四边形的四边长表示的面积公式．最后,作者得出结论：对任意四边形,不能只用其边长通过一个式子表示其面积．     

平行向量的一个性质及应用

平行向量有一个很简单的性质及其推论，从它出发，可以独辟蹊径而且很简单地解决解析几何中一些经典的或有趣的问题．方法之妙，值得学习．     

凸四边形的一个三等划分

在凸四边形ABCD中,K、R分AB三等份,P、O分BC三等份,L、Q分CD三等份,N、M分AD三等份,分别连结KQ、RL、NP、MO交点分别为H、E、G、F(如图1).     

关于凸多面体的几个性质

在文[1]中，杨先义先生对六面体的对角线条数作了全面的探讨，得到了六面体有且只有0，1，2，4条对角线，并提出了下列问题：多面体的对角线条数是否存在计算公式？或者退一步，多面体的对角线条数是否能用不等式进行估计？本文特从另一角度——多面体的顶点数来探讨上述的问题，并得出关于凸多面体的棱、面、对角线条数的计算公式及其取值范围．     

圆锥曲线内接四边形的一组优美性质

性质一 对于圆锥曲线mx^2＋ny^2=1（mn≠O）的内接四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中,只要其中有一对直线的斜率之和为0,则另两对直线中的每一对直线的斜率之和也为0。     

关于四边形的两个定理在平面及空间中的拓广

文[1]介绍了关于四边形的两个定理:中线定理:如图凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)＝AD2+BC2-AB2-CD2.对角线定理:如图凸四边形ABCD中,对角线AC,BD的夹角为a,a的对应边为AD,BC,则2AC·BDcos a＝(AB2+CD2-AD2-BC2)/2.