再論皮亚諾曲綫

《数学通报》1964年第9期刊登了И.П那湯松的“皮亚谱曲线”一文,叙述了希尔伯特关于皮亚诺曲线的构造。本文将借助于无穷级数的理论,解析地给出皮亚诺曲线。首先,我们在闭区间[0,2]上定义函数φ(t+2m)=φ(t) (m为整数),其中λ为闭区间[0,36]上的任一实数。显然,φ(t)在(-∞,+∞)上连续,且0≤φ(t)≤2。现在我们定义两个函数如下:     

曲綫族

我十分荣幸地接受中国数学会的邀請,向諸位作一个报告。据我了解,今天这里的听众的主要兴趣在于教学。为了准备这篇报告,我努力寻找一个深浅适度而又在任何书籍中找不到的課題作为本报告的內容。如果我在这方面估計有錯的話,則請大家原諒。在进入报告的正題以前,請允許我先向諸位介紹一下澳大利亚以及西方国家中存在于中小学数学教学方面的一些趋向,你們可能想了解这些情况。 (1)小学阶段。对象是年龄从五、六岁至八、九岁的儿童。在教育方法上进行了积极的研究,目的是使儿童真正懂得算术与初等代数的意义,避免死背他們所不懂的条条。借助于具体教育法,特别是依靠了法国基賽奈先生(Monsieur Cuisenaire)創造的“数杆”的帮助,在这方面取得了很大成功。所謂“数杆”是长度与1至10的数目成比例的杆子,它們各有特征顏色。相关的数,例如2,4,8,有相近的顏色。通过玩数杆游戏,儿童們学会了加法乃至各种更为复杂的概念,諸如分数与比例。 (2) 中学阶段。作了許多关于修改課本的討論与教育实驗,目的是改变那种传統的讲授代数式的教育方法,使課本內容更紧密地与实际生活以及現代数学     

二次曲綫的漸近綫

平面上给定直角坐标系以后,要作出方程F(x,y)=0所确定的曲线,为了简化描绘工作和提高作图的准确度,首先应该研究方程的种种特性。尤其当曲线存在渐近线吋,事前能求出渐近线方程,则在描绘曲线的过程中将会起到很重要的作用。本文中只谈一下有关二次曲线的渐近线问题。对于判断二次曲线的浙近线是否存在以及存在时如何求出渐近线方程,完全可以利用极限运算予以解决,这里不准备叙述。现在要谈的是利用在平面上引入无穷远点、无穷远直线等概念来解次上面提出的问题。现在先介绍曲线C的渐近线定义。定义。当一点M沿曲线C趋向无穷远时,点M与某一直线(如果这样直线存在的话)无限地接近(即点M与该直线的距离趋于零),则此直线叫做曲线C的渐近线。如果曲线C是二次的,容易证明:上述定义与把渐近线定义为“切点沿曲线趋向无穷远时,切线的极限     

圓錐曲綫小史

人民教育出版社出版的《平面解析几何》引言上說:“解析几何产生在17世紀初期。由于当时生产的发展,各种科学和生产技术都有了很大进步,这就迫切需要解决随着发生的許多数学上的問題。……因而有关圓錐曲线的計算就成为迫切需要。解析几何就是由于这种需要而产生的”。本文就圓錐曲线发展的历史,略作介紹。不足之处在所难免,尚希讀者指正。 (一) 圓錐曲綫研究的起源 圓錐曲线的研究,起源于希腊。它与几何三大問題中的二倍立方問題有关。几何三人问題曾轰传一时,研究者很多,曾研究过二倍立方問題的希腊学者計有:阿契塔(Archytas,約公元前428-347),拍拉图(Plato,約公元前427-347),欧多克斯(Eudoxus,約公元前408-355)及蒙爱启瑪斯(Meneachmus,約公元前375-325)等。蒙爱启瑪斯是欧多克斯的門徒,可能受到阿契塔及欧多克斯的启发;他的解法也可能是希腊学者研究的总汇。取三个正圆錐,一为直角,一为銳角,另一个是鈍角的,各作一平面垂直于一条母线,并与圓錐相截;称截线为“直角圓錐截线”、“銳角圓錐截线”、“鈍角圓錐截綫”;(即今之抛     

圆錐曲綫的极坐标方程

大家都知道圓錐曲线可定义为动点的軌迹,該动点到一定点和一定直线的距离的此恆为常数。这个常数称为离心率,定点称为焦点,定直线称为准綫。若取焦点F为极点,F到准线g的垂綫作极軸,垂足D到F的方向为极軸的正向,如此选定极坐标系以后,則以e为离心率的圓錐曲綫的方程应为     

論曲綫的全曲率(Ⅱ)

<正> 在前一文[1]中,作者曾用折线逼近曲线,以研究曲綫的全曲率.本文目的,是要証明一个关于用光滑曲綫逼近具有有限个角点的曲线的定理.藉此定理之助,关于光滑曲綫全曲率的許多已知的定理,如Fenchel定理等,都可以推广到具有有限个角点的曲綫去. 本文的方法和結果都可以毫无困难地推广到高維欧几里得空間中去,但为簡单起見,我們只就3維欧几里得空間的情况来討論.文中所述及的曲綫是分段光滑的,且除有限     

在极坐标情形下曲綫对称性的討論

在平面解析几何里,一个重要的课題是已知方程求作这方程所确定的曲线。在一般情形下,不借助于较多的数学分析知识,这个问题是难以得到完滿解决的。解析几何只研究一些较简单的方程,通过初等方法对方程进行一系列的讨论,然后再描点作图。在这一系列的讨论中,曲线对称性的讨论是极为重要的。掌握了曲线对称性之后,只需描出曲线一部分就可画出整个曲线。关于对称性的讨论,通常的解析几何教程大都只对直角坐标下的方程谈到了,而对于极坐标下的方程却很少谈到或者沒有涉及。但实际上,极坐标下方程确定的曲线的对称性的讨论,远比直角坐标下的繁难,而且凭借直观或与直角坐标类比得出的结论往往还是错誤的。本文根据在教学中的粗浅体会作出初步的探讨。     

諾模学

諾模學在俄文叫Номография;是研究書線標值用作計算的一種學問,在淺顯的應用方面叫諾模術;也當譯為圖算法,其所書岀的圖叫算圖,亦即謂諾模圖。這種方法在我國工程界僅有而未事推廣。然而在蘇聯,是在廣泛地應用着的:高等工業學校;生產部門及軍政機關,……,到處使用着(莫斯科大學也開有諾模室)。我們知道,諾摸圖主要的是“列線圖”,即排列幾條(少则三條)直線或曲缐而各標以函數尺度的計算圖。畫着缐網的“網銘圖”也是其中的一種。列線圖亦多名共線圖。其使用的方法極簡單:用尺一比,就可得到關係式中幾個變數間的一組相應值來。其圖式有平行線的,乙字形的,三角形的,方形的;二直一曲的,一直二曲的,三曲的,……,說不可盡。於常見的十幾種圖式之外,有很複雜的圖式。很複雜的方程都可以用諾模算圖表示其變數之間的相應價值。在蘇聯,諾模術已不僅是一種計算技術了,而是已成為一種有科學體態的學科。譯者譯此短文,目的在讀者起來直追這門絕妙而大有用的學科。圖算學科之有助於祖國建設與社會主義事業,實不可限量!     

拋物綫开口的方向和精簡二次曲綫教材的几点注意

1.引言.本文給出一个决定拋物綫开口方向的一个簡单办法:即証明当二次曲綫 Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0 (1)是拋物綫时(在直角坐标或仿射坐标中),它开口的方向是向量(BE—CD,DB—AE)所指的方向。另外,关于一般二次曲綫(1)的两个問題,即根据(1)底系数来判断它底軌迹底形状和确定这軌迹在所給坐标系中的位置的有关問題,在一些书上是分开来討論的。(見[1]和[2])这是由于后一問題需要引入較多的概念和牽涉到較深的理論。另一些书上,为了精簡教材(見[3]和[4]),用移軸和轉軸的办法尽可能地把这两个問題統一起来处理,但有些重要結果和簡便方法尚未能包括进去。对此,本文提出几点补充注意,說明怎样可     

复变数的諾模图

关于三个或三个以上的实变量的諾模图,已經有不少方法制作和使用,本文介紹关于复变量的諾模图,供大家参考。一、制作原理在平面上取定直角坐标系oxy以后,平面上点集合便与复数集合之間有一个一一对应,故平面上的点M有坐标(x,y),那末与它对应的复数就是z=x+iy。 給定函数: w=f(z),w为复数 w=u+iv。記f(z)之实部与虛部分别为φ(x,y),ψ(x,y),則     

中学平面解析几何課中“曲綫和方程”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“曲綫和方程”部分的具体內容主要是指“曲綫方程的意义”、“依已知曲綫求它的方程”、“就已知方程作出它的曲綫”等。其中后两部分常称为曲綫和方程的两个基本問題。由于直角坐标系的建立构成了平面上的点与有序实数偶間的一一对应,使平面解析几何中“就数論形”打下了物貭基础,从而在曲綫方程的概念中,再由于构成了某些方程与平面上的某些曲綫間的一一对应,进一步就使得平面解析几何中“就数論形”获得了現实意义。这就是說,由于曲綫是被看作具有某些共同性貭的点的軌迹,而曲綫方程正是具有某些共同性质的点在坐标平面上的坐标之間关系的反映,这样一来,几何中的形(点之間的关系)与代数中的数(数之間的关系)原为对立,而被揭示以統一,为“就数論形”与“依形判数”的相互轉化开辟了切实可行的途径。而全部平面解析几何的內容正是在这种相互轉化的过程中展     

綫段的长度

一、引言在这篇文章里,准备比較严謹地談談綫段的长度問題。从几何基础的观点来看,必須有了結合公理,順序公理和合同公理的基础,才能引进連續公理,也就是阿基米德(Archimeder)公理和康脫尔(Cautor)公理或等价的戴德金(Dedikind)公理,有了連續公理才能說清楚綫段长度的概念。在这里,我們假定讀者已經熟悉前三組公理。不过,即使不熟悉前三組公理看这篇文章,也不致发生什么困难。为了叙述上的簡单,我們采用了二进小数,并在第二节中簡要地介紹了一下二进小数。采用了二进小数对于平分一个綫段来說,不用平行公理就能作到。如     

二阶图形上的諾模图

前言诺模图又称为“算图”或”图算”,实质上它是基于近似计算理论上,将一已知算式按一定规律,排列成数根曲线(包括一次曲线)轨迹的一种图上的点线解算方法。诺模图这门科学问世至今也不过数十年之久,但在付诸实践的过程中,已形成一门属于应用数学范畴的独立学科。今天,我们在突飞猛进地建设社会主义祖国,在国民经济的各个领域里,很难找到那一门技术是不需要计算的。电子计算机的出现,虽然是计算工具的划时代的发展,可是,在很多特定的场合下,诺模图仍然具有独特的优点:方法简便;求解迅速;对使用     

中学生課外活動中的諾模術

諾模術是应用数学的一个年青的分支。“諾模術屬於数学的領域。它有独立的理論結構,是帮助解各种类型的方程的工具”(苏联大百科全書)。提出这样一个問題求解:直角三角形兩直角边为a=4.3厘米,b=3.7厘米,試計算斜边,要精确到一位小数,这个問題通常是这样解决的:众所周知,直角三角形斜边的平方等於其兩直角边平方之和。先自乘4.3得18.49,自乘3.7得13.69,然後把这兩数加起來得32.18。     

伊凡諾夫师范学院附屬青年数学学校

§1.历史概述我们的青年数学学校(簡称青数学校)是从1959年9月1日創办的。开办青数学校以前經过了1958和1959年的长期筹备。起初,我們的想法是学生人数不多,課程大綱可以相当地灵活、甚至曾把它称为“数学訓练班”。那时曾确定尽量讲授数学和生活的广泛联系,特别是讲授現代数学的各个新的分支,没有打算复习中学大綱的內容,而是尽量給学生介紹現代数学。最初,我們的几个不大的小組就是按这种計划进行工作的。后来发現“训练班”的組織原則需要作些修正补充,使它的工作性质更接近于普通中学,需要有严格的科目,要有几个教师参与学生的作业,在整个工     

三元綫性方程组的图解法

1.引言在工程中常須求解多元綫性方程組,但常用的解法是較煩的,本文試图用图解法来簡化三元綫性方程組的求解,从而有助于更多元的方程組的求解。 2.方法标准型的三元綫性方程組 A_1x B_1y C_1z K_1=0, A_2x B_2y C_2z K_2=0, (1) A_3x B_3y C_3z K_3=0当y的諸系数(或x,z的諸系数)不为零时,     

直角三角形中成比例綫段的实际应用

本文以平面几何“直角三角形中成比例线段定理”的应用为例,说明如何培养学生灵活运用知识解决实际问題的能力。笔者在教完这一节教材以后,除了用书上的习题做练习外,还布置这样两道思考題:(1).如何应用这条定理测量不可直达之两点间的距离?(2)如何应用这条定理测量建筑物之高度? 课后,通过组织学生实地研究讨论,得出了多种解法。茲举数例如下: (一)确定隔河相对的A,B二村间的距离解法1.如图1所示,先定直线AB,从点B作BC⊥AB,取BC上的一点C,并过C作直角ACD,使D在AB的延长线上。设     

与拋物綫有关的一个式子

先叙述并証明一定理,然后說明这一結果的用处。定理。設拋物綫y=ax~2与直綫y=bx+c有两个交点,其横坐标分別为x_1,x_2。并設a≠0,b≠0,b~2+4ac>0,x_3是y=0与y=bx+c的交点的横坐标。     

三角函数綫教学的几个問題

一、三角函数綫在三角教学中的地位与作用中学三角的基本任务有三:第一、研究三角函数及其性质;第二、研究三角形解法;第三、讲授三角在其它学科上的实际应用。其中,三角函数及其性质的研究,是三角学的基础知識,是三角学的中心。高中三角的前三章,对完成这一任务,有突出重要的地位。在这部分内容中,单位圆和三角函数綫的地位与作用又很突出。主要表現在以下三个方面: 1.是巩固与加深三角函数概念的重要手段。三角函数定义,是研究三角函数的基础。单位圆及三角函数綫,利用几何形象,把三角函数概念直观地表現了出来,既有助于定义的理解与巩固,又为利用几何方法研究三角函数創造了条件。 2.是研究三角函数性貭及其关系的有力工具。三角函数基本性貭及其相互关系的研究,如三角函数定义域、三角函数周期性、增減性、奇偶性、有界性、基本关系式、誘导公式等等,多是借助于单位圓与三角函数綫进行研究的,通过把三角函数用綫段表示,将三角     

变系数綫性齐次微分方程的求解

对于一般变系数綫性齐次微分方程的求解,至今沒有一个有效的方法。在[1]中,刘賜臣对如下的方程得到了一个求特解的办法: 若u_1,u_2,…,u_m为一組綫性无关的函数組,