利用函数单调性巧解竞赛题

函数单调性在解数学竞赛题时有着重要的作用. 　　一、解方程 　　例1 (第十三届"希望杯"高一第2试第14题)方程log5(3x+4x):log4(5x-3x)的解集为 　　……     

利用椭圆知识解代数题

例1 解方程x2-4x 10~(1/2) x2 4x 10~(1/2) =8. 这是《中学生数学》2005年第10期上 (P38)的一道例题,原文是通过构造等差数列进行解答的,现在我们再利用椭圆知识求解．解把原方程进行恒等变形得到 (x-2)2 6~(1/2) (x 2)2 6~(1/2)=8,我们发现它和椭圆定义方程(x-c)2 (y-0)2~(1/2)     

数学问题解答

131.解方程:x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0解:令3~(1/2)=a则原方程变形为: x~3 2ax~2 a~2x a-1=0 即 xa~2(2x~2 1)a x~3-1=0 由于x=0非原方程的解,解关于a的二次方程得:     

关于无理方程((a-x)~(1/2))+((x-b)~(1/2))=(a-b)~(1/2)

这是现行初中代数教材上的一道习题: 解关于x的方程 (a-x)~(1/2)(x-b)~(1/2)=(a-b)~(1/2)(A) 限制在条件a≥b,b≤x≤a下,将(A)两边平方,得 2(a-x)(x-b)~(1/2)=0。方程的两根是x=a或x=b。研究了(A)型方程的特点后来解这类无理方程是相当简捷的.现举数例如下。例1 解方程(100-x)~(1/2)+(x-64)~(1/2)=6。解:将原方程化为(A)型:     

巧用1/(n(n k))=1/k((1/n)-(1/(n k)))解竞赛题

一、用来解方程例1(1999年河北省竞赛题)方程1/(x(x-1)) 1/(x(x 1)) … 1/((x 1997)(x 1998)) =(1999)/(2000)的根为()．(A)1999 (B)-2 (C)-1999或2 (D)1999或-2解根据公式原方程化为1/(x-1)-1/x 1/x-1/(x 1) … 1/(1/(x 1997))-1/(x 1998)=(1999)/(2000),1/(x-1)-1/(x 1998)=(1999)/(2000),(x 1998)-(x-1)=(1999)/(2000)(x-1)(x 1998),1999=(1999)/(2000)(x-1)(x 1998),     

苏联莫斯科大学1989年入学考试试题及解答

数学力学系卷1 1.解方程(3~(8xctgπx))~x27~(5xctgπx)=9~(ctgπx)。2.解不等式[log(8-2)~(1/2)(2x-1)][log_2(1+2x-x~2)]≥0。3.一条直线经过△ABC的顶点A和平行于边AC的中位线的中点,问这条直线分这个三角形成两部分的面积之比是多少? (如图1)     

用分部换元法解无理方程

解方程f(x)=0时,令方程中关于x的某部分f_1(x),f_2(x),…,f_n(X)分别为u_1,u_2…,u_n,我们把这种换元法称之为分部换元法。用此法解某些根指数较大而又不易直接化去根号的无理方程,有时较为简便。常见的有以下两种类型。 1.型如v后,变为f(u,v)=0。如能导出u、v的线性齐次式pu+qv=0,则可化为有理方程而解之。例1 解方程2x+1+xx~2+2~(1/2)+     

方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a±x)~(1/2)=x等价吗?

《中学数学》1984年第三期刊登了题为“解方程、(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2所想到的”*一文,介绍了方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与方程x=(x±a)~(1/2)等价性的证明及其应用。读完此文后,颇受启发,但笔者总认为有点不同的看法,下面提出与同志们讨论,并兼与该文作者商榷。作者在“探求方程(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2的特殊解法时,联想到方程     

利用斜率公式简解数学竞赛题

斜率公式是平面解析几何中的重要公式,若在高中代数中能灵活运用斜率公式求解,把有些代数问题转换成几何问题讨论,既简洁又新颖,往往能峰回路转,探索出十分巧妙的解法．1．求无理函数的最值例1 (1996年第44届美国中学数学竞赛题)对实数x,求函数f(x)=(8x-x~2)~(1/2)- 14x-x~2-48~(1/2)的最大值．     

一元一次方程有两个根

题:解方程x+2x~(1/2)=1 解:原方程变形为2x~(1/2)=1-x, 两边平方得:2x~2=1-2x+x~2 即x~2+2x-1=0,解得x=-1±2~(1/2)。     

怎样寻找分式方程的失根

解分式方程,可能产生增根,这是大家熟知的事。然而,用下面的方法解分式方程,竞出现失根。例解方程((18 x)~(1/2) (x-5)~(1/2))/((18 x)~(1/2) (x-5)~(1/2))= =((10-x)~(1/2) ((x-5)~(1/2))/((10-x)~(1/2) ((x-5)~(1/2)) 解用合分比定理化方程为 ((18 x)~(1/2))/(x-5)~(1/2))=(( x)/(1/2)/(x-5)~(1/2)) 两边平方,整理得 2x=-8,x=-4。经检验,-4是原方程的增根。是不是原方程无根呢?不是的。原方程还有x=5这一根被遗失了。可见用合分比定理解分式方程可能失根。以下研究失根的原因。     

方程、不等式与复数

1 解方程(log_(0.04)x 1)~(1/2) (log(0.2) 3)~(1/2)=1。 2 求方程组x~(x-2y)=36 4(x-2y) log_6x=9。的整数解。 3 若(-i)~(1986) i~(1987) (1/2)~(2001)是方程x~3 px g=0的根,求实数p和g的值。 4 求方程簇x~2-(3k 2)x 3k~2-74=0(参数k∈Z)的所有实根之和。     

从条件或结论的特殊性入手

数学习题都包含已知条件和所求结论两部分,有些题目的条件或结论常存在特殊性,在解题时,注意到这一点,常可找到解题捷径。例1 解方程3/(x+4)/(1-x~2)~(1/2)=10 分析此为分式无理方程,若去分母化为有理方程来解,不仅计算很繁,而且还会出现高次方程。如能抓住已知条件中的两个分母和它们之间关系的特殊性,即(1-x~2)~(1/2)有意义,故|x|≤1,且x~2+((1-x)~(1/2))~2=1,自然会想到|sinα|≤1     

运用“ab=0 a=0或b=0”时应注意之点

同学们常运用“ab=0a=0或b=0”原理解题,如解方程2x~2-5x 2=0(2x-1)(x-2)=02x-1=0或x-2=0方程的解为{1/2,2},即是两个“选择方程”解的并集。在这里,分别解两个“选择方程”时,似乎彼此不管,总是这样吗?试看下例: 解方程:①(2x~2-5x 2)(x-2)~0=0; ②(tgx 1)(arcsinx-π/3)=0, 解①由原方程得2x~2-5x 2=0或(x-2)~0=0。由第一个方程得x=1/2、2,第二个方程     

根式方程的简捷解法

贵刊1984第8期刊出《根式方程解法集锦》文给出要式方程几种简捷解法读后很受启发。根据自己教学实践其给出如下二种解法作为对该文的补充。一、辅助等式法: 先看下面例子: 铡1:解方程 (2x~2-7x+1)~(1/2)-(2x~2-9x+4)~(1/2)=1 解:为解这个方程,引入恒等式; (2x~2-7x+1)~2)~(1/2)-(2x~2-9x~+4)~(1/2)=2x-3与原方程联立成方程组:     

应用平均值换元巧解方程

本文通过举例说明平均值换元在解一类方程中的妙用。 例1 解方程 (x~2 2x-2)(x_2 4x 6)=3(x 4)~2 解 设t=1/a[(x~2 2x-2) (x~2 4x 6)]=x~2 3x 2,则原方程化为[(t-(x 4)]·[t (x-4)]-3(x 4)=0 t~2-4(x 4)~2=0,即[t 2(x 4)][t-2(x 4)]=0,     

问题与解答

一、本期问题 1 已知x~2-y~2-z~2=0,试将x~3-y~3-z~3分解为一次因式的积。 2 求证(3+7~(1/2))~n的整数部分是奇数。 3 已知x~2+y~2≤1,(x、y∈R)试证5-2~(1/2)≤u(x,y)=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7 宜昌市一中叶家振提供 4 解方程     

解不定方程的若干技巧

解不定方程这类题,是初中数学竞赛的热点之一,不少同学对这类问题感到无从下手,本文给出解决这类问题的几种常用技巧和方法,供同学们参考.一、配方法例1(1994年天津市初二数学竞赛题)解方程5x2+10y2-12xy-6x-4y+13=0.解将方程左边配方得(2x-3y)2+(x-3)2+(y-2)2=0.由非负数的性质得     

用二次曲线定义解无理方程

解无理方程的常用方法是使方程有理化,但对于一些特殊的无理方程,如果盲目乘方,往往会招致繁琐的运算。这就需要根据题中的一些特殊条件,采用特殊的解法。而利用二次曲线的定义,将无理方程转化为二次曲线的标准方程是值得注意的解题方法,现举几例介绍如下: 例1 解方程 x~2-10(3~(1/2))x+80+(1/2)x~2+10(3~(1/2))x+80=20 解:原方程可化为:(x-5(3~(1/2))~2+5~(1/2)+(x+5(3~(1/2)))~2+5~(1/2)=20令y~2=5,则原方程为:(x-5(3~(1/2))~2+y~2)~(1/2)+(x+5(3~(1/2))~2+y~2~(1/2)=20。此方程表示动点P(x,y)到两定点(5(3~(1/2)),0)、(-5(3~(1/2)),0)的距离之和为20,故它表示椭圆。     

化不可能为可能

使用均值不等式求函数最值时,常常碰到不可能取等号的时候,此时,只要我们稍作变形,就能使等号成立.这就需要我们从不可能中探可能,化不可能为可能,下面举例剖析. 例1 求函数y=x2+3/(x2+2)~(1/2)的最小值。 解析y=x2+2+1/(x2+2)~(1/2)=(x2+2)~(1/2)+1/(x2+2)~(1/2)≥2,当且仅当(x2+2)~(1/2)=1/(x2+2)~(1/2)即x2+2=1(*),x2=-1时取等号,这是不可能的. 探讨 将(*)式改为x2+2=2,得x2=0,