定比分点向量式的推广

1问题提出如图1,若AC=λCB,则OC=OA+λOB/1λ.这个结论便是线段的定比分点的向量表达式笔者在研究向量的线性表示问题时,产生了将此结论推广到平面及空间的想法.于是提出了以下两个问题.问题1如图2,已知点M是不在△ABC三     

三角形“内心”的向量表示

文 [1 ]、[2 ]给出的三角形内心的向量表示可进一步改进为更简洁的形式 :设O为△ABC所在平面上一点 ,角A ,B ,C所对的边长分别为a ,b ,c ,则O为△ABC内心的充要条件是aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .证　充分性若aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .∵OB→ =OA→ +AB→ ,OC→ =OA→ +AC→ ,∴ (a +b +c)OA→ +bAB→ +cAC→ =0 ,∴AO→ =1a +b +c(bAB→ +cAC→)=bca +b +c( AB→|AB→|+ AC→|AC→ |) .∵ AB→|AB→ |与 AC→|AC→|分别为AB→ 和AC→ 方向上的单位向量 ,设AP→ =AB→|AB→ |+ AC→|AC→|,则AP→ 平分∠BAC .…     

从问题出发引入线性代数概念(续)

二、行列式例1实系数二元一次方程组a1x b1y=c1a2x b2y=c2(2.1)=c1c2(2.2)何时有唯一解?当它有唯一解时求出它的解来.解将方程组(2.1)写成向量形式:xa1a2 yb1b2在平面直角坐标系中取点A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2)则向量OA,OB,OC的坐标就分别是a1a2,b1b2,c1c2.方程(2.2)即xOA yOB=OC(2.3)解此方程,就是要将OC表示成OA,OB线性组合,求组合系数x,y.图1(2.1)有唯一解(2.3)有唯一解OA,OB不共线a1b2-a2b1≠0.将OB绕O沿顺时针方向旋转直角得到有向线段OB′如图1.则OB′=b2-b1.将OB′与方程(2.3)两边同时作内积,由于OB·OB′=0,可消去…     

均值不等式的几何证法

如果a、b∈R+ ,那么a +b2 ≥ab .(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .这是高中数学课本中的一个重要不等式 ,很容易用综合法证明 .如果稍加研究 ,这个不等式还有巧妙的几何证法 .图 1证法 1　如图 1所示 ,SABCD≥ 4SAA1 B2 D1 (a+b) 2 ≥ 4ab a +b2 ≥ab .(a =b SA2 B2 C2 D2=0 a+b2 =ab)证法 2　如图 2所图 2示 ,设DA =a ,AB =b ,则有OC =a +b2 ,AC =ab a +b2 ≥ab .(a=b AC与OC重合 a +b2 =ab)图 3　　证法 3　如图 3所示 ,设AB =a ,AC=b ,则有AO =AB+BC2 =a +b -a2 =a +b2 ,AT =ab ,AO≥AT a +b2 ≥ab .(a =b …     

利用数量积解几何问题

向量是数学新教材的重要概念之一 ,由于向量能有效地将复杂的几何论证问题转化为简单的数学运算 ,体现了中学数学重要的思想方法之一———转化思想 .向量方法在平面几何、立体几何及解析几何中有广泛的应用 ,其在新教材中占有较重的份量 .现举例说明向量的数量积在几何中的应用 .1　证明三线共点例 1　如图 1,已知AD ,BE ,CF是△ABC的三条高 ,求证 :AD ,BE ,CF三线交于一点 .图 1　例 1图证　设BE ,CF交于一点H ,AB→ =a ,AC→ =b ,AH→=h ,则BH→ =h -a ,　CH→ =h -b ,　BC→ =b -a .∵BH→ ⊥AC→ ,CH→ ⊥AB→ ,∴ (h …     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

平面几何中的一个定比分点公式及应用

众所周知,在解析几何中有一个常用的定比分点公式,实际上在平面几何中也存在类似的结论.笔者给出关于线段比的一个定比分点公式,并举数例说明其在解题中的应用. 定理 设D是△ABC的边BC上一点,P、Q、R分别为AB、AD、AC(或其延长线)上的点,记会AB/AP=x1,AC /AR=x2,AD/AQ=x,BD/DC=λ,若P、Q、R三点共线,则x=x=x1+λx2/1+λ(*).     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量^→a=（x1＋y1）,^→b=（x2,y2）,则称cos（^→→a,b）=x1x2＋y1y2/√x1^2＋y1^2√x2^2＋y2^2为向量^→a与^→b的坐标形式的夹角公式．有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的．其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,     

平面向量

1本单元的重难点分析 重点：向量的概念；向量的几何表示和坐标表示；向量的线性运算；平面向量基本定理；平面向量的数量积；平面内两点间的距离公式；线段的定比分点和中点坐标公式；平移公式．     

λ=PM／MQ=XM-XP／XQ-XM=YM-YP／YQ-YM的应用拾零

在定比分点公式的证明过程中 ,出现了如下一个重要的表达式 :λ =PMMQ=xM-xPxQ-xM=yM - yPyQ- yM　 ( )点P在有向线段PQ的内部 λ >0 ;点P在有向线段PQ的外部 λ <0 .在定比分点公式xM =xP+λxQ1+λ ,yM =yP+λyQ1+λ推导出来后 ,( )式就被忽视了 .其实 ,若能灵活地运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 (2 0 0 3年北京西城区高考模拟题 )已知点P(4 ,- 9) ,Q(- 2 ,3) ,则 y轴与直线PQ的交点分有向线段PQ所成的比为 (　　 )(A) 1.　　　　　 (B) 2 .(C) 3.　　　　　 (D) 4 .解　设PQ与y轴的交点为M (0 ,b) ,由题设及( ) ,知λ =…     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量→a=(x1,y1),→b=(x2,y2),则称cos〈→a,→b〉=(x1x2+y1y2)/~1/2((x21+y21)(x22+y22))为向量→a与→b的坐标形式的夹角公式.有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的.其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,同学们求解时,若能适当构造向量,还原其本来面目,则可利用该公式求这类无理函数的值域(这是一类有较大难度的函数值域问题).下面略举两例加以说明,供同学们参考.     

推广一个法向量 求解一类高考题

一、缘起 容易知道,在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,0)和点B(0,b)的直线x/a+y/b=1(其中ab≠0)的一个法向量是n=(1/a,1/b). 把此结论推广到空间直角坐标系O-xyz中思考,就有以下结论. 二、定理 在空间直角坐标系O-xyz中,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(其中abc≠0,ab≠0)的平面ABC的一个法向量是n=(1/a,1/b,1/c). 证明:因为→AB=(-a,b,0),则由n·→AB=(1/a,1/b,1/c)·(-a,b,0)=-1+1+0=0,知n⊥→AB.     

向量及其运算

1．本单元重点、难点分析 本单元的重点是：向量的概念。向量的几何表示和坐标表示。向量的线性运算．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式，线段的定比分点和中点坐标公式的应用．向量的平移公式．     

定比分点公式的向量形式及应用

众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1定理及其推论定理(定比分点公式的向量形式)设点P分P1P2的比为λ(即P1P=λPP2,λ≠-1),Q为平面上     

推导定比分点公式的启示

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式 ,有着广泛的应用 .推导公式的关键是将有向线段Ｐ1Ｐ2 投影到坐标轴上 (如图 1) ,化点Ｐ分有向线段Ｐ1Ｐ2 所成的比λ为点Ｍ分坐标轴上有向线段Ｍ1Ｍ2所成的比 .即应用了公式 :　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ (Ⅰ )　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ (Ⅱ )(1)　　　　　　　 (2 )图 1　推导公式 (Ⅰ ) ,(Ⅱ )所用图然而 ,定比分点公式一经推出 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)往往不再被重视 .事实上 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)启示着我们 :求解与线段之比有关的问题时 ,可以将其转化为在同一坐…     

平面向量

2 重点、难点、热点分析。1)重点：平面向量的概念、表示(几何表示和坐标表示)、运算(加法、减法、实数与向量的积、平面向量的数量积)及线段的定比分点公式是本单元的重点．     

2006年高考向量亮点解读

平面向量是高中数学的重要内容,它是衔接代数与几何的桥梁和纽带,向量、向量法在其他章节内容中的穿插、渗透和融合,是高考数学试题中的一道靓丽的风景,纵观2006年全国各地高考试卷,对平面向量内容的考查呈现“六大”亮点,现予以解读:亮点一:考查平面向量加、减法的运算法则例1(2006年·安徽卷)在平行四边形ABCD中,AB=a→,AD=b→,AN=3NC,M为BC中点,则MN=(用a→、b→表示)解析:MC=12b→,NC=14AC=41(a→ b→),∴MN=MC CN=MC-NC=12b→-14(a→ b→)=14(b→-a→).评注:理解平面向量的概念,熟练掌握向量加、减法的三角形法则,是解题…     

向量及其运算

重点：向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，平面上两点间的距离公式，线段的定比分点公式和中点公式，平移公式等．     

圆上的几个结论在椭圆上的推广

本文用初等的方法把圆上的几个结论推广到椭圆上去 .为了节省篇幅 ,文中只证明椭圆上的结论 ,圆上结论的证明省略 .文中的a ,b都大于 0 .结论 1　AB是⊙O的直径 ,AC切⊙O于A ,BC交⊙O于P ,PD切⊙O于P交AC于D ,则D是AC的中点 .图 1结论 1′　如图 1 ,AB是椭圆x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴 ,AC切椭圆于A ,BC交椭圆于P ,PD切椭圆于P交AC于D ,则D是AC的中点 .证明　设切点P(m ,n) ,则切线PD的方程为b2 mx+a2 ny=a2 b2 ,①直线BC的方程为y=nm -a(x-a) ,②切线AC的方程为x=-a . ③联立②、③ ,可得C( -a ,2naa-m) ,从而AC的中…     

立足基本知识 培养学生能力——谈定比分点公式的应用

定比分点公式是解析几何中最基本的概念之一 ,如果我们在进行解几多点共线问题、复数的、不等式的教学时 ,能适时地引导学生灵活地应用或恰当引入定比 ,运用定比分点公式进行坐标变换或推广一些已学过的知识 ,则可以大大地激发学生的学习积极性和主动性 .定比分点公式　若已知两端点为 P1 (x1 ,y1 )、P2 (x2 ,y2 ) .点 P分有向线段 P1 P2 所成的定比为λ,则分点 P的坐标为　 x=x1 λ. x21 λ ,y =y1 λ. y21 λ(或　λ=x - x1 x2 - x=y - y1 y2 - y;　λ≠ - 1 ) .图 1如图 1 :随着点在直线上的不同分布 ,定比λ的值分布也在变化 .可…