也谈符号a~(1/n)究竟表示什么?

众所周知 ,在实数系 ,符号ｎａ有明确的意义 :如果ａ>0 ,ｎａ表示一个正数 ,它的ｎ次方等于ａ ,即 ｎａ>0 ,且 ( ｎａ) ｎ =ａ .这时 ,ｎａ表示ａ的ｎ次算术根 .如果ａ=0 ,ｎａ=0 ,如果ａ <0 .当ｎ是奇数时 ,ｎａ =- ｎ -ａ这里的 ｎ -ａ是正数 -ａ的ｎ次算术根 ,当ｎ是偶数时 ,ｎａ没有意义 .在实数系扩张到复数系以后 ,ｎａ的意义就显得非常模糊 ,混乱 .С .И .诺娃塞落夫著《代数与初等函数》第五章“复数“第 5 5节”中说 ,符号ｎｚ表示ｚ的ｎ个互不相同的ｎ次方根 :ｎｚ=ω0 ,ω0 ε ,ω0 ε2 ,…… ,ω0 εｎ- 1 ,其中ｚ=ρ(ｃｏｓ…     

也谈符号^n√a究竟表示什么？

众所周知,在实数系,符号n(√a)有明确的意义:如果a＞0,n(√a)表示一个正数,它的n次方等于a,即n(√a)＞0,且(n(√a))n=a.这时,n(√a)表示a的n次算术根.如果a=0,n(√a)=0,如果a＜0.当n是奇数时,n(√a)=-n(√-a)这里的n(√-a)是正数-a的n次算术根,当n是偶数时,n(√a)没有意义.     

sin(1/n)与cos(1/n)的无理性

当。是非零整数时,。i。卫是无理数。肛.根据sinx的慕极数展开式“无一(一1)友一眯汁而(会)’“’- 一蔺愉(:)2k ’十…〕·5 In犷二二二一生二。十主护一3!5!将(1)式两端同乘(2友 r)!nZ走 i得 (一1)*二产车一二,‘ ‘ … 又‘尺十1)!〔2“ ,):n,““S‘n令一‘*‘2* l):nZ“·‘ 左无(2畏 z)!。2左 1.(2)二I之 刃左,其中(l)显然上式右端第一境是整数,而第二项的艳对值为 IR,(2天 1)!。2‘ ‘l、一告- (一六幼31)无蔽 奥仁、,_…一(2左十‘”·2“’l石万十不件)2“‘3共节仁、,反 ,十lj刃\刀/ l/1\2毛 51一7二犷-,一丁二吸一1十…l 仁…     

n~(n 1)与(n 1)~n谁大?

学生曾问我“20022003与20032002谁大?”,他钻研后认为n(n 1)与(n 1)n(n∈N)当n取较小的值时,有时前者比后者小,有时前者比后者大,当n取较大的值时,又不好证明,这引起了我们的研究兴趣。     

On the recursive sequencex n +1=α-(x n /x n −1)

We study the global asymptotic stability, global attractivity, boundedness character, and periodic nature of all positive solutions and all negative solutions of the difference equation $$x_{n + 1} = \alpha - \frac{{x_n }}{{x_{n - 1} }}, n = 0,1,...,$$ where α∈R is a real number, and the initial conditionsx?1,x ₀ are arbitrary real numbers.     

李代数SU(n)和阶化李代数SU(n/1)的不可约表示

本文对李代数SU(n)的生成元,引入了SU(n-1),SU(n-2),…SU(2)的不可约张量.并利用不可约张量的性质,求出了SU(n)的不可约表示,这些不可约表示的表达式比较简单.文中还给出了SU(n)的部分约化系数和Racah系数的代数表达式.在此基础上,求出了阶化李代数SU(n/1)的不可约表示.     

关于Lnz~(1/n)与(1/n)Lnz是否相等的讨论

对复变量z的函数Lnz~(1/n)与(1/n)Lnz的关系进行研究,发现Lnz~(1/n)与(1/n)Lnz,并给出证明,纠正"Lnz~(1/n)与(1/n)Lnz是两个不同函数"的错误认识.     

级数∞∑n=1nαsin(nβ)的收敛性

通过推导给出了使级数∞∑n=1nαsin(nβ)收敛的α与β的值.     

(一)近似公式(1+α)~n≈1+nα的条件

高中代数教材介绍了如下的近似公式: “当α的绝对值与1相比很小时,(1+a)~n的近似值可用公式(1+α)~n≈1+nα来计算。”其实,在仅有α的绝对值与1相比很小的条件下,运用(1+α)~n≈l+nα来计算,往往得到不可思议的结果。如计算(1-0.001)~2000。这里-0.001的绝对值与1相比很小,若按上述公式计算:(1-0.001)~2000=1-2000×0.001=-1。显然(1-0.001)~2000是个正值,而经过公式近似成了一个负值,荒谬。由此可见,仅有α的绝对值与1相比很小还不行,得须加上条件:nα的绝对值与1相比也很小。     

从(n 1)/n×(n 1)=(n 1)/n (n 1)谈起

一问题的提出本刊2003年第5期刊载了《运用发现法解题》(以下简称《解题》)一文,文章在谈到“归纳发现法”时,提到这样一个例子: 1.观察下列各式     

巧用1/(n(n k))=1/k((1/n)-(1/(n k)))解竞赛题

一、用来解方程例1(1999年河北省竞赛题)方程1/(x(x-1)) 1/(x(x 1)) … 1/((x 1997)(x 1998)) =(1999)/(2000)的根为()．(A)1999 (B)-2 (C)-1999或2 (D)1999或-2解根据公式原方程化为1/(x-1)-1/x 1/x-1/(x 1) … 1/(1/(x 1997))-1/(x 1998)=(1999)/(2000),1/(x-1)-1/(x 1998)=(1999)/(2000),(x 1998)-(x-1)=(1999)/(2000)(x-1)(x 1998),1999=(1999)/(2000)(x-1)(x 1998),     

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

《数学通报》1985年第3期的《正实阵n个不等式》一文中用数学归纳法证明: A、B为n阶正定阵,λ,μ>0,则λ|A|~(1/n) u|B|~(1/n)≤|λA μ|~(1/n)等号当且仅当A=kB(k>0)时成立。 本文给出一个用数学分析,高等代数知识     

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

文[1]、[2]用两种方法证明了命题:设A,B是n阶正定矩阵,则有|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)等号成立当且仅当A=kB(k>0)。本文用矩阵迹的概念给出一个不同的证明。我们首先证明下面两个引理。     

n~(1/n)的点滴介绍

自然数n的n次算术n~(1/n),是我们时有所见的,它的性质很难一句话说清楚,现简述如下,供参考。 1°当n=1时,有1~(1/1)=1,这就是说1的1次算术根等于1。 2°当n≥2时,n~(1/n)∈Q(Q表有理数集)     

(一)究竟选哪?

厄目:已知方程8了+6赶十Zk十l*0的两根是护直角三角形两锐角的正弦值,则k的值是().*2或一孚(c,一韶‘群严;(B)一吝<*<价 乙(D)不存在. 解一:设直角三角形两锐角为A、丑则由韦达定理有: _3kISln月十Sln石=一-1一}1…。Zk+1,sln汽’sln万=月一百一①②又sinB=eosA1十Zk十l 4解之得石解二:’.’=2,毛(一剖2一等.故。).sinA>0,sinB)0解之得一粤<*<0.故选(B). ‘解三:据sirLA>0,sinB>O,△)0得 3乏、。 一.月尸ZU}’12介+l、n1一’”_.136护一32(2花+1)多0@尸~二1.IJ一解乙得一百又从8一2试石 g-故选(C).不同的解法竟得不同的结果,何去…     

关于不定方程 x~(1/n)+y~(1/n)=z~(1/n) 的广义整数解及一类 Kummer 扩域的次数

<正> §1.引言在[1]中我们给出了方程x~(1/n)+y~(1/n)=z~(1/n) (1)的全部正整数解.设 Z 为整数环,Z~+为所有正整数集合,Z~*=Z\{0}.设 a∈Z~+,我们规定 a~(1/n)表示 a 的算术根.在[1]中我们说正整数组(a,b,c)是方程(1)的解是指     

|A+B|~(1/n)≥|A|~(1/n)+|B|~(1/n)的一个加强

-j协 ,llweJ 路 1.引言文「1〕证明了命题:设A,B是。阶正定矩阵,则}勿‘一卜“!,一〔·+”’ 1 11!A+B!“)}A}”+IBI”(1)等号成立当且仅当A=无B(lc>0). 其后,吴忠民[2]、吴爱军[劫又分别给出了(约的两种不同的证法.本文则将建立一个比(1)更强的正定矩阵不等式.全文约定A>O表示矩阵A正定,I,=只·I(又>0)为数量矩阵;如不特别说明,本文中的矩阵均指n阶实矩阵. 定理设滩>0,刀>0,,A}>J几;{,,BJ>11目,则一挤(加一扩(IA+Bl一,z。+z。.)篇等号成立当且仅当几‘/a=拼‘/b.(公一=1,2,,二,忍). 证明:令‘=兀兄:一‘,少二且。,一””· ‘=1…     

a~(1/n)与 a~b的意义

<正> a~(1/n)(a 是复数,n>1是正整数)与a~b(a,b 都是复数)这两个符号的定义分别在中学代数课本与大学复变函数课本中给于介绍,但在中学课本中介绍得不够完整,而大学课本中对此的介绍又与中学课本所下定义有矛盾.下面谈点我们自己的看法,希望能得到专家,同行的指正.