一类三角形中的最值问题

设点P(a,b)是直角角标平面内的一个定点,过点P(a,b)的直线与两个坐标轴围成一个直角三角形,如图1中的的三角形OAB.由于过点P(a,b)的直线有无穷多条,而每一条直线都与坐标轴围成一个三角形.所以,围绕这类三角形,我们可以提出一系列的最值问题.例如,这类三角形的三条边长有无最值?三角形的面积有无最值?三角形中内接矩形的面积有无最值?角形的内切圆和外接圆的面积有无最值?等等.下面我们对这些问题逐一进行探讨.为了方便,我们不妨设a＞O,b＞O,即点P(a,b)是第一象限内的点.     

"线段染色模型"的有趣应用

在排列组合的习题中,常常遇到关于区域染色问题.笔者发现,它们均可以用“线段染色模型”来处理.所谓“线段染色模型”,是指一条线段上有n个点,用m种不同的颜色来染色,相邻的顶点所染的颜色不同.对于“线段染色模型”,我们有,命题1一条线段上有n个点,用m种不同的颜色来染色,相邻     

组合数与空间的分割

一条直线上的n个点最多能把这条直线分成n+1个部分,这一点是很显然的。我们不禁要继续问:平面上n条直线最多能把这个平面分成多少部分呢?三维空间中的n个平面最多能把这个空间分成多少部分呢?     

射影平面的模型和莫比乌斯带

射影几何研究图形在射影变换下的不变性,射影变换可以直观地看成是由连续施行若干次中心投影所得到的变换,为了使中心投影成为两平面的点之间的一一对应,我们必须把通常的欧氏平面加以拓广,添加无穷远点和无穷远直线,即对平面上的一族平行线添加一个无穷远点,且规定平面上所有无穷远点的集合为一条无穷远直线,这和经过拓广以后的平面,若对     

异面直线距离的一种求法——射影法

不少文章介绍过异面直线距离的求法,本文介绍另一种方法叫射影法。即把两条并面直线同时射影到某一平面上,利用其射影在同一平面的关系去求其两异面直线的距离.因为两异面直线在同一平面上的射影只能有以下三种情况:①一个点和一条直线;②两条平行线;③两条相交线。下面我们就这三种情况分别进行探究。 1.射影是一个点和一条直线此时可把问题转化为求点到直线的距离去解决。即该点到直线的距离就是异面直线的距离。     

叉连图的邻点可区别全染色

邻点可区别全染色猜想得到了国内外许多学者的关注和研究.迄今为止,这个猜想没有得到证明,也没有关于这个猜想的反例.叉连图对邻点可区别全染色猜想成立给予了证明,并给出了精确值.同时,证明了:存在无穷多个图,它们中的每一个图H至少包含一个真子图HH~1,使得x_as~″(H~1)x_as~″(H).     

Steiner定理与蝴蝶定理

如图 1 ,设Ｈ是欧氏平面上圆的弦ＡＢ的中点 ,过Ｈ的弦ＣＤ ,ＥＦ的端点连线ＣＦ与ＥＤ分别交ＡＢ于Ｉ,Ｇ ,则ＡＩ=ＧＢ .这就是平面几何中的蝴蝶定理 .它可以“纯平面几何”地证明 ,也可以用解析几何的方法证明 .运用射影几何的知识会使证明变得简单并且容易推广 .欧氏平面加上平面上所有直线的无穷远点 ,并把任意一组平行直线上的无穷远点看成同一点 .所有的无穷远点组成一条直线 ,叫无穷远直线 ,所得平面称为拓广欧氏平面 .假如对于拓广欧氏平面上的普通点与无穷远点不加区别就得到射影平面 .我们讨论的主要工具是射影映射与下面的Ｓｔｅ…     

四异面直线问题的初等证明

１９９７年高中数学联赛第一（６）题给出了一个关于异面直线的有趣结论：三异面直线定理如果空间三条直线ａ,ｂ,ｃ两两成异面直线,那么与ａ,ｂ,ｃ都相交的直线有无穷多条．这立即促使我们思考,四条两两成异面的直线,情况如何？这就是：四异面直线定理存在四条两两...     

一道高考题的再思考

此题为选择题,上述试题的参考解析思路为：在直线B1D上任取一点,通过添一组辅助线,证明全等图形,从而得到对角线B1D上任一点到三条棱AB、CC1、A1D1．所在直线的距离相等,所以有无穷多点满足条件,故选D．     

无限的比较问题

实数与数轴上的点是一一对应的.由此我想到了这样一个问题:实数与数轴上的点的个数是否可以比较?有同学认为这两个数量无限多,无法比较.而我认为它们的个数是一样多的.虽然实数有无限多个,数轴是一条直线,直线上的点同样有无限多个,但不论任何实数,都能在数轴上找到与之对应的点,所以说它们的个数一样多.因此,在无限范围内考虑问题,与在有限范围内得出的结论是全然不同的.     

空间分割问题

空间分割问题梁伍德（北京市第二十二中学１００００９）１一维空间直线上的ｎ个点可以把直线分成ｎ＋１段２二维空间平面内的ｎ条直线最多可以把平面分成多少部分呢？平面内的１条直线把平面分成２部分．平面内的２条直线最多可以把平面分成２＋２＝４部分．平面内有３条...     

一道组合题的构图

文[1]中提到一道组合题:有两个同心圆,在外圆周上有相异的6个点,内圆周上有相异的3个点,由这9个点所确定的直线最少有几条?作者给出了直线条数为20的一种构图,并提出问题:最少直线条数有无可能小于20条?本文将给出直线条数为19的一种构图.     

关于无穷—临界图1-因子的一个定理

Francois Bry 在[1]中提出如下问题:一个局部有限的无穷二临界图似乎有无穷多个1-因子.他还指出若能证明这条性质将是很有用的.本文给出关于无穷一临界图1-因子的一个定理.作为定理的推论,我们给出 FrancoisBry 问题的肯定回答.     

不可及点的三种作法

我们先来看一个问题 :图 1如图 1,ａ、ｂ是已修好的两条铁路 ,铁路的前方是尚未开辟的小山丘 .现要经过工厂Ｐ增筑一条铁路 .使在山丘开辟后 ,能与ａ、ｂ两铁路相会于一点 .请你确定这条铁路的位置 .这个问题看起来有点玄 .其实是要过Ｐ作一条直线 ,使它经过已知直线ａ、ｂ的交点Ｑ .由于Ｑ点现在不能作出 ,用尺规也接触不到 ,我们称Ｑ点为不可及点 .但我们可用三种方法作出这不可及点Ｑ ,以解决上面的问题 .图 2作法 1　利用三角形三条高相交于一点的性质 ,即过Ｐ作ａ的垂线 ,和ａ、ｂ分别交于Ｄ、Ｂ .同样 ,过Ｐ作直线ｂ的垂线 ,和ａ、ｂ…     

棋盘图的几种染色

染色问题是图论的重要研究内容之一,采用一种全新的方法给出了一类特殊图——棋盘图的邻点可区别边染色和邻点可区别全染色,并给出了相应的色数.     

关于K-tn的点可区别正常边染色

一个图的边染色称为是点可区别的,如果任意两个不同的顶点的关联边的颜色的集合不同. 设K-tn表示从n阶完全图中删去t条彼此不相邻的边后所得到的图. 本文对K-tn的点可区别正常边染色进行了讨论.     

解析几何中对称问题的认识与探索

对称问题是高中数学的一个重要内容,也是平时学习的难点.它的运用非常广泛,不仅体现在数学知识上,有时还会渗透到物理应用中去.对称问题的题型主要体现在点关于点对称,直线关于点对称,点关于直线对称,直线关于直线对称,曲线关于点对称,曲线关于直线对称几个方面.下面我们举例说明.一、点关于点对称点关于点对称是大家比较常见的对称问题,也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出.关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.     

冠图P_noS_m与P_noT_(m,2)的b-染色数与b-连续性

图的b-染色是一个满足任意两个不同色类之间至少存在一条边相连的正常点染色,把所用的最多颜色数称为b-色数.根据冠图的结构特点,通过构造具体染色方案,研究了冠图P_noS_m与P_noT_(m,2)的b-染色数与b-连续性.     

关于Kn^-t的点可区别正常边染色

一个图的边染色称为是点可区别的，如果任意两个不同的顶点的关联边的颜色的集合不同．设Kn^-t表示从n阶完全图中删去t条彼此不相邻的边后所得到的图．本文对Kn^-t的点可区别正常边染色进行了讨论．     

一类新的魔术染色

借鉴于Kotzig和Rosa在1970年定义的边魔术全标号,我们给具有p个顶点和q条边的图G定义了一个新的染色标号,叫作k-魔术染色f,其中f是一一映射V（G）∪E（G）→{1,2,…,p＋q},使得任何边uv∈E（G）满足f（u）＋f（v）=k＋f（uv）,并得到超级k-魔术染色的概念.我们得到了一些具有k-魔术染色或超级k-魔术染色图的性质以及构造这些图的方法.最后,我们猜测所有的树具有一个超级k-魔术染色.