避开相似 充分利用三角函数

<正>对于有公共角或等角的直角三角形,我们可以避开相似,充分利用三角函数的定义解题,这样更为简洁,下面举例说明.引例如图1,CD是Rt△ABC的斜边上的高,求证:(1)BC2=AB·BD;(2)CD2=AD·BD.证明(1)∵Rt△ABC中,cos∠B=BC AB,而在Rt△BCD中,cos∠B=BD/BC,∴BC AB=BD/BC,即BC2=AB·BD.(2)∵∠B、∠ACD都与∠A互余,∴∠B=∠ACD.∵Rt△BCD中,tan∠B=CD/BD,     

帕普斯定理的一般形式

容如下: 如图1,在△ABC中。D是BC边上的中点,则有:AB2 AC2=2(AD2 BD2), 这里所要证明的并不是这个定理,而是其一般形式. 在△ABC中,D是BC边或其延长线上一点,且BD:DC=m=1, 求证:AB2 mAC2=(m 1)AD2 m(m 1)DC2.     

一堂复习课的教学实录与反思

问题1关于Rt△ABC(图1),你知道哪些知识?生1:AC2 CB2=AB2,∠A ∠B=90°;若∠A=30°,则BC=12AB,反之也成立.师:还有吗?生2:AC CB>AB,AB>AC;若M为AB中点,则CM=21AB.师:还有吗?生3:若CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.师:噢,我正想出示问题2呢?图2问题2因为Rt△ABC,C     

一个有用的图形和结论

定理设D、B层分别在△ABC的边AC和AB上,BD与CE交于点P,AE:EB=m,AD:DC=χ,则 S_(AEFD)=(m·n)/(1 m n)(1/(1 m) (1 (1 n)S_(△ABC) (*) 证明略(留给读者练习) (*)式形式上对称易记,利用它可以简捷地求解一些面积问题。例1 如图2,平行四边形的面积是60,E、F分别是AB、BC的中点,AF分别和BD、BD交于G、H,则四边形BHGB的面积是__。(1991年江苏省初中竞赛题)。解在△ABD中,BH:HD=1:2,BE:EA=1,由(*)得     

三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

三角形中的特殊线的性质

<正>性质1如图1,△ABC中,D是BC的中点,AD、AE是∠BAC的等角线,AF是△ABC的外接圆切线交BC的延长线于点F.则BE/CE=BF/CF.证明∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵AD、AE是∠BAC的等角线,由内角等角线的性质定理得AB²/AC2/AC²=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB2=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB²/AC2/AC²=BF/AF·AF/CF=BF/CF(2)     

关于三角形的一个性质

如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明　 (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于     

从一道错题谈教师对学生探究活动的引导

一、错题的探究题目如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,若AD,BD的长是方程2x2-12x+3m-1=0的两根,且△ABC的面积为12.(1)求CD的长;(2)求m的值.先让学习练习,学生A的解法是:解:(1)∵AD、BD的长是方程2x2-12x+3m-1=0的两根,∴AD+BD=6,即AB=6.又∵CD⊥AB且△ABC的面积为12,∴12AB·CD=12,12×6CD=12,∴CD=4.(2)∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AB·BD.又∵AD·DB=3m-12,CD=4,∴3m-12=16,∴m=11.结果有二十个左右的学生的意见同上述解答一样,不同意见的也有二十个左右,没举手的有5个.学生B代表不同意见说:“上述(2…     

一道求角度赛题的多种解法

<正>2014年全国初中数学联赛初赛第二题:如图1,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC等于().图1(A)80°(B)100°(C)140°(D)160°一、特殊化解法1由于∠ABC=80°及AB=BC=BD都是常量,△ABD和△DBC的形状可改变是变量,即与∠ABD的取值无关.所以     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

一个三角形面积公式在立体几何中的应用

定理S△ABC=21AB2·AC2-(AB·AC)2.证S△ABC=21|AB|·|AC|sin〈AB,AC〉=21|AB||AC|·1-cos2〈AB,AC〉=21|AB||AC|·1-|AABB|·|AACC|2=21|AB|2|AC|2-(AB·AC)2=21AB2·AC2-(AB·AC)2.例1已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).试求:1)△ABC的面积;2)△ABC的AB边上的高.解1)     

另解课外练习题四则

<正>题1(2015年7月下中学生数学课外练习题初三(3))如图1,AB为半圆的直径,C是半圆上的一点,正方形DEFG的一边DG在AB上,另一边DE过△ABC内切圆的圆心I,且点E在半圆弧上,求证:S_(正方形DEFG)=S_(△ABC).解设△ABC内切圆半径IP=IQ=ID=r,AC=6,BC=a.由DE~2=AD·BD=(AC-PC)(BCCQ)=(b-r)(a-r)=ab-(a+b)r+r~2.     

等腰三角形的综合研究(下)

<正>例6(俄罗斯区域数学竞赛题)如图17,△ABC中,O是角B的平分线BE上一点,AO、CO分别交BC、AB于点D和F.证明:如果△BOF与△BOD的面积相等,那么AB=BC.证明由于O是角B的平分线BE上一点,所以O到BF的和BD的距离相等,设都等于h.由已知△BOF与△BOD的面积相等,即1/2BF×h=1/2BD×h.所以,得BF=BD.     

由一道向量题所想到的

有这样一道题目： 已知△ABC中,AB=2,AC=1,BD=DC,则AD·BD的值为（ ）．     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

构造辅助线解几何题两例

<正>在解几何题中,有时候恰当地构造辅助线,可以有效地打开思维,化繁为简,起到很好的解题效果.下面以两道题为例来进行说明.例1如图1,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D、交AC于E,且BD=EC.求证:AB=AC.证法1如图2,连接OD、OE.∵OB=OC,OD=OE且BD=CE,∴△OBD≌△OCE(SSS),∴∠B=∠C,∴AB=AC.证法2如图2,连接OD、OE.∵BD=EC,     

数学问题解答

20 0 4年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 6　在△ABC中 ,AB=AC ,∠B的平分线交AC于D ,且BC =BD AD .求∠A .(山东大学数学与系统科学学院 3 62信箱　王大鹏　2 50 1 0 0 )解法 1 　在BC上取一点E ,使BE =BD .连结DE .因为AB =AC ,所以∠ABC=∠C .设∠C =2α ,因为     

数学问题解答

2006年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)1626如图,已知,半圆O的直径AB=8cm,弦AD=CD=2cm,求:BC的长.解连结AC,BD.在Rt△ADB中,由勾股定理,得BD=AB2-AD2=82-22=215.由锐角三角函数,得sin∠DAB=ABBD=2815=415.在Rt△ABC中,由锐角三角函数,得sin∠ABC=AABC=A8C.因为S四边形ABCD