一道竞赛题的多角度审视

2009年全国高中数学联赛江苏初赛第13题： 若不等式√x＋√y≤k√2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．     

一道赛题变式的简解

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0． 在《数学通讯》网站论坛上，一位网友提出了该题的如下变式，并发贴向各位求教：     

一道西班牙竞赛题的奇异变式

在《数学通讯》网站论坛网友交流分坛上，网友searchbeyond发贴求教一个问题： 题1 已知（√x^2＋1＋y）（√y^2＋1-x）=1试判断x与y的大小关系．     

一数学竞赛题变式推广的简证

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m],且（x＋√x^2＋m^2）（y＋√y^2＋m^2）=m^2,那么x=y．     

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

一对姐妹题的隐形误解及探究

2009年高考数学江西文理第15题都是以无理不等式为背景的求参数值的姐妹题． 文科题 若不等式√4-x^2≤k（x＋1）的解集为区间[a,b],且b-a=1,则k=__．     

一道数学竞赛最值问题及变式

题目 实数x,y,z满足x2＋y2＋z2=1,则√2xy＋yz的最大值为___．     

2008年上海市高考数学（理）第11题赏析

上海市2008年高考数学（理）第11题为：题目方程x^2＋√2x-1=0的解可视为函数y=x＋√2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,4/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.     

一道无理函数高考题的研究性学习

题目：（2008年重庆市理科卷第4题）已知函数y=√（1-x）＋√（x＋3）的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为（ ）．     

解一道高考题后的反思

题：设a为实数，记函数f（x）=a√1-x^2＋√1＋x＋√1-x的最大值为g（a）． （1）设t=√1＋x＋√1-x,求t的取值范围，并将f（x）表示为t的函数m（t）．     

一个数学问题的探究

《数学通报》问题1662：求函数y=sinx＋cosx＋tanx＋cotx＋secx＋cscx的值域．其解答采用切割化弦和换元法求得值域为（-∞，1-2√2]∪[2＋3√2，＋∞）．笔者通过探究发现，在该函数取正值时，最小值2＋3√2在特殊角x=2kn＋π/4（k∈Z）时取得，本文进一步探求该函数在限制条件下的一些推广形式的最小值．     

一道竞赛题的思路分析

2008年中国西部数学奥林匹克试题： 已知x,y,z∈（0,1）且√1-x/yz＋√1-y/zx＋√1-z/xy=2,求xyz的最大值。本题的得分率很低,有一定的难度,以下是笔者在解该题时的思路,整理出来供参考．     

用三角代换简证一道西班牙竞赛题及其变式

例1（第31届西班牙数学奥林匹克试题）已知（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,求证：x＋y=0。 笔者也曾关注过这道西班牙竞赛题，并查阅了关于此题的一些解法，最近又看到贵刊也谈及此题，更激起了笔者的兴趣，经过研究，笔者发现用三角代换可证明此竞赛题及其变式，现给出解法与大家一起探讨。     

一道竞赛培训题的正解

第十九届“希望杯”高一培训题第29题为： 已知实数x，y适合：2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（x＋y）＋3√3xy，则z的取值范围是（ ）     

三视角求解一道参数取值范围高考题

2010年高考湖北卷理科第（9）题为：若直线y=x＋b与曲线y=3-√4x-x^2有公共点,则实数b的取值范围是 （ ） （A）[-1,1＋2√2]． （B）[-1-2√2,1＋2√2]． （C）[1-2√2,3]． （D）[1-√2,3]．     

对“点顶距已知时矩形周长最大值问题”的再讨论

2008年高考重庆理科卷第4题的题目是：已知函数y=√1-x＋√x＋3的最大值为M，最小值为m，则m/M的值为（ ）     

一道TI杯试题的多种解法视角

2008年上海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛第6题为：函数y=√3-4x＋√2x＋1的最大值为．     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量^→a=（x1＋y1）,^→b=（x2,y2）,则称cos（^→→a,b）=x1x2＋y1y2/√x1^2＋y1^2√x2^2＋y2^2为向量^→a与^→b的坐标形式的夹角公式．有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的．其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,     

一道预赛题的简解及推广

若不等式x~（1/2）＋y~（1/2）≤k2~（1/2）x＋y对于任意正实数x,y都成立,求实数k的取值范围.文1、文2、文3的三位作者从不同的角度对此题进行了正确解答,解题过程有繁有简,各有千秋.在数学简洁美、和谐美和统一美的启迪下,笔者给出再下面新的、简朴的解答,并给出该命题的推广,供同学们参考.     

对一道初赛题的解法探究简

已知关于x的方程｜x—k｜=√2/2k√x在区间[k-1,k＋1]上有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是_____．