秘密在哪儿？

在函数y =f(x)中隐含着秘密 ,发现并利用y =f(x) 的秘密 ,是顺利解题的关键 .那么 ,秘密到底藏在哪儿呢藏在函数的关系式之中例 1 :(0 1年全国高考题 )设 f(x)是定义在R上的偶函数 ,对于任意x1 ,x2 ∈ 0 ,12 ,都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 ) ,且 f(1 ) =2 .求 f 12 ,f 14 .分析 :怎样由 f(1 ) =2去求f 12 呢 ?从题设给出的函数关系式 :f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )启发我们 ,只要把 1分成两个 12 之和 ,即可解决问题 .解析 :首先 ,由x1 ,x2 ∈ 0 ,12 都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )的条件 ,可推出x∈ [0 ,1 ]时都成立的一般式子 :f(x) =f …     

构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道 :(1 )若函数 f (x)在区间 I上单调增 ,且x1、x2 ∈ I,则 f(x1) x2 ;(3 )若函数 f(x)在区间 I上单调 ,且 x1、x2 ∈ I,则 f (x1) =f (x2 )　 　 x1=x2 .根据题目的特点 ,构造恰当的函数 ,利用函数单调性来解题是一种常用技巧 ,本文在此作点归纳和介绍 .1　巧用单调性解方程 (不等式 )例 1　解方程　 3 x 4x =5x.解　易知原方程同解于方程 (35) x (45) x=1 ,观察知 x =2是此方程的解 .易知 ,函数 f (x) =(…     

浅谈函数的单调性及应用

函数的单调性是函数的重要性质 ,应用十分广泛 ,必须认真学好 .那么 ,怎样学好这个性质呢 ?1　切实掌握概念 ,打好学习基础课本指出 :设函数 f(x)的定义域为I ,如果对于属于定义域I内某区间上任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1f(x2 ) ,那么 f(x)在这个区间上是增函数 (或减函数 ) .这个概念的核心是任意性和恒定性 .任意性是指x1,x2 是函数定义域内任意两个自变量 ,恒定性是指不等式 f(x1) f(x2 )是在x1相似文献   

新题征展(61)

A　题组新编1 已知函数 f(x) =lg(ax2 +ax +2 ) ,其中a为实数 .( 1 )若函数 f(x)的定义域是R ,求a的取值范围 ;( 2 )若函数 f(x)的定义域是 ( -2 ,m) ,求a的取值范围 ;( 3 )若函数 f(x)的值域是R ,求a的取值范围 ;( 4)若函数 f(x)的值域是 ( -∞ ,1 ],求a的取值范围 .2 半球的半径为R(R为定值 ) ,它的内接长方体A1B1C1D1-ABCD的下底面ABCD在半球的底面上 .( 1 )求长方体AC1的体积的最大值 ;( 2 )求长方体AC1的所有棱长之和的最大值 .B　藏题新掘3 已知集合A ={x｜x2 -(t2 +t+1 )x+t(t2 +1 ) >0 } ,B={x｜x =12 m2 -m+52 ,0 ≤m…     

新题征展(22)

A.题组新编1 .( 1 )若函数 y =4 3x m .9x在区间 ( -∞ ,2 ]上有意义 ,则实数 m的取值范围是　　　 ;( 2 )若函数 y =4 3x m .9x 的定义域是 ( -∞ ,2 ],则实数 m的取值范围是　　　 .2 .已知函数 f ( x)的定义域是 R,且f ( 2 - x) =- f ( x 2 ) .( 1 )若 f( x)是奇函数 ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 2 )若 f( x)是偶函数 ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 3)若 f( 1 x) =f ( 1 - x) ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 4 )若 f( 1 x) =- f( 1 - x) ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 5)若 f( 2 - x) =f ( x 2 ) ,则 f( x) =　　　 .3.( 1 ) 1…     

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …     

新题征展(58)

A　题组新编1 .( 1 )已知定义在 R 上的函数 f ( x)为增函数 ,且 f ( x) .f [f ( x) 1x]=1 ,求f ( 1 ) ;( 2 )已知定义在 R到 R上的连续函数f ( x)满足 f( x) .f( f( x) ) =1 ,若 f ( 1 0 0 ) =99,求 f ( 50 ) .2 .已知 A ={0 ,1 ,2 ,3,4 ,5,6 ,7},f :A→A.分别求下列情况下映射 f的个数 :( 1 )若 i j =7,则 f ( i) f ( j) =7;( 2 )若 i j =7,则 f ( i) .f ( j) =ij.B　藏题新掘3.函数 y =2 ax - 1x 在 ( 0 ,1 ]上最大值为 - 12 ,则 a的值为 (　　 ) .( A) 14 　　　 ( B) - 132( C) - 11 6 ( D) 14 或 - 1324 .已知 a≥ 1 ,b…     

关于抽象函数题的练评课

抽象函数题在高中数学教材中找不到单独章节 ,然而在近年各地模拟试题中却出现许多抽象函数问题 .笔者有意收集这些问题并分类介绍如下 ,供读者在高三练评课时选用 .1　求定义域求抽象函数的定义域要注意中间变量的值域等同性 ,如在 f(g1(x) ) ,f(g2 (x) )中 ,g1(x)与 g2 (x)的值域应相同 .1函数 f(1x2 )的定义域为 [1 ,2 ],则f (1 - x)的定义域是 .2已知函数 f(3 - 2 x)的定义域为[- 1 ,2 ],则 f (x)的定义域是 .3函数 f (x)的定义域为 [0 ,1 0 ],求函数f (x2 - x - 2 )的定义域 .　　简答　 1 [0 ,34 ];2 [- 1 ,5];3 [- 3 ,- 1 ]∪ [2 ,4]…     

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值     

单调函数的一个性质及应用

由单调函数的定义,我发现单调函数有如下性质:若函数f(x)在区间D上是增函数(减函数),则对于任意x1、x2∈D,恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))≥0(≤0),或x1f(x1)+x2f(x2)≥(≤)x1f(x2)+x2f(x1).其中当且仅当x1=x2时取等号.这一性质在学习中往往被忽视.我发现,通过构造单调函数,利用此性质可巧妙解决许多问题,且解法简     

两道函数题的错解剖析

在函数这章的教学中 ,笔者发现学生在解题过程中出现与函数有关的两个相似的错误 .剖析如下 .错误 1　认为函数 y =f (x 1 )的反函数是 y =f-1(x 1 ) .例 1　已知 f (x) =2 x 3x - 1 ,函数 g(x)的图象与 y =f-1(x 1 )的图象关于直线y =x对称 ,则 g(3 ) =.错解　根据题意 ,g(x)是 f -1(x 1 )的反函数 ,而 f -1(x 1 )的反函数是 f (x 1 ) ,∴　 g(x) =f (x 1 )=2 (x 1 ) 3(x 1 ) - 1 =2 x 5x .故得　 g(x) =1 13 .剖析　 f (x 1 )的反函数是 f-1(x 1 )吗 ?我们不妨来求 f (x 1 )的反函数 ,设 y =f (x 1 ) ,则 x 1 =f -1(y) ,…     

用代换法解抽象函数问题

抽象函数是指那些没有给出解析式的函数,因为缺少具体的表达式,所以分析和解决这类问题时感到棘手,如果能根据条件的特征,采用变量代换法,创造从难到易转化的条件,那么问题往往得以圆满地解答. 例1 已知函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1) f(x2)=2f(x1 x2/2)· 不恒为零. 求证:(1)f(x)是偶函数; (2)f(x)是周期为2π的周期函数. 证明(1)不妨设f(x0)≠0,取x1=x2=x0,得2f(x0)=2f(x0)f(0),则f(0)=1. 又取x1=x,x2=-x(x∈R),得     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

一类数学试题的错因分析

<正>问题定义在R上的函数f(x)满足f(0)x=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x/5)=1/2f(x)且当0≤x1相似文献   

运用导数的性质解高考试题

设 y =f(x)为可导函数 .①在某个区间内 ,如果 f′(x) >0 ,则 f(x)为增函数 ;如果 f′(x) <0 ,则 f(x)为减函数 .反之亦然 .②函数 f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且该点两侧的导数异号 .③函数 f(x)在点x0 处的导数 f′(x0 )是曲线y =f(x)在点 (x0 ,f(x0 ) )处切线的斜率 .运用上述性质可解决下面几类高考题 .1　求参数的取值范围图 1　例 1图例 1　 (2 0 0 0年春北京高考题 )已知函数 f(x) =ax3+bx2 +cx +d的图象如图 1所示 ,则 (　　 )(A)b∈ (-∞ ,0 ) .(B)b∈ (0 ,1) .(C)b∈ (1,2 ) .(D)b∈ (2 ,+∞ ) .解　由图象知…     

用具体函数思考抽象性质

函数是中学数学的重要内容.没有给出具体解析式的函数,由于它将具体函数的性质高度抽象化,因此使不少同学望而生畏,束手无策.解这类题要求我们思维灵活,通过联想具体函数的有关性质,探索解题方法. 一、线性函数 例1 已知函数f(x)的定义域是R,对任意x1,x2∈R都有f(x1十x2)=f(x1) f(x2),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=a,试判断在区间[-3,3]上,f(x)是否有最大值或最小值,如果有,求出最大值或最小值,如果没有,说明理由. 分析虽然求函数最值方法很多,但本题是函数的抽象,只能利用函数的单调性求解,由条件易联想教材中的函数f(x)=kx,进而证明f(x)在R上是递减求解.     

我为高考设计题目

题55已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在实数x_0,使得f(x_0+1)=f(x_0)+f(1)成立.(1)函数f(x)=1/x是否属于集合M?说明理由;(2)证明:函数f(x)=2~x+x~2∈M;(3)设函数f(x)=1g a/(x~2+1)∈M,求a的取值范围.解(1)假设f(x)∈M,则存在x_0,使得     

课外练习

高一年级1.已知m ,n ,p∈A ={x |x - 1|≤ 3且x∈Z}.试求logm +nP的不同值的个数 .2 .已知函数 f(x)为偶函数 ,对于定义域R内在任意x ,都有 f(x) =f( 4-x) ,且当x∈ [0 ,2 ]时 ,f(x)=1-x2 ,求x∈ [2 0 0 2 ,2 0 0 4 ]时f(x)的解析式 .3 .已知函数 f(x) =- 2x +2 ,x∈ [12 ,1] ,设 f(x)的反函数为y =g(x) ,a1 =1,a2 =g(a1 ) ,… ,an =g(an-1 ) ,求数列 {an}的通项公式高二年级1.已知函数f(x) =lg(log3 2 x -klog2 x +2 ) ,若f(x)在( 1,+∞ )上均有意义 .试求实数k的取值范围 .2 .设a∈k,函数 f(x) =ax2 +x -a ( - 1≤x≤ 1) .( 1)若 |a|≤ …     

函数图像的两种对称问题

对于如下问题,许多同学感到不知所措. 1.y=f(x)是定义在R上的函数,则y= f(1-x)与y=f(1+x)的图像关于__对称. 2.y=f(x)是定义在R上的函数,若f(1+ x)=f(1-x),则y=f(x)的图像关于__对称. 3.y=f(x)是定义在R上的函数,则y= f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于__对称. 其实,此类问题涉及到了函数图像的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性,我们称其为互对称.     

聚焦平面向量的交汇性

本文就向量与三角函数、解析几何、数列、不等式的综合题作一归纳总结,供参考.一、平面向量与函数、导数的交汇例1.已知向量a=(x2,x 1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.分析:本题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解:依定义f(x)=x2(1-x) t(x 1)=-x3 x2 tx t,则f′(x)=-3x2 2x t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.∴f′(x)≥0t≥3x2-2x,在区间(-1,1)上恒成立,考虑函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=13,…