关于不定方程x^2—Dy^2=c的最小正整数解

给出一般二元二次不定方程最小正整数解的一个判定准则，确定了几类二元二次不定方程和Pell方程的最小正整数解，推广了[1]、[2]中的两个结果。     

关于不定方程x~2-Dy~2=c的最小正整数解

给出一般二元二次不定方程最小正整数解的一个判定准则 ,确定了几类二元二次不定方程和Pell方程的最小正整数解 ,推广了 [1 ]、[2 ]中的两个结果     

北京数字奥林匹克学校课堂实录

课题一次不定方程适用年级初中一年级学期2005-2006学年度第一学期训练目的1.使学生掌握判断整系数不定方程有整数解的方法;2.使学生理解并掌握整数离析法术整系数不定方程的整数解和正整数解;3.使学生应用消元思想将三元一次不定方程转化为二元不定方程求解.典型范例求不定方程5x+7y=978的整数解,并求正整数解的个数.     

用观察法求二元一次不定方程的特解初探

任何事物的矛盾都是普遍性和特殊性的辩证统一 ,普遍性存在于特殊性之中 ,特殊性里包含着普遍性 ,因此认识“特殊”是认识“一般”的入门向导 .求二元一次不定方程的一个特解 ,是求该方程通解的关键 ,也是求二元一次不定方程的正整数解或二元一次不定方程应用题的重要基础 .用观察法求特解 ,简便易行 ,快速敏捷 .下面 ,举例说明用观察法求特解的一点技巧 .1　对于二元一次不定方程 ax by=c( a,b,c为整数 ,( a,b) =1) ) ,当 a|c或 b|c的情况 .例 1　求 3 x 5 y=9的一个特解 .解　∵　 ( 3 ,5 ) |9,此方程有整数解 .求特解∵　 a=3 ,3 |9　可…     

二元一次不定方程的整数解的通解公式

二元一次不定方程的整数解的通解公式胡学松，张勇宏，龚五星（湖北省监利县朱河中学，河南省郑州市荥阳师范学校，湖南省娄底二中）众所周知，二元一次不定方程ａｘ十ｂｙ—ｃ＠有整数解的充要条件是（ａ，ｂ）｜ｃ，其全体整数其中（Ｘ０，ｙ０）是①的一个特解．文［１...     

在中学里常见的不定方程的整数解问题

对于方程或方程组,当未知数的个数,多于方程的个数时,一般来说,方程(组)的解数不确定,有无穷组解。我们把这种方程或方程组,叫做不定方程或不定方程组。本文里,将讨论几种中学里常见的特殊不定方程为整数解的求法。 中学里常见的不定方程,是二元一次不定     

不定方程

我国对不定方程的研究已延续数千年,古代流传至今的“秦王暗点兵”、“物不知其数”、“百钱买百鸡”等题目和解法都是十分有趣的。因此,对不定方程的研究至今仍是令人感兴趣的课题,也是竞赛中常出现的考题。 本文只对二元一次不定方程求整数解和某些     

三元三次不定方程ax^(2)+by^(2)+cz^(2)=dxyz-1基础解的进一步研究

关于三元三次不定方程的研究,是不定方程研究中的重要课题,有许多尚未解决的问题.讨论了不定方程ax^(2)+by^(2)+cz^(2)=dxyz-1的基础解,其中(a,b,c)=1,a,b,c均为d的因子.利用文献中的方法,运用二元二次型理论和初等数论的结果,求出了该不定方程的所有基础解.     

大系数二元一次不定方程解法探讨

大系数二元一次不定方程解法探讨朱志嘉，周定远（四川乐山市教科所６１４０００）我们知道，求一元一次不定方程ａｘ±ｂｙ＝ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ为非零整数）①的整数解（通解）的关键步骤是先求出其对应方程ａｘ±ｂｙ＝１②的一组特解，求②的特解一般常用辗转相除法或...     

同余式组求解的改进算法

同余式组求解是数论中最基本的问题之一,在公钥系统与通信编码等领域具有许多重要的应用.本文通过将求衍数的过程转化为求解一个二元一次不定方程整数特解,提出了求解此类问题的新算法.理论上证明了:对给定的k个一次同余式,经典的孙子算法同本文的改进算法的复杂度之比为klog_(kM)M(若M_i为同余式组中除去第i个同余式,其余k-1个同余式的模的乘积,M是M_i的平均值).数值实验结果表明了新算法所需时间接近于经典孙子定理所需时间的0.5倍,验证了该改进算法的高效性.     

关于 x~2+y~2=n 的有理解

文〔l]中求出厂二儿二次不定方程 厂+丫二1和丫十犷二2的全部有理解,同时还证明厂不定方程 丫+丫=3没有有理解,本文将这个有趣的问题推广到一般的二元一几次不定方程 丫+犷“n(r,为自然数)(l)求出它的有理解的表达式,并指出对于怎样的自然数,l’方程(l)有有理解。 定理1若不定方程川有整数解,则它有无穷多组有理解。当方程(l)的组整数解为x二a,g=b时,它的全部有理解可表为 m:’tZ一2脚b一ab一Zma一m,bX一一,.一,,U一—、‘) l十”未一~1十”之其中。为有理数。 证明方程(l)在直角坐标系中表示圆心在坐标原点,‘卜径为训丁的圆。山于 y一b…     

n元一次不定方程解法新论

文 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]都研究了ｎ元一次不定方程的通解问题 ,受 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]的启发 ,笔者提出更为简捷有效的解法 .ｎ元一次不定方程ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ ,其中ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,Ａ都是整数 ,当 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ)｜Ａ时 ,ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ必有整数解 .在有整数解的前提下 ,不妨设 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ) =1 (下同 ) .1　二元一次不定方程二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｚ ,(ａ,ｂ) =1下同 )的所有整数解为ｘ=ｘ0 +ｂｔｙ=ｙ0 -ａｔ(ｔ∈Ｚ)其中ｘ0 ,ｙ0 是ａｘ+ｂｙ =ｃ的一个特…     

一次不定方程的简易解法

一次不定方程现在通常的解法是将其化为一次不定方程组来解，当未知数较多时，其解法极其繁复。本文利用矩阵和自由阿贝尔群的理论，对一次不定方程的解的结构进行了讨论，并利用其结论给出了一种简单解法。另外，该解法为利用计算机得到一次不定方程的通解提供方便。     

剩余类和一次不定方程

用剩余类的基本性质求一次不定方程的整数解,方法似乎比较简便,中学生也不难掌握。本文先介绍剩余类的几个基本性质,然后研究一次不定方程和一次不定方程组的整数解问题。     

关于不定方程ax+by=c的特解的算法

给定二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ ,( 1 )其中ａ ,ｂ ,ｃ为整数 ,且ａ ,ｂ≠ 0 .由文 [1 ]知 ,不定方程 ( 1 )有整数解的充分必要条件为ｇｃｄ(ａ ,ｂ) ｜ｃ,亦即ａ ,ｂ的最大公因数可整除ｃ.若不作特别说明 ,本文所说的解均指整数解 .设不定方程 ( 1 )有解 .不失一般性 ,我们总可假定ｇｃｄ(ａ ,ｂ) =1 .此时 ,不定方程 ( 1 )有解且它的全部解为ｘ=ｘ0 -ｂｔ,ｙ=ｙ0 +ａｔ,( 2 )其中 (ｘ0 ,ｙ0 )为不定方程 ( 1 )的特解 ,ｔ为任意整数 .这是因为若 ( 1 )的一般解为 (ｘ,ｙ) ,则 (ｘ -ｘ0 ,ｙ-ｙ0 )为 ( 1 )的齐次方程 (ｃ=0 )的一般解 .上…     

解二元一次不定方程的新方法

二元一次不定方程的解法很多,最常用的方法是辗转相除法〔‘’,本文提出了一种新的求解法,比传统方法简单易行。 设二元一次不定方程 A二士B夕=C(1)其中A,B是互素的正整数,‘是整数。假定B>A,用A去除B所得的商必定含有整数部分与小数部分。我们以q表示商的整数部分,作两个等式将(7)式乘2加(e) 37 XS一目p式就得到107 x3二一2537x(一8)一107x(一3)=25于是得到原方程的一组特解:。二一8,y0=一3。故原方程整数解的通式为万=107K一8(K为整数)下=37K一3Aq一B二一犷iA(q+1)一B=,:(2)(3)这里,:,八均为正整数,(后面将证明,士与,:还是互素的)…     

二元二次方程组的教学

教学改革运动开展以来,我們在教学上采取了一系列措施。首先,在备课时充分研究如何精雕細刻地进行教学,如何在进行新課的教学中巩固和提高旧知識。現在仅就“二元二次方程组”这一单元教学的初步經驗做些介紹。 (一)加强概念的理解对于二元二次方程的一般形式 ax~2 bxy cy~2 dx ey f=0,其中bxy是二次項,这个“二次”的概念,多数同学是模糊的,以为x~2,y~2才是二次,而xy只是一次。我从直观着手,联系几何,說明一次项是“綫”二次项是“面”,x~2及y~2都是正方形,是“面”;但xy是长方形,也是“面”,因此学生对“二次”的概念就清楚了。学生对于一个二元二次方程可以有“无数組解”的意义不太明白,教师可联系二元一次方陧,从列表、作图来說明无数組解的情况,根据学生接受情况还可以介紹“不定方程”这个名词。     

如何求x~2-y~2=c的正整数解

我们知道,x2-y2=c(c为正整数),这是一个二元二次不定方程,如果不考虑别的条件,x、y可以有无数个解.现在我们来研究x、y的正整数解的条件和可能性.设x-y=n(n≥1),则y=x-n,代入原式得x2-y2=c,     

关于不定方程 x~2+y~2=Z~2之通解由其任一特解的显式表示

尽管它的通解可被它的最小正整数解 x_0,y_0 的显函数式表出,但至今未能被它的任一组特解的显函数式表出.那未,有没有某个二次不定方程的通解可被它的任一特解的显函数式表示呢?这是引人注意的一个问题。教授曾指出:特殊解的知识能使我们解一次不定方程,但对于非一次不定方程,求通解时须用特殊技巧.     

用Pell方程解某些三次不定方程

许多三次以上的不定方程,即使是很简单的类型,解决它们,也常常是困难的。 本文介绍用Pell方程来解三次不定方程