二元函数极值的一种新判别方法

通常都是利用二阶偏导数来判别二元函数 z =f (x,y)的极值存在性 .本文将讨论如何利用一阶偏导数来判别二元函数的极值存在性 .我们知道 ,在利用二阶偏导数判别 z =f (x,y)的极值时存在着两方面的不便 :1°要计算三个二阶偏导数值 ;2°当 [fxx .fyy -f2xy]( x0 ,y0 ) =0时 ,不能确定极值是否存在 .下面我们受一元函数极值判别的启发 ,利用一元函数的性质 ,研究如何用一阶偏导数判别二元函数的极值 .设二元函数 z =f (x,y)在点 (x0 ,y0 )的 δ-邻域 B| ( x0 ,y0 ) ={ (x,y) | 0 <(x -x0 ) 2 (y -y0 ) 2 <δ}内有连续偏导数 ,(x,y)是该邻域…     

关于f(x、y)连续性的几个定理

<正> 关于二元函数z=f(x、y)的连续性,在高等数学中,一般仅给出它的定义,除用定义判断其连续外,却很少涉及其它方法。本文将给出判断二元函数f(x、y)连续的几个充分条件。定理1 设f(x、y)在区域D上有定义,若1)f(x、y)对x、y连续,2)f(x、y)对x是单调的,则     

关于用拉格朗日乘数法求条件极值的充分条件

<正> 拉格朗日乘数法是用来讨论条件极值同题的一种数学方法.它通过引进一个拉格朗日函数L,然后按L取得极值的必要条件来求可能的极值点,至于所求出的可能极值点,是否确为极值点,则不能完全按照L取得极值的充分条件进行判定,这一点往往易被人们所疏忽.关于条件极值的充分判别法,有的教科书在这个问题上有所疏忽.现引出如下: “设目标函数为f(x,y,z),约束条件为假定在所讨论的范围内f,g和h具有     

利用判别式求函数值域的探讨

利用一元二次方程的判别式求某些函数值域和极值的方法,由于求解过程中采用了某些变形等缘故,往往使函数值的范围发生变化,这就导致此法的不可靠性。本文想就这个问题作一些讨论。 (一) 若函数y=f(x)由下面隐函数形式给出: a(y)·x~2+b(y)·x+c(y)=0 (1)此时可把方程(1)看作x的二次方程。因为x应取实数值,也即方程(1)应有实数根,所以其判别式△=[b(y)]~2-4·a(y)·C(y)≥0 (2)解不等式(2)所得到的y值范围(我们用集合M来表示)有可能是函数y=f(x)的值域。但M是否为函数y=f(x)的值域还应分别不同情况加以讨论: 1.若对于任意的y∈M,有a(y)(?)0,由一元二次方程根的判别式可知,方程(1)有实根与(2)是互为充要的条件,所以y=f(x)的值域为M。     

名校基础知识自测 高一年级

一、选择题1.集合M={(x,y)|y=f(x),x∈A}∩{(x,y)|x= 1}(A R)的元素个数为( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)0或12.下列函数中与y=x表示同一函数的是( ). (A)y=x2/x (B)y=(√x)2 (C)y=√x2 (D)y=x53.函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数F(x)= f(x) f(-x)的定义域是( ). (A)[-1,2] (B)[-2,1] (C)[-1,1] (D)[-2,2]     

三、反三角函数、三角方程

A组一.选择题(以下各题中,有且仅有一个选择支是正确的): 1.函数y=lg(arccosx)的定义域是( )。 (A)-1≤x≤1;(B)-1≤x≤1; (C)-1相似文献   

对几类无理函数极值问题的探讨

函数是中学数学的重要基础知识 ,对函数问题的研究贯穿中学数学的始终 ,函数的极值又是函数的一个重要性质 ,并在生产、生活和社会实践中有着广泛应用 ,本文将应用化归思想方法根据基本初等函数的性质来研究几类无理函数的极值问题 .类型 1　 y=px q ax b( pa≠ 0 ) ,这种类型题通过代换 t=ax b可化为二次函数进行讨论 .类型 2　 y =px q ax2 bx c( pa≠ 0且 b2 - 4ac>0 ) ,这种类型题通过三角代换可化为三角函数进行讨论 .例 1　求下列函数的极值 :( 1 ) y =- 2 x 1 x 2 ;( 2 ) y =x - 2 4- 2 x - x2 ;( 3) y =2 x -…     

对可导函数求最值的一种简单方法

现行高中数学课本上对可导函数求最值的方法介绍如下：设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,那么,求y=f(x)在[a,b]上的最大、最小值的步骤是：(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个     

考点5 反函数

1.(江苏卷,2)函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为().(A)y=log2x-23(B)y=log2x-23(C)y=log23-2x(D)y=log23-2x2.(山东卷,2)函数y=1-x x(x≠0)的反函数的图像大致是().(A)(B)(C)(D)3.(全国卷,3)函数y=3x2-1(x≤0)的反函数是().(A)y=(x+1)3(x≥-1)(B)y=-(x+1)3(x≥-1)(C)y=(x+1)3(x≥0)(D)y=-(x+1)3(x≥0)4.(辽宁卷,5)函数y=ln(x+x2+1)的反函数是().(A)y=ex+2e-x(B)y=-ex+2e-x(C)y=ex-2e-x(D)y=-ex-2e-x5.(天津卷,9)设f-1(x)是函数f(x)=12(ax-a-x)(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为().(A)(a22-a1,+∞)(B)(-∞,a22-…     

新题征展(133)

A 题组新编1.设函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则(1)函数y=f(x)的图象关于点(α,f(α))对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于直线x=α对称;(2)当f'(a)=0时,函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于点(a,f'(a))对称.     

二次函数的极值和二次函数的分类

用初等数学的方法求函数的极值,陈振宜、范会国两同志分别著有小册子作了专門的叙述,其中都提到了二次函数的极值及其求法。本文旨在用同样初等的方法,对二次函数的极值問題作更深入一步的討論。有趣的是,通过极值存在与否的討論,还可以得到函数的分类;从几何的观点来看,就是曲綫的分类。陈振宜同志已經提出:如果x的函数y可以化成 f_1(y)x~2+f_2(y)x+f_3(y)=0 (1)形式,其中f_1,f_2,f_3是y的函数,那么,由于x必須是实数,即(1)必須有实根,其判別式 f_2(y)~2-4f_1(y)f_3(y)≥0。(2)只要这一不等式可解,y的极值就可以求得(見“极大与极小”第13頁)。从中学生的知識水平来看,如果(2)的左边部分是y的二次函数,那么不等式(2)总是容易解出的,而且有权現成的方法。下面三种情况都是属于这种情形     

关于二元函数最值的一个注记

在求一元函数最大、最小值问题时 ,有一个被各类高等数学教材广泛使用的性质 :设函数 y=f( x)在区间 I上可导 ,如果 y=f( x)在区间 I上有唯一的驻点 x0 ,而且 f( x0 )是函数 y=f ( x)在 I上极大值 (或极小值 ) ,那么 f ( x0 )就一定是函数 y=f ( x)在区间 I上的最大值 (或最小值 )。证明并不难 ,几何意义也很明显。以极大值为例 ,在极值点 x0 左边的导数将保持正值 ,而右边的导数值将保持负值 ,因此 f ( x)的函数值只能从 x0 往两边下降直到区间 I的边界。当函数 y=f( x)在 I上只有一个极值点时 ,用这个性质非常方便 ,因此 ,近年出版的各…     

全微分定理的另一证法

<正> 微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy要成为某一函数全微分的条件有定理若P(x,y)与Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+     

对一本教材中函数定义的一点看法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》上册 (第四版 )第 6页中有关函数的定义是这样的 :设x、y是两个变量 ,D是给定的数集 ,如果对于每个 x∈D,变量 y按照一定法则总有确定的数值和它对应 ,则称 y是 x的函数 ,记作 y=f (x)。本书第 7页又说到 :如果自变量在定义域内任取一个数值时 ,对应的函数值只有一个 ,这种函数叫单值函数 ,否则叫多值函数。本书第 2 3页求三角函数的反函数时又出现多值函数的说法。如对 y=sinx(x∈ R) ,当求它的反函数时 ,任给 y∈ [-1 ,1 ],有无限多个 x使 sinx=y,于是给出反三角函数 Arcsinx=y,对 y=sinx当 x∈ [-…     

一道考研试题的注记

20 0 3年全国硕士研究生入学考试数学试卷 (一 )的第八题为 :设函数 f ( x)连续且恒大于零 ,F( t) = Ω( t)f ( x2 + y2 + z2 ) dv D( t)f ( x2 + y2 ) dσ,　 G( t) = D( t)f ( x2 + y2 ) dσ∫t- tf ( x2 ) dx,其中Ω ( t) ={( x,y,z) | x2 + y2 + z2 ≤ t2 },D( t) ={( x,y) | x2 + y2 ≤ t2 }.( 1 )讨论 F( t)在区间 ( 0 ,+∞ )内的单调性 ;( 2 )证明当 t>0时 ,F( t) >2πG( t) .本文在这里将给出这一问题的一个一般性命题 ,即如下的 :命题　设函数 f ( x)连续且恒大于零 ,F( t) =∫…∫Vl( t)f ( x21+… + x2l) dx1… dxl∫…∫Vp…     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

条件极值的一种求法

求二元函数z=f(x,y)及三元函数z=f(x,y,z)的条件极值一般采用的方法有两种,一种是间接法,即将条件极值问题化为无条件极值问题来求解,但此法对不易显化的约束条件不适用;另一种是拉格朗日乘数法,这种方法对任何条件极值均适用,但对初学者往往存在这样一个容易误解的问题:例如求z=f(x,y),则在条件.(?)(x,y)= 0下的极值.由拉格朗日乘数法,作函数     

广义函数的卷积

在古典分析中,已引入: 定义1 设f∈L_p(-∞,+∞),g∈L_q(-∞,+∞),其中1≤p,q≤+∞,满足1/p+1/q=1,则f和g的卷积定义为: 利用直积的概念,Schwartz L.给出了广义函数卷积的一般定义. 定义2 设f,g是两个广义函数,定义f和g的卷积为: (f*g,φ=(f(x)×g(y),φ(x+y)),φ∈D. 但是,在这里要指出,φ(x+y)已经不是(x,y)空间中的具有有界支集的函数,因而一般地说,定义2是没有意义的. 但对下面两种情况,定义2是有意义的. (1)广义函数f,g之一的支集是有界的; (2)两个广义函数f,g的支集都是同一方向有界的. 1973年Jones D S.研究了广义函数卷积,给出了另外一种广义函数卷积定义.     

关于条件极值的一个注記

本文讨论待求极值的函数以隐函数的形式给出,且约束方程中含有待求极值的函数情况下的条件极值问题。设方程 F(x_1,x_2,…x_n,y)=0~1) (1)在所论某邻域內滿足隐函数存在定理的一切条件,它确定着y对于x_i(i=1,…,n)的函数: y=y(x_1,x_2,…x_n);(2)又设方程组 (m相似文献   

关于一道题解的改正

设二函数 y =f(u)和u=φ(x) 的导函数 y′ =f′(u)与u′=φ′(x) 的定义域分别为D (f′)与D ( φ′) ,则复合函数 y=F(x) =f[φ(x) ]的导函数 dydx=F′(x) 的定义域为 :D(F′) ={x｜x∈D( φ′)且 φ(x)∈D( f′) }