一个求极值问题(Ⅰ)

对于给定的正整数n,N(N>n>1)与实数δ(0≤δ≤1/2),要求在k₁+k₂+…+k_n=N,k_i≥1(i=1,2,…,n)都是整数 (1)的条件下,求出一组使文中定义的目标函数L_{k¹k²…kⁿ}(δ)取最大值的整数组(k₁k₂…k_n),这整数组称为方程(1)的最优解。在本文中,将要证明:对于任何N>n>1与0≤δ≤1/2,一定能从适合(ⅰ)k₁为偶数;(ⅱ)|k_i-k_j|≤2(1≤i,j≤n);(ⅲ)在k₂,…,k_n中出现的偶数k都有相同的数值等条件的那些(k₁k₂…k_n)中找到方程(1)的一组最优解。特别对于δ=0与δ=1/2这两个重要的情形,给出了当N=n(e-1),而e≥4为一偶数时方程(1)的一组最优解。文中还证明了:对于δ=0与δ=1/2,以及N=nk(k≥2),从极限的观点看,(k,k,…,k)都是方程(1)的一个“相当不好”的解。     

强不变原理中的最佳速度

设{X_n}为i.i.d.r.v.s.,EX₁=0,EX₁~2=1,S_n=sum from i=1 to n(X_i),H(x)>0 (x≥0)为非降连续函数,对某γ>0和x₀>0,当x≥x₀时,x^-2-γH(x)非降,x^-1logH(x)非增,且x^-1logH(x)→0(x→∞),则有一标准Wiener过程{W(t),t≥0},使得 S_n-W(n)=O(invH(n))a.s.(n→∞)的充分必要条件是:对任何t>0有EH(t|X₁|)<∞.     

齐次Moran集的维数

设μ(|n_k|_k≥1,|c_k|_k≥1)为正整数序列|n_k|_k≥1与正数序列|c_k|_k≥1确定的齐次Moran集的集类.确定了μ中元素的Hausdorff维数的最大值与最小值,并证明对任一介于上述最大值和最小值之间的数s,存在μ中的元素,其Hausdorff维数等于s,前述结论对于填充维数亦成立。还讨论了齐次Moran集的其他性质。     

完整三角和的估计

设q是一个正整数,f(x)=α_kx~k+…+α₁x+α₀(k≥3)是一个适合条件(α₁,…α_k,q)=1的整系数多项式,本文证明了,对素数p和l≥1,有以及。     

Schur函数的一个展式及其在计数几何中的应用

本文给出对称多项式的幂的Schur函数展式(x₁^k+…+x_n^k)^m=sumC_{(λ1,…,λn)}S_{(λ1,…,λn)}(x₁,…,x_n)中系数C_{(λ1,…,λn)}的计算方法,并把它和文献[1]应用于计数几何的若干问题。     

Moran猜想的证明

在研究有关绝对矩的一些典型不等式时,澳大利亚著名数学家Moran指出:若x₁,x₂,x₃,…为相互独立随机变数序列,且有相同的分布那末对任何实数a₁≥a₂≥…≥a_n≥0,n≥1,可能成立不等式 本文完全证明了上述猜想,并说明了只有当a₁=a₂,a₃=…=a_n=0时,上式中等号成立。     

大偶数的一个表示法中2的方幂的个数(II)

证明了下述结果 :对任意的整数k≥ 54 000 ,存在只依赖于k的常数N_k>0 ,使得每个不小于N_k 的偶数都可表为两个奇素数及k个2的方幂之和.     

Adams谱序列中α~s(n)h0hk的收敛性

证明了(i)在p≥ 5,2≤s≤p- 1 ,k≥ 2时, β_sh₀h_k+1收敛到E_∞ ;(ii)在p≥7,3≤s≤p-1,k≥3时, γ_sh₀h_k+1收敛到E_∞.     

平凡主丛上提升过程的环流

紧流形M上的以向量场X为漂移项的Brown运动{x_t}_t≥0可以提升到M×T^k上的一个扩散过程{^-x_t}_t≥0(相应于一个M上的R^k值光滑微分1形式A)。研究提升过程{^-x_t}_t≥0绕环面T^k的k个圈的环流(即旋转数)。适当地选取R^k值微分1形式A。这些环流分别给出了{^-x_t}_t≥0的隐环流和{^-x_t}_t≥0绕M上某些闭圈的旋转数(这些闭圈生成M的一阶同调群H₁(M,Z))。     

拟线性抛物方程组第一边界问题的有限差分法 ——Ⅲ.稳定性

讨论如下拟线性抛物组第一边值问题的显式、弱隐式和强隐式差分解u_t=(-1)^M+1A(x,t,u,…,u_x^M-1)u_x^2M+f(x,t,u,…,u_x^2M-1(x,t)∈Q_T={O<x<l,0<t≤T.}，u_x^k(0，t)=u_x^k(l，t)=0 (k=0，1，…，M -1)，0<t≤T，u(x，0)=φ(x)，0≤x≤l，其中u，φ和f是m维向量值函数，A是m×m正定矩阵，u_t=∂u/∂t，u_x^k=∂^ku/∂x^k.在以下意义下证明了该问题的一般有限差分格式的稳定性：即离散向量解在W₂^(2M，M)(Q_T)中的离散范数是连续地依赖于初始数据的H^M离散范数，以及矩阵A与自由项f的相应的离散范数.     

l p值Gauss过程的增量有多大

设{Y(t),t≥0}={X_k(t),t≥0}^∞_k=1是独立的Gauss过程序列,σ²_k(h)=E(X_k(t+h)-X_k(t))².记σ(p,h)=(sum from k=1 to ∞ σ^p_k(h))^1/p,P≥1.考察σ(P,h)有界时Y(·)的大增量.作为一个例子,给出了无穷维分数Ornstein-Uhlenbeck过程在l^p空间中的大增量.所建立的方法适用于某些其它类型的平稳增量过程.     

关于齐次加型同余式

本文研究了形如α₁λ₁^k+…+α_sλ_s^k=0的加型方程,此处诸α₁是一个次数为n的代数域K中的整数,主要结果为:若s≥(2k)ⁿ⁺¹(或当2 k时,s≥cknlog k),方程在任何-adic域中均可以非寻常求解,此处 为K中素理想。     

箱样条的局部逼近阶

设△是由平面R²={(x₁,x₂):x₁,x₂∈R}上三族直线 x₁=n,x₂=n,x₂-x₁=n,n∈Z所构成的分划。R²上的函数s称为是关于分划△的一个k次样条函数,如果s在R~2\△的各连通分支上与一个全次数≤k的多项式相一致。全体k次样条函数所成的空间记为π_k,△。令π_k,△^ρ=π_k,△∩C^ρ。以φ_k,ρ表示由π_k,△^ρ内所有箱样条组成的集合,以m(k,ρ)表示φ_k,ρ所具有的局部逼近阶。迄今为止,关于m(k,ρ)仅有deBoor与Hollig,及Dahmen与Micchelli的少量结果。本文完全确定了m(k,ρ)的值,其结果如下: (1)m(k,ρ)=2k-2ρ,如果2k-3ρ=2, (2)m(k,ρ)=2k-2ρ-1,如果2k-3ρ=3或4, (3)m(k,ρ)=k+1,如果ρ=0, (4)m(k,ρ)=min{2k-2ρ-2,k},如果2k-3ρ≥5且ρ≥1。     

关于Grünwald插值算子及其应用

本文研究了基于Jacobi多项式J_n^(α,β)(x)(0<α,β<1)的零点{x_k}_lⁿ的Grünwald插值多项式G_n(f;x)=(?)f(x_k)l_k²(x),证明了G_n(f;x)在(-1,1)内的任一闭子区间上一致收敛于连续函数f(x);从而拓广了Grünwald所得结果。     

大偶数的一个表示法中2的方幂的个数(I)

在广义Riemann假设之下 ,证明了 :对任意的整数k≥ 770 ,存在只依赖于k的常数N_k>0 ,使得每个不小于N_k 的偶数都可表为两个奇素数及k个2的方幂之和.     

对称凸集上初等对称函数为Schur-凹的充要条件

设x,y∈Rⁿ,x被y所控制记作x(?)y。又w∈Rⁿ,令S_k(x)为第k个初等对称函数。Q_m,n为前n个自然数取m个的严格增序列的集合。对于β∈Q_m,n写w_β=(W_{^β(1),…,WB(m)}∈R^m。本文主要证明了下面的结论:(1)S_k(x)在(?)_w上是Schur-凹的充要条件是(2)S_k(x)≥0,(?)x∈(?)_w的充要条件是S_k(w)≥0且S_k(x)在(?)_w上是Schur-凹的(3)S_k(x)≥0,(?)x∈(?)的充要条件是     

亚纯函数的幅角分布与增长性

设 f(z)为下级μ<+∞的平面内的亚纯函数,argz=θ_k(k=1,2,…,m;1≤m <+∞;0≤θ₁<θ₂<…<θ_m<2π,θ_m+1=θ_1+2π为平面内m条射线,使得对任意的ε>0及X=0,∞有 这里ρ为一任意给定的非负实数.如果f⁽¹⁾(z)(l≥0)具有一个有穷非零亏值 a,则f(z)的级λ≥max(π/ωρ)其中ω=min (θ_k+1-θ_k).     

k近邻判别法后验错误概率的指数限

本文对k>1的情况证明了:k近邻判别的后验错误概率L_n在一定条件下,仍以概率1收敛于其无条件错误概率的渐近值R_k,且P(|L_n-R_k|≥ε)有形如O(exp(-cn^1/3))的指数限。k=1的情况已在文献[1]中解决,且上述表达式中的1/3可以用1/2代替。     

多变量的Cauchy问题的唯一性中的离散现象

本文讨论Cauchy问题sub from i,j=0 to n a_iju_xixj+sub from i=0 to n b_iu_xj+cu=0,x₀>0,u(0,x₁,…,x_n)=u_x0(0,x₁,…,x_n)=0的唯一性中的离散现象. 我们证明了,此问题在原点的一个邻域中只有平凡解的充要条件为b₀(0)-sub from i=1 to n(2a_i+1)λ_i≠0,其中λ_i>0是矩阵-(?²α₀₀/?_xi?_xj(0))(_i,j=1,…,n)与(a_ij(0))_i,j=1,…,n)的乘积的特征根的平方根.α_i是任意的非负整数.     

关于三角剖分下二元样条空间的维数

本文利用多元样条的协调条件、平面图理论和空间同构的方法建立了对于所有μ≥1,k≥4μ+1和任意三角剖分T的样条空间S_k^μ(T)的维数公式,对于一类尽可能任意的三角剖分T=T(μ),本文也给出了当k≥μ+1时S_k^μ(T)的维数公式。特别当μ=1,2时此类剖分在逼近问题上有明显的实用性。