柯西中值定理的一个证法

柯西中值定理是微分学中最主要定理之一,通常是利用罗尔定理来证明的。其证明难点在于构造辅助函数。本文给出了柯西中值定理的另一个证法:先给出一个简单的引理,再利用关于导函数的介值性的达布定理,证明柯西中值定理,从而可把罗尔定理和拉格朗日中值定理作为特殊情形。同时,在证明中构造的辅助函数,也较易于接受。     

罗尔定理证明一类存在性问题

提出罗尔定理证明一类存在性问题的方法,采用拉格朗日中值定理或柯西中值定理来证明这类问题往往需要构造精巧的辅助函数,我们还指出了这种方法的一般性.     

两个微分中值定理证明中辅助函数作法探讨

在证明拉格朗日中值定理与柯西中值定理时都要作辅助函数,这里直接依据所证明的结论,给出两种求辅助函数的方法.     

微分中值定理的扩展与证明

1.对拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理,从结论的几何意义出发,各列举几种不同几何意义的辅助函数证明定理。2.把拉格朗日中值定理所示的的平面曲线扩展到空间曲线的类似定理及其证明。3.给出拉格朗日中值定理中“ξ”的唯一性和连续性的充分条件,并加以证明。     

微分中值定理证明中辅助函数的探讨

罗尔定理、拉格朗日定理,柯西定理是三个重要的微分中值定理。一般在证明罗尔定理的基础上,用引入辅助函数的方法证明后两个定理。辅助函数的作法构思别致但不易想到。本文从一个容易接受的简单     

微分中值定理历史与发展

本文简述了罗尔微分中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理产生的历史背景;详细总结了这些中值定理在各种情形下的推广和进一步发展     

微分中值定理证明小议

<正> 拉格朗日中值定理和柯西中值定理是通过构造辅助函数并利用罗尔定理证明的.初学对此感到陌生,难以接受.一般是从几何直观入手引入辅助函数,但初学者还认为思路不自然. 这篇小议对构造辅助函数给出另外的两条思路,而且不是从几何直观,纯粹从定理的结论入手,进行逆推,以求使读者感到构造辅助函数是水到渠成,不勉强.但愿此文能对大家有所启发,初步掌握构造性证明的方法.     

基于曲线导数的二元函数微分中值定理

给定二元函数,文献[1]定义了其在光滑曲线上的方向导数(简称为曲线导数).本文主要利用曲线导数建立二元函数的微分中值定理,比如罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.这些中值定理可视作一元函数微分中值定理在二维情形的推广.     

二元函数微分中值定理的推广

本文将一元函数微积分理论中起十分重要作用的四个微分中值定理推广到了二元函数的情形,给出了二元函数费尔玛定理、罗尔定理和柯西中值定理的形式,并进行了严格地证明。为了保持研究的完整性,对于已有结论的二元函数拉格朗日中值定理,给出了一种较简便的证明方法。这些中值定理的推广,为研究多元函数的微积分及实际应用问题,提供了有效的方法和工具。     

关于微分中值定理教学的一点看法

拉格朗日中值定理及柯西中值定理的证明,通常以洛尔定理作为它的预备定理。证明的关键在于构造一个辅助函数。所见到的各种分析课本都是沿用传统的辅助函数,这个函数的引入,主要是借助于几何直观,不妨归类为几何方法,尽管有几何形象,学生接     

也谈一类微分中值定理证明问题

要基于一类满足拉格朗日中值定理条件的微分中值定理证明问题,提出了一类类似的满足柯西中值定理条件的微分中值定理证明问题,并给出了证明．     

利用插值法证明推广的柯西中值定理

借助插值的思想 ,首先给出函数 f( x)的泰勒公式的行列式表达式 ,推广了柯西中值定理 .据此拉格朗日中值定理、泰勒公式、罗必塔法则均是该结论的推论 ,从而对经典的中值定理、泰勒公式、罗必塔法则给出了统一证明     

用原函数构造辅助函数

辅助函数法是高等数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，例如拉格朗目中值定理与柯西中值定理的证明都使用了辅助函数法。构造辅助函数的方法很多，构造出的辅助函数也可以有各种不同的形式。大部分高等数学教材（例如「1」〔Zj上，拉格朗目中值定理和柯西中值定理证明中的辅助函数都是从几何角度得出的，然而上述两个定理证明中的辅助函数也可以用原函数构造出来。本文先通过拉格朗目中值定理与柯西中值定理的证明，介绍用原函数构造辅助函数的方法，然后再介绍一些用此法进行证明的其他实例。在拉格朗目中值定理的证明中，设八x）在…     

关于拉格朗日中值定理的证明

一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理,证明的关键是给出一个辅助函数.怎样构作这一辅助函数呢?我们来看:     

台劳公式的另一证明

本文给出带有拉格朗日型余项的台劳公式的又一个证明方法。这一证法以罗尔定理为基础,也象拉格朗日中值定理的证明那样,引进一个辅助函数。笔者以为本文采用的辅助函数比     

关于微积分中值定理证明方法的注记

<正> 一般的微积分学课本,在证明拉格朗日(Lagrange)中值定理及柯西(Cauchy)中值定理时,都是采用作辅助函数的方法,其所用的辅助函数,就我们所见,有三种不同的类型([1]     

“泰勒中值定理”教法的一种尝试

<正> 在高等数学教学中,罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒中值定理历来被认为是教学的难点,也是学生觉得不易理解和难于掌握的内容。近年来,很多教师都在努力寻求一种更好的讲解方法,并且在罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的讲法方面取得了较大的成功,也有不少文章介绍这方面的经验。对泰勒中值定理,尽管大家公认是难点,但还未见到有很成熟的改时方法。在教学中,笔者对泰勒中值定理的教法进行了一些改进,并取得了良好的效果。     

拉格朗日中值定理的证法研究

本文探讨了拉格朗日中值定理的各种证明方法,对定理证明中辅助函数的构造进行了研究,给出了构造辅助函数的思路和方法.     

如何作辅助函数解题

利用辅助函数求解数学问题 ,是高等数中常用的方法之一 ,但如何才能找到合适的辅助函数 ,许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数 ,使学生感到突然。实际上只要对这一类问题深入分析 ,找出它们的来龙去脉 ,就不会感到神秘了。本文以证明拉格朗日中值定理来说明通过形象思维和逻辑思维寻求辅助函数的几种方法。例 1　若 f ( x)在 [a,b]上连续 ,在 ( a,b)内可导 ,证明 :至少存在一点ξ∈ ( a,b) ,使f ( b) -f ( a) =f′(ξ) ( b -a)　　分析 :试利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理 ,能否构一个函数 ,它满足罗尔定理 ,其导数恰为拉格…     

关于微分中值定理证明的教学

拉格朗日中值定理是微分学的理论基础 ,在介绍应用导数研究函数变化的性态之前 ,全面准确地理解中值定理的条件和结论及它的证明 ,对学好微分学起着至关重要的作用 .拉格朗日中值定理表述为 :如果函数 ｆ(ｘ)满足下列条件1 )在闭区间 [ａ ,ｂ]上连续 ,2 )在开区间 (ａ ,ｂ)内可