2011年高考江苏卷18题（3）的逆向及推广

2011年江苏高考18题,考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离,考查运算求解能力和推理论证能力,是高考命题中的亮点试题。其中（3）小问对椭圆对称性质的应用提出了更高的要求．本文就18题（3）作逆向及推广探究．     

类比探究直线与椭圆的位置关系

背景在《实验班》的课堂上,复习椭圆与直线的位置关系时,其中有一个问题是怎样判别直线与椭圆的位置关系.学生甲:将直线方程与椭圆方程联立,消去y     

椭圆和双曲线的其它形式方程

1.椭圆和双曲线的其它形式方程直线与x轴交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距;直线与y轴交于点(0,b),则称b为直线在y轴上的截距.直线在x、y轴上的截距分别是a和b,且ab≠0时,直线有截距式方程:x/a+y/b=1.椭圆标准方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0时,椭圆与x轴交于点(±a,0),与y轴交于点(0,土b),与直线的截距式方程类比,不妨也称椭圆的标准方程为椭圆的截距式方程.但根据不同的已知条件,直线还有以下     

一题多解

<正>题目已知椭圆的右焦点和上顶点分别是过点P(1,1/2)引圆x2+y2=1的两切线的切点A、B的直线与x、y轴的交点,则该椭圆的标准方程为.分析本题是一道融直线、圆和椭圆于一体的解析几何综合问题的客观题,题小但极能考查综合解决问题的能力.求椭圆的标准方程     

2014年北京理科卷第19题的探究历程

2014年北京理科卷第19题：已知椭圆C：x2＋2y2=4,（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2＋y2=2的位置关系,并证明你的结论.此题是近年解析几何中常考的一种题型──运动中的＂不变＂问题.考查椭圆方程、直线与圆的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查转化化归思想、数形结合思想、特殊与一般等数学思想，是一道精心打磨的好题．     

一道高考题的"深度解析"

2010年高考数学安徽理科卷第19题主要考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的方程以及点关于直线的对称等基础知识;并以对这些基础知识的考查为依托,考查了考生对解析几何的基本思想的理解与掌握情况及其综合运算能力、探究意识与创新意识.     

判断直线与椭圆位置关系的一种方法

在平面解析几何中，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：方法卫是从代数角度，即从直线方程与圆方程联立所得的方程组的解的个数来判断；方法2是从几何角度，即从圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断．在解题中，常用方法2．对直线与椭圆位置关系的判断，目前只有一种方法，就是从直线方程与椭圆方程联立得到的方程组的解的个数来判断，它是从直线与圆的位置关系的判断方法1，通过类比而得到的．那么，我们自然要问：对直线与椭圆的位置关系的判断，能否有类似于上述判断方法2的结论呢？几经探求，笔者得出了如下结论：定理若椭圆E…     

巧妙设参，探究拓展——以2022年高考数学新高考Ⅱ卷第16题为例

<正>1真题呈现高考真2题2(2022年高考数学新高考Ⅱ卷·16)已知椭圆■,直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于M,N两点,且■,则直线l的方程为___．此题以椭圆为问题背景,结合直线与椭圆位置关系的设置,综合线段的长度以及长度关系,唯一确定相应的直线方程．     

一道2020年高考椭圆中最值问题的探究与变式

—、问题提出题1(2020年高考海南卷,21题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为1/2.(1)求C的方程;(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.题1考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的最值问题,考查了数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养,检验了学生分析问题与解决问题的能力.     

试题研讨(6)

题 1　 (2 0 0 2年广州市高三测试题 )已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,离心率 e= 12 ,且经过点 M(- 1 ,32 ) .( )求椭圆 C的方程 :( )若椭圆 C上有两个不同点 P、Q关于直线 y =4x m对称 ,求 m的取值范围 .命题溯源　此题根据 1 986年广东省高考试卷末题改编而成 ,主要考查学生求曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系 ,以及综合运用数学知识解决问题的能力 .原解思路　 ( )依题意 ,设椭圆的方程为　 x2a2 y2b2 =1 (a >b >0 ) ,则1a2 94b2 =1 ,ca =12 ,a2 - b2 =c2 .解得　 a =2 ,b =3 ,c =1 .∴　椭圆 C的方程为　 x24 y23 =…     

一道数学竞赛题的推广与引申

题目(2010年河北省预赛题)已知椭圆C过点M(2,1),两个焦点分别为(-6~1/2,0),(6~1/2,0).O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的点A,B.(1)略;(2)证明:直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.本题属于一道很常规的竞赛试题,主要考查椭圆的标准方程、直线的方程及直线与椭圆的位置关系.下面将此题推广到一般形式.     

一道课本习题的引申

高级中学课本《平面解析几何》（必修）Ｐ９９上有这样一道习题：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于Ｍ;求证：直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴;由抛物线我们联想到椭圆,若将以上命题引申到椭圆会有怎样的结论？经过探讨,发现有如下性质;定理１　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和椭圆长轴上一个顶点的直线交距点Ｆ较近的准线于Ｍ,则直线ＭＱ通过长轴上的另一个顶点;ｘ２ＡＯＦＰ１ＡＱｙｌＭ证明　设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）,焦点Ｆ（－ｃ…     

一道2009年高考模拟试题的别解与推广及类比

2009年福建宁化市有如下一道模拟题: 已知椭圆C的离心率e=(3)/(2),长轴的左右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0). (1)求椭圆C的方程; (2)设直线x=my+1与椭圆C交于两点P,Q,直线A1P与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.     

我为高考设计题目

题79已知椭圆x2/8+y2/4=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于M,N两点.(1)若点P平分线段MN,试求直线l的方程;(2)设与满足(1)中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,求证:CD∥AB.解(1)M(x,y),N(x,y),则有x+     

2015年高考北京文科卷第20题的探究历程

每年高考都会留下一份十分宝贵的资源——数学高考试卷,其中许多试题内涵丰富、立意新颖、视角独特,彰显着数学的永恒魅力,也为师生的学习和探究提供了帮助.笔者特别关注了2015年高考北京文科卷第20题,本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质、直线方程及直线与直线的位置关系,考查用代数、几何方法研究圆锥曲线的性质和数形结合思想,考查学生的运算能力和推理能力,笔者对此作了一番探究.     

一道“两根不对称”问题的化简想法

2021年2月江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷中有这样一道解析几何题:设F为椭圆C:x²/2+y²=1的右焦点,过点(2,0)的直线与椭圆C交于两点.(1)若点B为椭圆C的上顶点,求直线AF的方程.     

一类解几问题的拓广

文[1]对下列问题进行了探讨,即 　　问题1设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),椭圆内有一定点P(m,0),过该点作直线交椭圆A,B两点,又在该直线上另有一点Q,满足|AP/PB|〗=|AQ/QB|,求Q点的轨迹方程.……     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).     

有心二次曲线的统一定义

众所周知,椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线,它们有统一定义,且也有统一的极坐标方程,作为有心二次曲线的椭圆(包括圆)和双曲线,是否也有统一的定义、统一的方程呢? 设P_1、P_2是平面内的两定点,M为平面内的动点,有向直线P_1P_2到直线P_1M及直线P_2M的角分别为α_1,α_2,且tgα_1·tgα_2=k(k是非零常数)。动点M的轨迹是什么呢?     

椭圆和双曲线的两种新的统一方程

根据圆锥曲线的统一定义所建立的椭圆、双曲线的统一方程为我们所熟知 ,笔者将椭圆、双曲线与直线进行类比得到它们的另外两种统一方程 ,现介绍如下 ,供同学们学习参考 .一、椭圆、双曲线的点离式方程与直线的点斜式方程 y -y1 =k(x -x1 )相类比 ,可以建立由椭圆、双曲线的离心率e及其上一点P(x1 ,y1 )所确定的方程 ,这种形式的方程称为椭圆、双曲线的点离式方程 .命题 1　若点P(x1 ,y1 )是离心率为e,且中心在坐标原点 ,焦点在坐标轴上的椭圆 (或双曲线 )上一点 ,则(1)当焦点在x轴上时 ,方程为y2 -y21 =(e2 -1) (x2 -x21 ) ;(2 )当焦点在y…