余弦、正弦定理在四面体中的推广

高中代数课本上册(P240,P2431998年出版)解斜三角形部分给出了余弦定理的内容及表达式．下面把余弦定理推广到四面体中,不妨称为“四面体余弦定理”．     

四面体中的Menelaus定理

著称于世的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理是证明三点共线和一些复杂比关系等问题的有力武器．从公元一世纪发现至今,研究者诸多,例如其证法就达数十种之多,到本世纪七十年代初就有人把定理推广到凸ｎ边形的情况,使该定理的应用更加广泛．本文的目的是想把定理引伸到三维空间的...     

蝴蝶定理及其推广的射影本源

蝴蝶定理及其推广的射影本源周华生（常熟市中学２１５５００）有关蝴蝶定理及其推广的论文很多，如文【１］一【７］，但若用射影几何的观点，可对这些定理给出一个统一的解释，为揭示其中的本质特阐明如下：引理１二阶曲线上四点与其上任意第五点所联成四直线的交比为常...     

面积射影定理的推广和应用

高中《立体几何》课本第68页有这样一道习题。一个棱锥所有的侧面与底面所成的二面角都等于a,那么此结论叫面积射影定理.将这个定理推广,可以得到下列更一般的结论:     

三角形射影定理在解题中的应用

在△ABC中,由余弦定理有cosB=a^2＋c^2-b^2/2ac,cosC=a^2＋b^2-c^2/2ab,得bcosC＋ccosB=a,同理可得ccosA＋acosC—b,acosB＋bcosA=c,我们称以上三式为三角形射影定理,本文举例说明三角形射影定理在解题中的应用．     

四面体中的“类正弦定理”

文给出了直角四面体类似于直角三角形的一些性质，文给出了四面体中的余弦定理．受此启发，经过研究，本文得到四面体中的“类正弦定理”．     

余弦定理在四面体的一个推广

余弦定理　在△ABC中 ,设内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c,则b2 =a2 c2 - 2accosB .( 1 )文 [1 ]给出了余弦定理在四面体的一个推广如下 :定理 1 　在任意四面体中 ,它的一个面的面积的平方 ,等于其他三个面的面积的平方和 ,减去这三个面中每个面的面积与它们所夹二面角的余弦的积的和的两部 .文 [2 ]给出了余弦定理在四边形的一个推广如下 :定理 2　设凸四边形ABCD的四边长依次为AB=a ,BC=b ,CD=c,DA =d ,两对角线长AC =p,BD =q ,则(pq) 2 =(ac) 2 (bd) 2 -2abcdcos(B D)(2 )本文给出余弦定理在四面体的一个有别于定理 1的推…     

面积射影定理的应用

平面图形射影面积S_1等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角a的余弦。用式子表示: S_1=Scosα (*)这是人们所称的面积射影定理。 公式(*)在立体几何解题中具有一定的作用,有时甚至能把问题化繁为简。本文通过四     

正交四面体中的十二点共球定理

三双对棱互相垂直的四面体叫做正交四面体．关于正交四面体，我们有定理正交四面体棱的中点，对棱的公垂线段的端点，凡十二点共球．为叙述方便起见，我们不妨称此定理为十二点球定理．先看下面的引理．引理１正交四面体中对棱中点的连线段相等且互相平分．图１证如图１，...     

面积射影定理的应用

我们知道,平面图形射影的面积S_1等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹二面角α的余弦,即 S_1=Scosα (*) 面积射影定理在立体几何解题中有一定的作用,本文通过几个具体例子加以说明。一、求二面角例1 正三角形ABC的边长为α,A在平面M     

平面封闭折线中的射影定理,正弦定理和余弦定理

本文将三角形的射影定理、正弦定理和余弦定理，拓广到平面封闭折线中，从而揭示其基本元素——边与折角之间的恒等关系．文中的有关概念（如折角、顶角），可参阅［１］［２］文．定理设ｎ边平面封闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ的边长为｜Ａ１Ａ２｜＝ａ１，｜Ａ２Ａ３｜＝ａ２，...     

Diestel-Faires定理在局部凸空间中的推广

通过Banach 空间与局部凸空间的对比,将Banach 空间上的Diestel-Faires 定理在局部凸空间上进行推广。进一步给出了局部凸空间上的Orlicz-Pettis定理与推论。     

Ostrowski-Reich定理在AOR方法中的推广

其中D=diag(α_(11),α_(22),…,α_(nn)),C_L和C_U分别是严格下和上三角矩阵。若D是非奇异的,则Jacobi矩阵为 B=D~(-1)(C_L C_U)=L U,其中L=D~(-1)C_L,U=D~(-1)C_U。SOR方法(见[1,2,3])定义为     

Lax定理在局部凸空间中的推广

本文给出Ｌａｘ定理在局部凸空间中的几个推广，特别地，我们获得Ｌａｘ定理的如下推广：设Ｘ和Ｙ为自反Ｆｒｅｃｈｅｔ空间，其拓扑分别由半范序列ｑ１≤ｑ２≤…和半范序列ｐ１≤Ｐ２≤…所给出．设Ａ：Ｙ→Ｘ′为连续线性算子，则存在连续线性算子Ｇ：Ｙ′→Ｘ使满足：（Ｇｇ，Ａｙ）＝（ｇ，ｙ），ｇ∈Ｙ′，Ｖ∈Ｙ当且仅当：对于ｎ，存在ｃｎ＞０，使ｓｕｐ｛１（Ａｙ，ｘ）｜：ｑｎ（ｘ）≤１｝≤ｃｎｐｍ．（ｙ），ｙ∈Ｙ且Ａ的值域在互Ｘ′中具拓扑补，这里，Ｘ′和Ｙ′分别记Ｘ和Ｙ的强对偶．     

“三角形中的定理在四面体中的类比”一文的补充

文 [1]介绍了三角形中一些重要定理在四面体中的类比 .读后深受启发 ,但文 [1]还缺一些三角形性质的类比 ,作为该文的补充 ,笔者也介绍 3条类比性质 .1　中位线定理三角形的中位线平行于第三边 ,并且等于第三边的一半 .定理 1′　在四面体S ABC中 ,D ,E ,F分别是SA ,SB ,SC的中点 ,则平面DEF∥平面ABC ,并且△DEF的周长等于△ABC周长的一半 ,△DEF的面积等于△ABC面积的四分之一 .2　射影定理直角三角形一直角边的平方 ,等于它在斜边上的射影与斜边的乘积 .定理 2′　如图 1,在四面体S ABC中 ,SA ,SB ,SC两两垂直 ,S在平面…     

凸n边形中的正弦定理、余弦定理和射影定理

众所周知,正弦定理、余弦定理和射影定理是关于三角形基本元素(边和角)奖系的主要恒等式。它们在解三角形中扮演极为重要的角色。本文拟藉助于复数这个有力的工具将它们予以推广,得到凸n(≥3)边形中的正弦定理、余弦定理和射影定理。     

四面体体积比的一个定理

我们知道,若一个四面体被一个平面所截,如果截口是一个三角形,则只要知道了截面分四面体三条棱之比,就可较容易地求出截面分四面体两部分体积之比。但如果截面是四边形,那么情况就要复杂得多。本文介绍四面体体积比的一个定理,从中可以看到用分割法解立几题的作用。 定理 设A—BCD是体积等于V的四面体,它被平面a所截,ABCDA是由四条棱AB、BC、CD、DA首尾顺次相连的空间封闭折线,a与AB、BC、CD、DA的交点依次为P_1,P_2,P_2,P_4     

空间n边形中的射影定理和余弦定理

三角形中的射影定理、余弦定理和正弦定理,文[1]已(于1954年)推证到凸n边形。文[2]则应用不同的方法(复数方法)对文[1]的结论进行了再论证。文[3]将前两个定理推证到n面体。本文拟应用向量代数中的一个最基本的等式推证,较易得到空间n边形中的射影定理和余弦定理。