关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),其中f[1](x)=f(x).函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实数根)对方程f[n](x)=x解的情况有何影响?文[1]、文[2]对此进行了探讨,得到一些颇有价值的结论.其中文[2]证明了下述结果:定理设f(x)=x2 bx c,Δ0=(b-1)2-4c,若方程f(x)=     

利用广义有理函数的平均范数下的极小问题

1.引言 设(X,∑,μ)为σ有穷测度空间,而L≡L_1(X,∑,μ)为X上所有可积函数组成的线性赋范空间.范数定义为[1,Chapter 5] ||f||=integral from n=x to (|f(x)|dμ.我们用C(X)表示L中一切连续函数组成的空间.假定P,Q?C(X)且q(x)>0,     

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值     

复合函数的反函数

文[1]论证了在特定条件下函数y=f(x a)的反函数是y=f-1(x)-a,文[2]进一步推理出两函数y=f(ax b)与y=1af-1(x)-ba的图象关于直线y=x对称.顺势顿悟,本文来探索更一般的相关结论.定理1　如果内层函数u=g(x)使集合A到集合B上的映射既是单射*又是满射**,外层函数y=f(u)使集合B到集合     

关于函数y=(c dx~n)/(a bx~n)的一个恒等式的改进

文[1]给出了一个函数恒等式:定理1若f(x)=ac bdxxnn(ad≠bc,ab≠0),则f(x) f(na2b2·1x)=bca bad恒成立.显然当n是偶数时f(x) f(-na2b2·1x)=bca bad也恒成立.另外可发现使f(x) f(A·1x)=C恒成立的常数C和相应的常数A(不计正负号)是唯一确定的,这样定理1就可改进为:定理2若f(x     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

一组几何不等式的代数本源与推广

文[1]、[2]建立了一组很强的几何不等式,其构思之巧妙令人折服,本文追溯问题的代数本源,将其与文[3]的结果统一推广为:定理1　设函数f(x)在[0, ∞)上连续,在(0, ∞)内具有三阶导数且f(x)>0(或f(x)<0),则对任意x、y、z∈R,且x y z=0,有　　f(x2) f(y2) f(z2)　≥(或≤)f(0) 2f(x     

n元Fuzzy开关函数个数的计算公式

Fuzzy开关函数个数的算法通常用穷举法,这种算法很费力而且容易产生重复或遗漏,为了方便起见,我们把f(x)≡0或1也算是开关函数,并用N(n)表示n元Fuzzy开关函数的个数,则N(1)=6,N(2)=84,N(3)=43918. 要计算开关函数个数,由[1]可知,只要考虑f(x)定义域为{0,(1/2),1}~n就够了,为     

名校基础知识自测 高一年级

一、选择题1.集合M={(x,y)|y=f(x),x∈A}∩{(x,y)|x= 1}(A R)的元素个数为( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)0或12.下列函数中与y=x表示同一函数的是( ). (A)y=x2/x (B)y=(√x)2 (C)y=√x2 (D)y=x53.函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数F(x)= f(x) f(-x)的定义域是( ). (A)[-1,2] (B)[-2,1] (C)[-1,1] (D)[-2,2]     

联合最佳一致逼近

1.引言 设X为[a,b]中至少含有n 1个点的紧集,其中n为一个固定的自然数.在实连续函数空间C(X)中定义一致范数||f||=max[f(x)|。M是C[a,b]中的n维Haar子空间,h_1(x),…,h_n(x)是它的一个基底.     

可微凸函数的又一特征

设函数,f(x)在区间Ⅰ内二阶可导。文[1,P.175]、[2]指出以下命题互相等价: (ⅰ) f(x)为Ⅰ上的上(下)凸函数; (ⅱ) f″(x)≤(≥)0(x∈Ⅰ); (ⅲ) f(x)+f(y)≤(≥)2f(x+y/2)(x,y∈Ⅰ); 本文获得了凸函数的又一特征:     

关于函数非周期性的研究

有关函数周期性问题 ,近年有人陆续研究 (见 [4]- [9]) ,但大多研究如何求出函数的周期 .至于如何判定一个函数是否为非周期函数 ,论述就不多了 .如果f(x) 为线性函数或周期函数 ,易知sinf(x) 为周期函数 ,如果f(x) 为定义在R上的非线性函数及非周期函数 ,sinf(x) (下面我们简称为复合正弦函数 )是否还是周期函数 ?本文试用初等分析知识 ,证明函数的一些非周期性 .文 [1 ]证明了 f(x) 满足下列条件之一时 ,函数sinf(x) 为非周期函数 :1 ) f(x) 为二次以上的多项式 ;2 ) f(x) 为既约分式 .其实 ,借助于周期函数的定义 ,用初等分析方法 ,可以…     

非线性Chebyshev逼近的唯一性

§1.引言 设X是紧致Hausdooff空间,C(X)表示X上实值连续函数全体,带有一致范数 ||f||=max{|f(x)|:x∈X},f∈C(X).记 Z_f={x∈X:f(x)=0}, M_j={x∈X:|f(x)|=||f||}.又设l,u为X到拓广实数集[-∞,∞]的函数,l相似文献   

广义台劳公式的简单证明

文[1]中采用用行列式来表示辅助函数的方法,提出并证明了广义台劳公式(即[1]中定理2):定理 设函数f(x),g(x)在[a,b]上具有n阶连续导数,在(a,b)内f~(n 1)(x)、g~(n 1)(x)存在,且     

一个结论的是与非

文[1]给出了集合中几个似是而非的结论,并举例说明了它们的错误之处.仔细研读了文章之后,笔者认为该文对其中一个结论的判断值得商榷.结论若A={x|f(x)=0},B={x|g(x)=0},C={x|f~2(x)+g~2(x)=0},则A n B=C.文[1]认为该结论是错误的(只有在f(x),g(x)的定义域为R时成立),并给出了反例如下:     

关于广义Liénard系统非平凡周期解存在性的注记

本文首先研究广义Liénard系统(x)+f(x)Φ((x))(x)+g(x)Ψ((x))=0初值问题解的存在唯一性问题,其次优化了文[1-4]的条件,利用微分方程几何理论给出此系统存在非平凡周期解的简洁条件,推广和改进了文[1-4]的结果.     

再论函数的非周期性

关于函数的非周期性,在文[2]中证明了一大批所谓复合正弦函数如sinex,sinln(x2 4)等为非周期函数,但如果limx∞f'(x)=k(常数),文[2]的定理就无能为力了,本文将部分解决上述问题.为简单起见如无特别声明,本文所说函数仍设为定义在R上的连续函数,同时我们还引进渐近曲线概念:定义对于定义在R上的函数f(x),g(x),若limx∞|f(x)-g(x)|=0,我们称f(x)为g(x)的渐近曲线,当然g(x)也是f(x)的渐近曲线,记为f(x)～g(x).我们有以下结论定理1设f(x)～g(x),且g(x)和f(x)都是周期函数,则有f(x)≡g(x).我们先证如下引理.引理任意给定两个正实数ω1和ω2,…     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

Liénard方程全局稳定性的进一步探讨

考虑Lienard方程 x f(x)x g(x)=0 (1)其中f(x),g(x)为R~1上的连续函数,且满足解的唯一性条件。对于方程(1)的零解的全局稳定性的研究已有不少结果,文[1]曾给出了它的零解全局稳定的两个充分条件(即文[1]中的例3和例4),文[2]在介绍函数的作法时,又写下了这样的结论:     

关于非线性过程最优控制的存在性问题

本文讨论了形为x=f(t,x,u)的系统的最优控制的存在性问题,f(f,x,u)是比较一般的非线性函数,控制类普遍到足以包含一般工程上常见的控制函数.还讨论了由属于一定函数类的控制函数序列去逼近最优控制的问题,举出了与文[1]结论相矛盾的反例,并导出这问题的正确结论.