数学奥林匹克讲与练(Ⅷ)

例题讲解57．求正整数k，使其满足（a）、（b）两个条件：（。）对任意正整数n，不存在j，0＜j＜n—kMI，使数列C；，C；”，…，Q”‘－’为等差数列．（b）对某些正整数n，存在j，0＜j＜。一kM2，使数列C：，C：”’，…，C：“‘’为等差数列．解试讨论对于怎样的n及k，C士，C二，Cf”’恰成等差数列．欲CS’、C二、CY‘成等差数yu，应有于是（n＋2）应为完全平方，设为u’（u＞0），则卜一Zki—u，n一u‘一2（2）又由C：随厂变化的规律，可设由上面的结果可知，仅对形如（u’一2）（u＞3）的自然数n，当j一会（u‘一u一2）一1时…     

上期课外练习解答

高一年级1.由题设P:一2(x(功, q:1一m毛、毛l十m. 于是,p:二<一2或二>1叭 门q:,<1一扭或二>1月一m. 丫门P势,?但,q”门P, {川x<1一m或二>1 。}里{川一x<一2或 x>10}, m》9.2.’:二eR一卜,f(xy)一f(x) f(y), .f(1)一f、(1只1)~f(1) f(1), .’.f(1)一0.又j(1卜j(x·令卜,(工)一粉‘厂(一夸卜。,:·f(定,一f(专),…j.(‘,一f(奇)一f(合丫合)一2.由f(x)在(0,十二)内为减函数,可得解得一1镇x<0. 故所求解集为(‘:卜l毛x<。}.3.丫a,一: Za。一3an十z, 嘶十:一叽一1~2(价十1一a。).汉。月一2一反凡 1 口” 1一“介故{嘶 ,一a。}是以aZ一a、~Zx为…     

用判别式解题谨防“三忽视”

1忽视分类讨论例lm为何值时，（m－1）xZ一地；；－1）x－1＜06成立？错解即时,原不等式恒成立,剖析不题打本指明卜；－1）x‘－3（；，；一回）l’一回为二双函数，因此。一1可为0，故四分类讨论．正解若，n—1—06d，属不署式但成正；琶m—1士06立，依副所述知，当三＜n。＜互的，原不等式压成立2忽视有解的前提条件例26程x‘＋（。n—2）x一（。n—3）＝0的两根为l’l，12，末x卜xg的极小盾错解困韦达定理自剖析上述解答忽视了方程有解的动提条件，即面一（m－2）’＋4（。n—3）＞0。；n＜－2人都”。ZZh而7）；＝1的，原方程无买根正…     

p级数部分和的估计式与Euler常数

在级数敛散性的判别中，广级数有着举足轻重的作用，它是一个典型级数。本文将给出户级数部分和的估计式由此得出一个很重要的常数—Euler常数。一、P级数部分和的估计式考虑函数y=x-P（P＞0，X＞0），计算其一、二阶导数y’=px－1＜0；y”=p（p 1）x-p-2＞0，即函数y=xp的图形是单调减小、凹的（如图）。以下来估计在区间二，。」上曲边梯形的面积卜一’d。。由于｝，一。’的图形是凹的，由定积分近似计算中的梯形法公式知，其诸梯形面积之和应大于曲边梯形面积。图中以［k－l，hi为底边，上为高的n－l个矩形。积之。应小，曲。梯形面积…     

零之特性及其所引起的纠纷

我们知道他数／0一（）,（…）他数／他数mpo（卜）合前三者可称因数有为O者,则积必为0,（）此为O之性质之一,益以（tV）可知,有此性质者惟零而已,故日特性．（卜）亦可述之为积为O,则因数必有为O者,（2）通称为除法定律（dvisionlaw）：ah＝OXia＝OVb＝O（2’）者是也．其逆（l）又可述之为a—OVb—o＝ab一O．（’）初等代数之纠纷,泰半起于（1）,（2）相混．请分别言之．有理整方程之解法．应用因式定理：（I一a）（J－b〕（‘r－‘〕一O二J、一aVJ—bVJ一‘、．此不过（2）之推论耳．当吾人希望有～。,能使（xa）（a…     

周界中点三角形的又一性质

定理设面ABC三边为a，b，c，周界中点三角形相应边为a’，b’，c’，则证明设D、E、F分别为西ABC的边BC、CA、AB边上的周界中点．从E、F作EM上BC于M，FN上BC于N，NV（如图3）但BF—CE一户一a，因此上式即为a’＞a一（p—a）（cosB＋cosC）．再由关于y，C’的类似不等式，三式相加，得诸式代入上式左边，欲使看是否可能？化饲：即p’＜6R’－－f－－ZRr—r’；但Gerretsen不等式为P‘＜4R‘＋4Rr＋3r‘，可见只须证4R’＋4Rr＋3r’＜6R’＋ZRr—r’，PFZR’－ZRr、4r‘20；由欧拉不等式R）Zr知，ZR’一ZRr—4r‘一2…     

一个伪素数猜想的证明

文［1］中提出一个猜想：“对于每一个伪素数k而言，至少存在一组正整数（a，b），使得本文证明此猜想是成立的如果允许a＝k—1，则此猜想的正确性显而易见，本文限定a＜k一回引理1（欧拉定理）设k是大于l的奇数，NO2，（。）。1（n。edk）其中中（k）是欧拉函数，表示0，1，Z，··，k－1中与是互质的数的个数［2］这一引理表明，对任何大于1的奇数k都存在正整数l’，使得2”。1（inedk）（1）引理2设k为大于1的奇数，。为正整数，且有（1）式成立占是使（1）式成立的最小正整数（在数论中称之为2对模k的指数【川，则有8卜（巨）、（2）…     

智慧窗

春芍拜年 IR将””吞刀叶小、贝:5 k’＊.J;什q7U V成1～y〕12。的秒、使K满足; 门）使卜们u凋卜仟饲1w个札邻的儿必有一个是八救一}-个是JO激; （2）使中问陶周D-叫个数的和人中D1]I圆内的数; （川仙J。、右两个圆IAj上的四十数的和相等移 火柴 10根人柴可以拼成向下飞的删Rj6状川（能只格动】恨人柴就仗它向C飞吗7 \f/YJYJ\ IJ2002年号 c知。一111o-卜。0。o一1.人。111o一;.J。0一l（1卜o为蜕角）.厅b为人程。‘别U乙上小。一I构一十袱。K。 翌斗.{J佰革坪有多少 J八卜f仪HL.IW/]圳D＊）1小）Sb 川J什IDI止J,1丁M…     

不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|取等号的充要条件

高中数学课本证阴了不等式!。}一}川《1。一卜日《卜!理l划,但没有指出何时才能取得‘“”号,本文指出其‘二’号成立的充要条件,并给出应用. 定理1.不等式la+bl《卜l+lb}(。,b〔R)取‘二”号的充要条件是。b>0. 证明:卜一:一6!二扣}+!乙}令今!。十bl忍二·(卜卜!b!)s令冷,十2}。}lb!十b’二。:+:卜b!+bZ令今:b》0. 用数学归纳法可证明推论:不等式l::十。:十…+口。I《!。:卜卜:卜…+}。。】取‘=”号的充要条件是所有a。a;》o(‘,j=l,2,…,。) 定理2.不等式}口{一}b】《】a+‘}(a,b, ‘刃)取“~’号能充妥系件是口二b=。或一l《b/:‘〔. …     

六、数列、极限、数学归纳法

A组一、选择题(有卜t仅有个答案正确)1.已知数列{凡}中,N=1,人,! 人,二I+止,则数列讯}一定是((A)丫又为等差数列,(B)f又为等比数列; ((、既j卜等差、又非等比数列;(D)既是等差、又是等比数列。2.卜列四个定义在自然数集上的函数: (l)f(。)=2,厂l, (2)g(,:)=一r,‘+6,,了一9,,+5 (3)h(r,)=,,‘一6,z兰+11,,一7, (4)k(,I)=,:‘已们可以是数列l, 6一q尹I十1仁J一公 r已 (B)在区l’ed(l一￡,l+〔)内,存在{a。}的无穷多项; ‘〔今在区I’ti](l一,l+￡)内,存在{a.}的有穷多项; (D)在(l一,1+￡)内和外,均存在{。}的无限多项. 8.在△ABC中,若…     

EXISTENCE OF POSITIVE SOLUTIONS TOA ROBIN BOUNDARY VALUE PROBLEM FORA CLASS QUASILINEAR ORDINARYDIFFERENTIAL EQUATIONS

11尬roductlonIn this paper;we study the exlstence ofnonneg时Ive solutions ofone dl－menslonal－Lapfaclan boundary value problems一(电N》’二入M;0＜x＜1,儿1)u’仰二0,*’川十口叫)二0,队2)where入＞0md a＞0 are parmetersmd f E C’[0,1],屯(。)＝I冲－‘。,p＞1二This problem ppears In the study ofnon－Newtonlan luids(see[1;2])andnon－Newtonlan iltratlon(see[3])．The quantity p Is a characteristic of*theteristicmadium．Media with p＞2 are called dllatantn"ids and those with p＜2 arecalled pseudop…     

关于混合算术──几何平均值不等式的一个简洁证明

F．Holland［1］曾提出如下猜想：猜想设xi＞0（i=1,…,n）,则JI,（J;‘r）、,（JIJ。J）、,…,（J］J。…J,厂的算术平均值不大干的几何平均值．文［fi给出了这个猜想的一个组合证明;文［2］给出了一个归纳证明．但这些证明都相当繁琐．本文给出这个猜想的一个简洁证明．这个证明需用到以下的H6lder不等式和加权算术几何平均值不等式．引理互设几＞O,b。＞O（i—l,…,n）;P＞1,q引理2设a＞O,b＞O,O＜p＜l,O＜q＜l百户十q一1,则有a’b’＜pa＋ah·引理1,2的证明可见怪一本有关不等式的参考书．猜想的证明为符号…     

一个不等式的解集

文[1]用反例否定了不等式l）x]，文[2]给出了此不等式成立的一个条件，但该条件过繁且不够透彻．本文求出此不等式的解集结论已知nN，则不等式的解集是＿1＿，十］＿．＋］1＿D＆M】·＜》＋——巨工为十——乏＼7Mb十——．一l·－－—一D、－17＋］——一rt其中kEZ，i—1，2，…，n一川．证明设x一卜卜ZxI，则0qxI＜1，故原不等式即为（n＋1）hlx〕＋，；Ixl」＜n【（n＋1）卜I－（。；＋1）x所以（n＋l）卜卜」卜（n＋1）卜lxl」＜nl（n＋1）［x］」＋n［（n＋1）x］，即（n＋1）【n《xl」＜nl（n＋1）lxl」．（。）当0＜Ix【＜上…     

两道三角习题的开拓

高,1,代数I几J卜于(乙种.卜)圣,1(,:;f列5,I,一于,8石(2):kill了幻宝样两j亘题日:八一△九六(’s一rl,1一十5川六+5川(’一:。、、,、斗。、(,、半、 (’’〔)5.万厂。、()5./1+f(,51考+:伙)卜(’,一。,、,n毕、1,飞李、,,、粤2)八曰口,l对爹!戊、)!l(l!两个等式,小f义对】满足条件注+召+〔‘二角形的二的下「奋在飞一十一介十‘’二二的条件卜 内角成命一,注、召、(’也}(lI两个等式还「.IL丈Jl二拓JJ艾·般J乍三式: s川(2,z一l)l十、一1(2,z一1)I夕十5 irl(2,,一1)(、一‘一,,一。“,、兰午上击《,s全午上、、、尘共井(·(、 5111艺,…     

一类多目标规划的同伦方法

1．引言考虑下述多目标规划问题：其中F（x）一（fi（x），人（x），…，人（x》”，人（x）（j—1，2，…，m）EC’，g；（x）（i—l，2，…，P）EC’，X6R“对于问题（P；），若考虑在最不利的情况下找出一个最有利的方案，依据「l〕，可转化为求下述问题（P。）：其中U（F（x》一max人（x））且有：引理1［‘］问题（P。）的最优解为问题（P；）的弱最优解．显然，问题（P。）等价于下述问题（P。）［‘］：则问题（P。）等价于下列问题（P．）：2．同伦方法的建立由【3j知，相应于（P。）的Kuhn－Tucker方程：其中Y一dia－（－…     

读者来信

数学通报1998年12期“关于求多元对称函数极值的一个磨光法”一文,理论上是正确的,但后文中的例2是错误的．文中将“－”号误为“＋”号．改正后,不能证明（。）式＞0,例如令a;、1,a。、l,a;学a。,a。－…－an二0,（。）式＜0,因之,不等式（2）（3）（以及其推广情形）根本不能用本文定理2加以证明．2不等式（3）是一个错误的不等式．例如令定理1证明中的“X1’‘’－—一（一二L一）”－’（X;二）”应改为（－——）‘－’（X;一旦）以上意见供参考．读者来信@续铁权     

高中数学“短平快”同步练(6)

[高一代数]指、对数函数选择题1．（a＋5）‘的值为（）．（A）0（B）1（C）无意义（D）不确定2．已知n－Z＞n－Z，则n的取值范围是（）．（A）0Mn＜1（B）n＞1（C）n＞0（D）n＜13．对于指数函数y—a”，以下命题中是假命题的是（）．（A）a‘士1（B）函数的定义域与值域相同（C）函数为非奇非偶函数（D）a＞1，x＞0时，y＞l4．对于指数函数y—a”，有a“’一1．4，则a的取值范围是（）．（川a＞1（以0＜a＜1（oa＜亚（ma＞05．函数y一IOgJS（a／十3ax十a十2）的定义域为R，则a的整数值是（）．（A）1（B）0（C）1或0（D）其他6…     

Qp空间中的Jackson定理

在Qp空间上建立了Jackson型不等式,即对任意f（z）=∑j=0 ^∞ αjz^j∈Qp,0≤p〈∞,α〉1及k-1∈N,有 ｜｜f（z）-Г（k）/Г（k＋α）∑ j=0 ^k-1Г（k-j＋α）/Г（k-j）αjz^j｜｜Qp≤C（α）ω（1/k,f,Qp）,其中ω（1／k,f,Qp）为Qp空间中的连续模,C（α）是仅与参数α有关的正常数．     

关于级数不等式证明方法的一点注记

本文利用离散型随机变量的概率分布和求其函数的原点矩的方法，证明了三个级数不等式，从而说明了级数不等式证明方法中一个新的思路——构造概率分布的方法。定理1设ak，bk＞0为任意实数（k=1，2，…），r≥0，若下列三个级数都收敛，则有证明设随机变量占可能取值为ark，r=1，2，…，且相应取值的概率为显见上式为警的概率分布。利用原点矩定义，分别求出E（＄）和E（z2），再由E’（＄）＜E（ez），就可得出整理化简即得出要证明的不等式（l）。证毕说明在不等式（）中，无限求和改为有限求和，可得出实际上，令人二b。／乙入，k—1，2…     

γ-循环线性方程组的快速算法

1．引言在数学以及应用科学中的许多问题都与周期性有关，从而导致一类特殊形式的TOeelitZ系统，即r一循环线性系统的求解，其计算复杂性为O（N”）［’j或渐近复杂性O（NlogZN）p］．由于循环矩阵与离散富里时变换之间的关系，我们也可通过快速富里叶变换（＊＊n来求解r一循环线性方程组，计算复杂性降为O（NlogZN）［‘，’］．事实上，到目前为止所有与厂循环矩阵有关问题的快速算法全部建立在富里叶变换某础之卜IZ，9，10，17，19，20］但另一方面富里叶交换定义在复数域上，而实际问题中的数据大多为实数，因此用FFT快速求解r…