一道高考题的解法分析

2001年全国高考试卷(理)第19题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,证明直线AC经过原点O. 本题以抛物线为载体,着重考查了抛物线焦点弦、直线方程,斜率等一系列基础知识,考生可以从多种不同角度入手进行分析,得到不同的证法. 证法一(如图) 分析要证直线AC经过原点O,只需证得kOA=kOC. 证明设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵BC//x轴,C在抛物线y2=2px的准线上,     

一道清华自主招生试题的拓广

迷人的圆锥曲线一直吸引着很多数学爱好者去探究她优美的性质,笔者最近在研究自主招生试题时,发现了圆锥曲线的两组优美的性质.1试题再现(2011年清华大学等七校联考)抛物线y2=4x的焦点为F,原点为O,直线AB经过点F,抛物线的准线与x轴交于点C,若∠OFA=130°,则tan∠ACB=.2试题拓广命题组当初给出的参考解答是代数方法,笔者感觉过于繁琐,下面给出几何方法及其拓广.定理1设点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点     

综合题新编选登

题 98 　设抛物线y2 =2px (p >0 )的焦点为F ,经过点F的直线交抛物线于A ,B两点 ,点M在抛物线的准线上 ,O为坐标原点 ,求证 :1)MA ,MF ,MB的斜率成等差数列 ;2 )当MA⊥MB时 ,∠MFO =|∠BMF -∠AMF|.证　 1)设MA ,MF ,MB的斜率分别为k1,k ,k2 ,点A ,B ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,(- p2 ,m) .图 1　第 98题图因AB经过点F(p2 ,0 ) ,所以AB的方程可设为x =ty +p2 ,代入抛物线方程 y2=2 px ,得 y2 - 2 pty - p2 =0 .由根与系数关系可知 ,y1y2 =- p2 .注意到 y12 =2 px1,y22 =2 px2 ,得x1+p2 =y122 p+p2 =12 p(y2 +p2 ) …     

涉及抛物线的一条性质

文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题　如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明　设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴　 x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 ,　 x1…     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

抛物线中的儿个等比数列

圆锥曲线有许多神奇、美妙的性质,笔者经过探究,得到抛物线中的几个等比数列.性质1已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P为准线上任意一点,O为坐标原点,直线PO与抛物线交于点A,当∠OPF为最大角时,PO,PF,AO成等比数列.     

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题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

圆锥曲线切线的一个统一性质

性质1 如图1,已知P是过抛物线y^2=2px（p〉0）的准线与x轴的交点M的弦AB在两端点处的切线的交点,线段AB的中点为C,F为抛物线的焦点,则（1）PF⊥x轴;（2）PC⊥PF． 证明 （1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为x=ty-p/2,联立直线AB的方程和抛物线方程消x整理得y^2-2pry＋p^2=0,所以由韦达定理有y1＋y2=2pt,y1y2=p^2     

圆锥曲线中一个漂亮的统一性质

近日笔者在学习和教学中发现了圆锥曲线中一个漂亮的性质,现与大家分享.性质1若抛物线y2=2px(p>0)的准线与对称轴的交点为A,过点A作抛物线的一条割线交抛物线于B,C两点,过焦点F作与割线的倾斜角     

圆锥曲线特征点和线的一组性质

圆锥曲线特征点指的是焦点、顶点以及准线与轴的交点 .特征线指的是过焦点、顶点且与轴垂直的直线和准线 .经研究 ,它们有如下一组新颖有趣的性质 .定理 1　 l是经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 ( a >b >0 )长轴顶点 A且与长轴垂直的直线 ,E、F是椭圆两个焦点 ,e是离心率 ,点 P∈ l,若∠ EPF =α,则α为锐角且 sinα≤ e或α≤ arc sin e(当且仅当 | PA| =b时取等号 ) .证明　如图 1 ,不妨设 A为右顶点 ( a,0 ) ,则 l的方程为 x =a,且点 P在x轴上方 ,记点 P为 ( a,y) ( y >0 ) .由两线所成的角得 图 1tanα =k PF - k PE1 k PFk PE…     

抛物线的性质

定理1　抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F(p2,0).如果P(x0,y0)是抛物线上一点,那么以FP为直径的圆与y轴相切.切点是Q(0,y02).并且直线PQ是抛物线的切线.(如图1).证明　易求以FP为直径的圆的方程为x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0由方程组x2 y2-(x0 p2)x-y0y 12px0=0x=0消去x得关于y的一元二次方程y2-y0y 12px0=0(1)考虑到P(x0,y0)点在抛物线y2=2px上,显然方程(1)的判别式Δ=y20-2px0=0,所以,以FP为直径的圆与y轴相切.易求切点是Q(0,y02).由两点式方程,考虑P(x0,y0)点在抛物线上,可求得直线PQ的方程为y0y=p(x x0),此即一般教科书上抛物线的切线…     

怎样从一个问题出发提出更多问题

《解析几何》课本上有这样的一道题 :过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和抛物线交于A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) .求证 :y1 y2 =-p2 .(证明略 )你能从这道题出发提出更多的数学问题吗 ?提出新问题的方法和途径是什么 ?一由此及彼 ,迁移联想联想 1　注意到 y1 ·y2 =-p2 ,很自然的会想到 :x1 ·x2 =?又kOA =y1 x1 ,kOB=y2x2 ,想到kOA·kOB =?再由倾角和斜率有关 ,想到tanα·tanβ =?(其中∠AOx =α ,∠BOx =β)变题 1　过抛物线 y2 =2 px( p >0 )焦点F的直线和这抛物线相交于点A (x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ) .求值 :( 1)x1 ·x2 ;( 2 )k…     

圆锥曲线的一条美妙性质

圆锥曲线有很多美妙性质 ,本文给出一条新的性质 .定理　设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则直线 AB一定与该圆锥曲线相切 ,证明　 ( 1 )当圆锥曲线是椭圆时 ,不妨设椭圆方程是　 x2a2 + y2b2 =1 ( a >b>0 ) ,只考虑 A( - a2c,0 ) ,B( - c,b2a) ,则直线 AB的方程为 y =ca( x + a2c) ,将其代入椭圆方程得( b2 + c2 ) x2 + 2 a2 cx + a4- a2 b2 =0 ,其判别式Δ =0 ,故直线与椭圆相切 .( 2 )当圆锥曲线是双曲线时 ,同上可证 .( 3)当圆锥曲线是抛物线时 ,设抛物线方程得 y2 =2 px( p >0 )考虑点 A( - p2…     

圆锥曲线的一个性质的证明与推广

在研究圆锥曲线与其它知识的综合问题时,我们发现抛物线的准线上任意一点与焦点弦的端点、焦点连线的斜率之间存在着一定关系,这种关系不仅可以类推到椭圆双曲线,而且还能将结论更一般化,下面将此性质加以推广和证明,希望能和读者共勉·命题1设点M(m,0)(m>0)是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的一点,过点M的直线与抛物线相交于A、B点·点N是直线x=-m上任意一点,则直线NA、NM、NB的斜率成等差数列·图1证明如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为:x=hy+m,由y2=2px,x=hy+m,消x得y2-2phy-2pm=0,∴y1·y2=-2pm·设点N(-m,n),则直线NA的斜率为kNA=xy11+-mn,直线NB的斜率为kNB=xy22+-mn·∴kNA+kNB=yy121-n2p+m+y2-ny222p+m=2yp12(y+12-pmn)+2py(22y+22-pmn)=2p(y1-ny12-y1y2+y22y2--y1ny2)=2p·y2(y1y-1yn2)(y-1y-1(y2y)2-n)=2p·y1ny(2(y1y1--y2y)2)=2p·y1ny2=2p·-2npm...     

对抛物线性质的一点探究

设过抛物线y^2=2px的焦点F的直线交抛物线于A（x1,y1），B（x2，y2）两点。如图1所示，以A,B为切点作抛物线的两条切线（由于它与焦点有关，所以我们暂且叫它抛物线的焦切线）相交于点M，几何画板的作图表明．点M似乎在准线x=-p/2上，那么事实上是否如此呢？下面我们对此作一点探究．     

抛物线问题的一种简捷解法

由于抛物线方程中有一个坐标变量是一次的 ,因此在设抛物线上的点的坐标时 ,我们可直接设二次变量为参数 ,如抛物线 y2 =2 px(p >0 )上的点可设为 (y0 22 p,y0 ) .采用这一设法 ,给解决问题带来了一定的方便 ,且过程显得简捷明了 .下面以近几年高考图 1　例 1图题举例说明 .例 1　 (2 0 0 4年北京高考题 )如图 1,过抛物线 y2 =2 px(p >0 )上一定点P(x0 ,y0 )(y0 >0 )作两条直线分别交抛物线于A (x1,y1) ,B (x2 ,y2 ) ,当PA ,PB的斜率存在且倾斜角互补时 ,求 y1+y2y0的值 ,并证明直线AB的斜率是非零常数 .解　将P ,A ,B三点的坐标调整为…     

抛物线光学性质的三种证法

本文介绍抛物线的一个光学性质的3种证法.设F是抛物线的焦点,M是抛物线上任意一点(如图1),MT是抛物线在点M处的切线,MN是法线,ME是平行于抛物线的轴的直线,那么法线MN必平分∠FME,即φ1=φ2.图1证法1取坐标系如图1,这时抛物线方程y2=2px.设点M的坐标为(x0,y0),则法线MN的方程是     

一道高考解几题的探究背景

2004(京卷)理科(17)题.如图1,过抛物线y2=2px(p＞0)上一定点P(x0,y0)(y0＞0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).     

抛物线中一个有趣的梯形面积公式

本文介绍抛物线焦点弦和准线相关的一个有趣的梯形面积公式,供读者学习参考.定理经过抛物线y2=px(p>0)焦点作倾斜角为θ的弦AB,A,B两点在抛物线准线上的射影分别为C,D     

抛物线一个性质的推广

命题（抛物线的一个性质）：设抛物线y2—2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC//x轴。交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．