The effects of material nonlinearity and compressibility in the buckling of nonlinear elastic systems

Summary The stability and post-buckling response of simple perfect and imperfect systems made of nonlinear elastic material are thoroughly discussed. The perfect systems correspond to the three types of bifurcation points, i.e. stable symmetric, unstable symmetric and asymmetric. Material-dependent stability conditions are properly established. It is found that the mechanism of buckling of perfect systems associated with a stable symmetric bifurcation point may become unstable depending on the value of the material nonlinearity parameter. Moreover, it is established that the effect of compressibility on the buckling load may be considerable in case of imperfect systems which in their ideal state are associated with an asymmetric bifurcation point.

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Die effekte von nichtlinearem stoffverhalten und kompressibilität beim knicken elastischer systeme

Übersicht Diskutiert wird die Stabilität und das Nachknickverhalten einfacher nichtlinear-elastischer Systeme mit und ohne Imperfektionen. Die perfekten Systeme gehören zu den drei Arten von Verzweigungspunkten, nämlich stabile und instabile symmetrische sowie unsymmetrische Verzweigung. Theoretisch strenge, materialabhängige Stabilitätsbedingungen werden eingeführt. Es zeigt sich, daß der Knickmechanismus eines perfekten Systems, der mit einer stabilen symmetrischen Verzweigung verknüpft ist, möglicherweise in Abhängigkeit von der Nichtlinearität des Stoffverhaltens instabil wird. Darüber hinaus stellt man fest, daß der Einfluß der Kompressibilität auf die Knicklast erheblich sein kann bei Systemen mit Imperfektion, die im perfekten Zustand eine einsymmetrische Verzweigung zeigen.

     

Stability of a rocking block on a cylinder,including the effect of initial imperfections of arbitrary magnitude

Summary The effect of initial imperfections on the critical bifurcation parameter of a rocking block rolling without slipping on a cylinder is investigated. The theory is developed in terms of generalized coordinates. It is shown that the influence of the imperfections is modelled by a Whitney cusp. Experiments on simple model blocks and cylinders made of cardboard with sand paper contact surfaces to assure rolling but not sliding are examined. The theoretical and experimental results are in close qualitative agreement. The proposed model also serves as a simple machine to verify by experiment the existence of complementary equilibrium paths.

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Stabilitätsverhalten eines Schaukelblocks auf einem Halbzylinder unter Berücksichtigung des Einflusses von Imperfektionen beliebiger Größe

Übersicht Der Einfluß von Anfangsimperfektionen auf den kritischen Verzweigungsparameter eines auf einem Halbzylinder abrollenden Sohaukelblocks wird untersucht. Die Theorie ist in verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt, und es wird gezeigt, daß der Einfluß der Imperfektionen als eine Whitney-Spitze dargestellt werden kann. Versuche mit einfachen, aus Pappe mit Sandpapierkontaktflächen hergestellten Blöcken und Zylindern zeigen Ergebnisse, welche die theoretisch hergeleiteten Gleichgewichtskurven experimentell bestätigen.

     

Grundsätzliche Untersuchungen über die bei den Drehschwingungen von Kurbelwellen maßgebende Drehsteifigkeit

Zusammenfassung Nach einem Überblick über die bisherigen Arbeiten zur Klärung der bei den Drehschwingungen von Kurbelwellen maßgebenden Drehsteifigkeit wurde auf rechnerischem Wege nachgewiesen, daß zwischen den Drehsteifigkeitswerten nach Torsion erster Art und nach Torsion zweiter Art tatsächlich ein sehr enger innerer Zusammenhang besteht. Dieser Zusammenhang ist von weittragender Bedeutung, denn er gestattet, ohne weitere Rechnungen bereits sehr wichtige Schlüsse über den Einfluß der Torsionen auf das Schwingungsverhalten der Kurbelwelle zu ziehen.Durch die anschließenden allgemeinen Rechnungen über die nach den verschiedenen Torsionen ermittelten Eigenschwingungszahlen wurden die Eigenschwingungszahlen sowohl nach Torsion zweiter Art mit Nebentorsion als auch nach Torsion erster Art mit Hilfe der Störungsrechnung auf ein und derselben Bezugsschwingungszahl aufgebaut, so daß ein allgemeiner Vergleich der Ergebnisse möglich ist. Die nach den verschiedenen Torsionen ermittelten Eigenschwingungszahlen wurden schließlich noch für einige durchgerechnete Beispiele auch zahlenmäßig miteinander verglichen.Durch diese Überlegungen wurde die Frage, ob bei Kurbelwellen die nach der Torsion erster Art gewonnenen Drehsteifigkeiten der Drehschwingungsrechnung zugrunde gelegt werden dürfen, endgültig geklärt.Die Untersuchungen haben ergeben, 1. daß die Torsion zweiter Art unter Berücksichtigung der Nebentorsionen bei allen Schwingungsgraden grundsätzlich richtige Werte für die Eigenschwingungszahlen liefert, 2. daß die Schwingungsrechnung auf Grund der Torsion erster Art wenigstens für die tiefsten Schwingungsgrade (aber i. allg. nur für diese) ausreichend genaue Eigenschwingungszahlen liefert, so daß für die tiefen Schwingungsgrade das einfache bisherige Versuchsverfahren sowie die ebenfalls einfache bisherige Schwingungsrechnung beibehalten werden können. Die Güte der Näherung der Rechnung nach Torsion erster Art kann zur Sicherheit nachträglich immer an Hand der Schwingungsform beurteilt werden: die Näherung ist immer dann sehr gut, wenn innerhalb des homogenen Motorteils keine grobe Richtungsänderung in der Schwingungsform (im Sinne der Festlegung von Ziff.4) vorkommt. Mit zunehmendem Schwingungsgrad nimmt der Fehler der Rechnung nach Torsion erster Art mehr und mehr zu.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung des Reichsluftfahrtministeriums im Forschungsinstitut für Kraftfahrwesen und Fahrzeugmotoren an der Technischen Hochschule Stuttgart (Prof. Dr.-Ing. W. Kamm) durchgeführt.     

Eine Randbedingung für die Ausbreitung von Kugelwellen

Übersicht Für die Simulation der Ausbreitung von kugelförmigen Dilatationswellen im elastischen Kontinum mittels der Methode der finiten Elemente wird eine Randbedingung abgeleitet, welche das abgetrennte unbeschränkte Gebiet analytisch exakt ersetzt. Die mit dieser Randbedingung erhaltenen Ergebnisse werden mit vorhandenen Näherungen verglichen, so daß deren Einfluß auf die Güte der Ergebnisse abgeschätzt werden kann. Erweiterungen auf andere Problemstellungen werden aufgezeigt.

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Die Lösung des Sechsstabanschlusses mit der Methode der dualen Abbildung

Zusammenfassung Mit der Methode der dualen Abbildung lassen sich Gleichgewichtsaufgaben mit sechs unbekannten Kräften im Raum auf ebene Probleme zurückführen und werden mit ebenen Gleichgewichtsbedingungen lösbar. Für eine allgemeine statisch bestimmte räumliche Lagerung ist durch geeignete Wahl der räumlichen Bezugspunkte die Gleichgéwichtsaufgabe in zwei Einzelprobleme zu trennen, die der Reihe nach unabhängig voneinander gelöst werden. Liegen mindestens zwei der räumlich allgemein angeordneten Kräfte in einer Ebene, so läßt sich die Aufgabe rein graphisch in ebenen Teilproblemen durchführen.Damit sind sowohl allgemeine räumliche Anschlüsse als auch Raumfachwerke nach dem ersten oder zweiten Bildungsgesetz allgemeiner Art zu behandeln. In Sonderfällen, unter denen besonders der praktisch bedeutsame Fall zu erwähnen ist, bei dem drei Fesseln durch einen Punkt gehen, entstehen Erleichterungen in der Abbildung und in den ebenen Lösungsgängen.Die Abbildungen der Kräfte und Momente weisen zahlreiche Kontrollmöglichkeiten auf, die sich auch bis auf die Lösungsergebnisse erstrecken, so daß die Ermittlungen mit großer Sicherheit bequem durchzuführen sind. Das Verfahren ergibt übersichtliche und, im Verhältnis zu sonstigen Lösungsgängen im Raum, leicht zu bewältigende Einzelprobleme.     

Zur Festigkeit von umlaufenden und quer zur Drehebene belasteten Stäben,die gelenkig an die Drehachse angeschlossen sind

Zusammenfassung Der gelenkige Anschluß von Drehflügelholmen an der Flügelwurzel erlaubt die Verwendung von so dünnen Holmen, daß die Flügel im Fluge mehr Seilen als biegesteifen Stäben gleichen. Trotzdem ist in den Holmen die restliche Biegespannung für die Festigkeit maßgebend. Es wird ein Verfahren entwickelt, welches gestattet, eine gegebene Biegemomentenverteilung durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor bestmöglich der tatsächlichen Biegemomentenverteilung anzupassen. Die Anwendung des Verfahrens auf die Biegemomentenverteilung eines starren Holmes als Ausgangsverteilung liefert eine gute Näherung und gestattet bei gegebener Massen- und Biegesteifigkeitsverteilung die Angabe der Näherungslösung in geschlossener Form [Gleichung (25) bei konstanter Massenverteilung und Steifigkeit]. Die Durchrechnung eines Beispiels zeigt deutlich die eigenartigen hier auftretenden Verhältnisse insofern, als es sich innerhalb weiter Grenzen als unmöglich herausstellt, die im Fluge auftretende Biegespannung im Holm einerseits durch Verstärken der Wanddicken oder durch Vergrößerung des Holmdurchmessers herabzusetzen, während andererseits einer im Fluge sich günstig auswirkenden Verringerung des Holmdurchmessers infolge der Biegespannungen durch das Eigengewicht im Stand Grenzen gesetzt sind. Die Betrachtung der dynamischen Verhältnisse am gleichen Beispiel zeigt, daß erhebliche dynamische Beanspruchungen infolge der Erregung der ersten Eigenschwingung des Holmes durch periodisch veränderliche Luftkräfte auftreten. Eine Ähnlichkeitsbetrachtung an Hand der entwickelten Theorie lehrt, daß die Grenzen für die Vergrößerung von Drehflügelflugzeugen, wenn nur die Beanspruchungen im Fluge in Rechnung gestellt werden, die gleichen sind wie für Starrflügler, daß jedoch die Berücksichtigung der Biegespannungen aus dem Eigengewicht der Flügel im Stand engere Grenzen für die Vergrößerung der Flugzeuge bedingt als bei dem Starrflügler.     

Die Temperaturkontrolle bei Hochdruckviskosimetern

Zusammenfassung Es wird eine Temperaturmeß-Vorrichtung beschrieben, mit der die Erwärmung der Meßflüssigkeit im Hochdruck-Strukturviskosimeter gemessen werden kann, und zwar getrennt als Erwärmung durch die adiabatisohe Kompression des Druckgases und durch die viskose Reibung in der Kapillare. An Hand von Messungen an Flüssigkeiten und Lösungen wird gezeigt, daß bei hohen Schubspannungen Erwärmungseffekte auftreten und berücksichtigt werden müssen.Nach einem Vortrag auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft am 10./11. 4. 1961 in Bad Oeynhausen.     

Zeichnerische Auswertung von Resonanzkurven

Zusammenfassung Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit wurde ein einfaches Schwingungssystem vektoriell untersucht. Es konnte gezeigt werden, daß der Amplitudenvektor dieses Systems unabhängig davon, ob die Erregerkraft eine Funktion der Erregerfrequenz ist, stets phasengleich mit dem zu derselben Frequenz gehörenden Nennervektor ist. Unter Benutzung dieser Tatsache gelang dann die Darstellung von Vektordiagrammen der Schwingungsamplitude und -Leistung. In dem Abschnitt über vektorielle Auswertung wurden diese Kurven zur Ermittlung der Konstanten des Schwingungssystems herangezogen. Hierbei konnte festgestellt werden, daß die Bestimmung der Dämpfungskonstante auf diese Weise wesentlich genauer erfolgen kann, als unter Verwendung von Amplituden und -Leistungskurven als Funktion der Frequenz.Im zweiten Teil wurde ein kraftgekoppeltes Schwingungssystem untersucht. Zunächst konnte gezeigt werden, wie unter Benutzung eines zeichnerischen Verfahrens aus den Systemkonstanten die Schwingungsamplituden und -Phasen gefunden werden. Mit Hilfe der hierbei gewonnenen Beziehungen gelang dann auch die Lösung der für die Durchführung der dynamischen Baugrunduntersuchung wichtigen Aufgabe, nämlich die Ermittlung des Konstanten aus den beim Versuch aufgemessenen Amplituden und -Phasenkurven. Der zweite Abschnitt erreicht dasselbe Ziel auf einem anderen Wege, und zwar durch Untersuchung der Hauptschwingungen eines Dreimassensystems nach der Knotenpunktmethode. Es wurde hier gezeigt, wie durch Anlegen von Tangenten an die Amplitudenkurve ebenso wie beim einfachen Schwingungssystem die Hauptschwingungen ermittelt werden und wie sich hieraus die gesuchten Konstanten ergeben.     

Zur Verformung von Stoffen mit veränderlichen Stoff-Parametern

Zusammenfassung Es ist aus vielen Beobachtungen bekannt, daß technisch wichtige Materialien ein Verhalten zeigen, welches analytisch durch Lösung der Stoffgleichungen nicht beschrieben werden kann, wenn das Stoffgesetz unter Verwendung von Parametern konstanten Betrages gebildet wird. Die einfachste Erscheinung dieser Art kann durch das im verformungsfreien Zustand eintretende Stocken eines viskoplastischen Stoffes veranschaulicht werden. Die Thixotropie eines Stoffes wurde ursprünglich als jene Eigenschaft definiert, der zufolge in einem Stoff nach vorausgegangener Verformung allgemeiner Art eine Verminderung des Verhältnisses von Scherspannung zu Schergeschwindigkeit eintritt. In Erweiterung dieses ursprünglichen Begriffes werden gegenwärtig vielfach Werkstoffe als thixotrop angesprochen, wenn die analytische Beschreibung ihres Verformungszustandes ganz allgemein die Verwendung veränderlicher Stoffparameter verlangt.Entsprechend der usprünglichen Bedeutung der Thixotropie werden die Verformungsvorgänge beschrieben, die der Wirkung einer vorausgegangenen Verformung auf die Grenzscherspannung anBinghamschen Materialien Rechnung tragen. Bei Berücksichtigung der Abhängigkeit dieser kritischen Scherspannung von den vorausgegangenem Ruhe oder Verformungszustand können die notwendigen Stoffgleichungen aufgestellt und physikalisch begründet werden. Ein Vergleich mit bekanntenMeßergebnissen erlaubt, die für die analytische Behandlung notwendigen Stoffkennzahlen zu bestimmen.Neben thixotropem Verhalten im ursprünglichen Sinn zeigen viele Stoffe eine Abhängigkeit ihrer Eigenschaften von Druck und Temperatur. Diese Einflüsse können in das Stoffgesetz dadurch aufgenommen werden, daß man den Stoffparameter, der die Zähigkeit beschreibt, als Funktion der Temperatur und des mittleren Normaldrucks ansetzt und zur Beschreibung des Vorgangs eine Aussage über die Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie hinzuzieht. Mit den so gewonnenen Gleichungen wird ein einfaches Beispiel, nämlich das Fließen einer Schicht konstanter Dicke auf einer geneigten Ebene unter der Wirkung der Schwerkraft, behandelt. Für die sich hierbei ergebende nichtlineare Differentialgleichung für die Temperaturverteilung werden durch Näherungsverfahren gewonnene Lösungskurven angegeben, aus denen sich der Bewegungszustand ermitteln läßt.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen vom 11.–13. Mai 1964 in Berlin-Dahlem.     

Schubspannungsverteilung im Querschnitt einer Schraubenfeder

Zusammenfassung Es werden die Verzerrungsgrößen für eine durch Zug oder Druck deformierte Schraubenfeder von kreisförmigem Querschnitt bei kleiner Formänderung ohne Vernachlässigung des Verhältnissesa/R (Querschnittsradius: Wicklungshalbmesser) aus der allgemeinen Theorie der Biegung und Drillung dünner Stäbe entnommen. Für den Sonderfall einer Einzelwindung, die zum Ringwulst deformiert wird, werden (unter Angabe des Gültigkeitsbereichs) die Drillungsspannungen bis zur Größenordnung (a/R)² genau berechnet. Es wird gezeigt, daß diese Lösung mindestens auf den Fall einer Schraubenfeder mit einer Steigung von höchstens a/R übernommen werden kann. Der Einfluß der Federkrümmung auf das Drillungsmoment ergibt sich als nur geringfügig. Dagegen zeigt die Spannungsverteilung eine erhebliche Abweichung von der beim gedrillten zylindrischen Stab auftretenden linearen Verteilung. Dies bedingt auch einen starken Einfluß auf den Zusammenhang zwischen maximaler Schubspannung und Drillungsmoment.     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

Thermal analysis and operational limits of compound parabolic concentrators in two-phase flows with saturated exit states

Compound Parabolic Concentrators (CPCs) in two-phase flows are studied and their thermal performance is analyzed. New parameters identifying the CPC optical and thermal performance are defined. The limits of operation of CPCs in two-phase flows for saturated fluid exit states are identified as a function of the solar flux and the CPC working parameters such as the working pressure and the coolant mass flow rate. The effect of the CPC concentration ratio on the thermal performance and the operational limits is studied. It is shown that CPCs in two-phase flows have greater thermal efficiency than similar CPCs in single-phase flows under same working conditions. It is also shown that the working pressure can be increased as the concentration ratio is increased so that the thermal conversion efficiency grows too.

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Thermische Analyse und Einsatzbeschränkungen von zusammengesetzten parabolischen Konzentrierern im Zweiphasenstrom mit gesättigtem Endzustand

Zusammenfassung Es wurden zusammengesetzte parabolische Konzentrierer (CPCs) im Zweiphasenstrom untersucht und deren thermische Leistung analysiert. Es wurden neue Parameter definiert, welche die optische und thermische Leistung des CPC kennzeichnen. Die Einsatzbeschränkungen von CPCs in Zweiphasenströmen für den gesättigten Endzustand des Fluids sind gekennzeichnet als eine Funktion des solaren Flusses und der CPC-Arbeitsparameter ebenso wie der Arbeitsdruck und die kühlende Massenstromdichte. Es wird der Effekt der Konzentrationsdichte des CPC auf die thermische Leistung und die Betriebsgrenzen untersucht. Es wird gezeigt, daß CPCs im Zweiphasenstrom einen größeren thermischen Wirkungsgrad besitzen, als CPCs im Einphasenstrom unter den gleichen Arbeitsbedingungen. Ebenso wird gezeigt, daß der Arbeitsdruck erhöht werden kann, wenn die Konzentrationsdichte erhöht wird, was eine Erhöhung der thermischen Umwandlungsfähigkeit zur Folge hat.

     

Numerischer Stabilitätsnachweis dünner Schalen mit dem Konzept der Störenergie

Übersicht Es wird eine nichtlineare Eigenwertanalyse vorgestellt, die es ermöglicht, für stabilitätsgefährdete Tragwerke die Umgebung von bekannten Belastungszuständen nach kritischen Zuständen abzusuchen. Da alle im Rahmen der Theorie und Diskretisierung möglichen Störungen und Imperfektionen berücksichtigt werden, wird derjenige kritische Zustand gefunden, der mit einem Minimum an Störenergie erreicht wird. Auf diese Weise ist es möglich, die Störungs- oder Imperfektionssensitivität von Schalen mit einer nichtlinearen Eigenwertanalyse zu berechnen. Nach Kalibrierung des hier vorgeschlagenen Konzeptes der bezogenen Störenergie an statistisch ermittelten Versuchs-Grenzlasten können reale elastische Grenzbeullasten für beliebige Tragwerke berechnet werden, ohne daß der Ingenieur einschränkende Imperfektionen vorzugeben hat. Die derzeit erwogene Vorgabe von geometrischen Imperfektionen zur Erfassung der Imperfektionssensitivität von Schalen wird in einer Parameterstudie untersucht. Da die so berechneten Beullasten zum Teil erheblich von den Versuchs-Beullasten abweichen, wird das Vorgeben speziell von geometrischen Imperfektionen kritisch beurteilt.

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Numerical stability analysis of thin shells by a concept of perturbation energy

Summary A nonlinear eigenvalue analysis is presented which enables to investigate the surrounding of given states of equilibrium for critical states of equilibrium. By including all possible perturbation or imperfection patterns, that critical state is derived which is reached with a minimum of perturbation energy. Thus it is possible to analyse the imperfection sensitiveness by applying the nonlinear eigenvalue analysis. After calibration at buckling loads derived by experiments, the proposed concept may be applied for arbitrary structures. It is not necessary that the designing engineer introduces special imperfection patterns. The influence of different types of geometrical imperfections on the computational buckling load is studied. The buckling loads derived by given geometrical imperfections deviate considerably from critical loads found in experiments.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. Walter Wunderlich zum 60. Geburtstag am 25. 7. 1991 gewidmet     

Die Wechselwirkung zwischen Schwinger und Antrieb bei erzwungenen Schwingungen

de]Zusammenfassung Die bei erzwungenen Schwingungen mit Rückwirkung des Schwingers auf den Antrieb auftretenden Erscheinungen wurden untersucht. Dabei ergaben sich als wichtigste Eigenschaften:Bei einer mit der Drehzahl fallenden Momentenkennlinie, wie sie z. B. im Arbeitsbereich von Elektromotoren meist vorliegt, können unter den hier angegebenen Bedingungen beim Durchfahren der kritischen Drehzahl Amplituden- und Frequenzsprünge auftreten.Im Gebiet der Resonanz ergeben sich neuartige Bedingungen für die Stabilität von stationären Schwingungszuständen. Es wurde gezeigt, daß die Stabilität von der Neigung der Momentenkurve und vom Größenverhältnis von Motor und Schwinger abhängt. Die normierte Darstellung ermöglicht es, die Stabilitätsbedingungen für beliebige Schwinger des behandelten Typs rasch quantitativ zu berechnen.Die erhaltenen Ergebnisse haben unmittelbare praktische Bedeutung für Systeme, die im Resonanzgebiet arbeiten. Das ist z. B. bei Schwingsieben und Schwingförderrinnen der Fall. Auch beim Hochfahren und Anlaufen von überkritisch laufenden Maschinen können die hier beschriebenen Erscheinungen vorkommen und müssen gegebenenfalls berücksichtigt werden.     

Strain localization in plane strain micropolar elasticity

Summary Strain localization of nonlinear micropolar elastic material in plane strain deformation is discussed. Attention is focused on the case when the micro-rotation is linearly related to the macro-rotation and when the material is centro-symmetric. The strain localization is regarded as a perturbation on the otherwise homogeneous deformation field. General formulations for the initiation of the localization are given. Numerical results for a special material are presented. Since the effects of microstructures of materials are considered, the analysis gives not only the critical stretches for localized banding, but also the thickness of the band.

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Lokalisieru g der Formänderungen bei mikropolar elastischem, ebenem Formänderungszustand

Übersicht Untersucht wird die Lokalisierung der Verformungen von nichtlinearen, mikropolar elastischen Werkstoffen im ebenen Formänderungszustand. Hauptaugenmerk liegt dabei auf der linearen Abhängigkeit der Mikrodrehung von der Makrodrehung im Falle eines zentralsym-metrischen Werkstoffes. Die Lokalisierung wird als eine Störung des ansonsten homogenen Verformungsfeldes betrachtet. Algemeine Bedingungen für die Initiierung der Lokalisierung werden formuliert und für einen ausgewählten Werkstoff numerisch ausgewertet. Dank der Betrachtung der Mikrostruktureinflüsse liefert die dargestellte Analyse nicht nur die Werte der kritischen Streckungen für lokalisierte Bänder, sondern auch deren Dicke.

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This work was prepared when the Author was visiting University of Kaiserslautern in Germany. The author appreciates very much the fellowship awarded him by the A. v. Humboldt Foundation and the hospitality of Prof. Dr.-Ing. U. Wittek. Later part of the work was also supported by National Natural Science Foundation of China through grant 19002014.     

Umströmung beschleunigter und verzögerter Partikeln

Zusammenfassung In diesem Teil 2 des Berichtes werden die Ergebnisse der theoretischen Untersuchung über die Umströmung verzögerter Partikeln diskutiert. Die berechneten Stromlinienfelder vermitteln einen umfassenden Einblick in die Umströmung und in die damit verbundene Entwicklung der zunächst auf der Kugelrückseite entstehenden Wirbel. Es zeigt sich, daß nach einer vorausgehenden stationären Bewegung der Partikeln mit Wirbelbildung auf der Partikelrückseite eine Verzögerung sowohl ein Verschwinden der Wirbel als auch ein starkes Anwachsen der Wirbel auslösen kann. Setzt ein Wachstum der Wirbel ein, so hüllen die Wirbel schließlich die Partikeln vollkommen ein.Sowohl die Länge der Wirbel als auch der Ablösepunkt der Strömung von der Partikeloberfläche werden in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt.In einem besonderen Abschnitt werden die Widerstandsbeiwerte bestimmt. Sie zeigen bei verzögerter Bewegung eine sehr bemerkenswerte Abhängigkeit von der momentanen Reynolds-ZahlRe _t , die physikalisch erklärt wird.

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Fluid flow around accelerated and decelerated particles. Part 2

This report on theoretical-numerical investigation on fluid flow around accelerated and decelerated particles is presented in two parts. The preceding first part includes the physical fundamentals of unsteady state motion of particles, the numerical methods applied for the solution of the differential equations, and a discussion of results for the case of accelerated particles.The second part of this report is devoted to the discussion of results for fluid flow around decelerated particles. Special attention is given to formation and development of the vortex and detachment of the streamlines from the particle surface.

     

Eine Methode zur direkten Berechnung von Gleichgewichtslagen im Nachbeulbereich

Übersicht Es wird eine Methode vorgeschlagen, mit der durch Auffassung des Beulens als quasi viskosen Prozeß Gleichgewichtszustände im Nachbeulbereich ohne inkrementelles Vorgehen und unbeeinträchtigt von Durchschlags- oder Verzweigungspunkten berechnet werden können. Für die Anwendung auf Platten und Zylinderschalen werden Beispiele gegebenZusammenfassung Das Verfahren der quasi viskosen Dämpfung ermöglicht die direkte Berechnung von Gleichgewichtszuständen im Vor- und Nachbeulbereich von elastischen Konstruktionen.Der Berechnungsprozeß wird von örtlichen Durchschlags- oder Verzweigungspunkten nicht beeinträchtigt. Bei entsprechender Wahl der Dämpfung kann auf das schrittweise Aufbringen der Last, wie in inkrementellen Verfahren üblich, verzichtet werden.

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A method for direct calculation of equilibrium states in the post buckling range

Summary The common incremental procedure is replaced by a quasi viscous method, which allows stable equilibrium states in the post buckling range to be found unaffected by limit points or bifurcations of the solution path. Examples are given for the buckling of plates and shells.

     

Zur Theorie der Plattenbeulung im plastischen Materialbereich

Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit bringt eine Erweiterung der Theorie der Plattenbeulung für den plastischen Materialbereich, die von den einfachsten, in sich widerspruchfreien Spannungs-Deformationsgesetzen der mathematischen Plastizitätstheorie — den differentiellen Prandtl-Reu-Gesetzen — ausgeht. Mit dieser erweiterten Theorie wird es möglich, einer durch den Walzvorgang erzeugten, also von vornherein im Plattenmaterial vorhandenen Anisotropie auch im plastischen Bereich Rechnung zu tragen. Als Instabilitätskriterium wurde dabei die Shanleysche Hypothese zugrundegelegt. Angewendet wurde die Theorie auf die Berechnung der Beulspannungen dünner Rechteckplatten, die einen homogenen Normalspannungszustand an deren Rändern ausgesetzt sind. Damit sollte vor allem zur Beantwortung der bisher noch nicht endgültig geklärten Frage beigetragen werden, woher die beträchtlichen Abweichungen der mit den differentiellen Gesetzen errechneten Beulspannungen von den in Versuchen gemessenen stammen. Zu diesem Zweck wurden die Kollbrunnerschen Beulversuche mit Platten aus der Aluminiumlegierung Avional M-hart nach der erweiterten Theorie nachgerechnet, wobei die für dieses Material nicht bekannten Anisotropiekonstanten aus Versuchen abgeschätzt wurden, die Stüssi an Rohren aus einer ähnlichen Alummiumlegierung (Avional M-weich) vorgenommen hatte. Obwohl die Ergebnisse einer Rechnung, die auf derart abgeschätzten Anisotropiekonstanten basiert, natürlich unsicher sein müssen und daher auch nicht mitgeteilt werden konnten, soll erwähnt werden, daß die Anisotropie im Mittel eine Verringerung der Beulspannung um etwa 20% bewirkte: Die mit Berücksichtigung der Anisotropie errechneten Beulspannungen und Halbwellenzahlen stimmen daher mit den von Kollbrunner gemessenen wesentlich besser überein als die für isotropes Material berechneten. Die endgültige Entscheidung über die Frage, ob es genügt, die Diskrepanz zwischen Theorie und Versuch allein auf den Einfluß der Walzanisotropie zurückzuführen, oder ob es womöglich noch nötig sein wird, von einem komplizierteren, differentiellen Spannungs-Deformationsgesetz (z. B. nach Prager) auszugehen bzw. darüberhinaus den Einfluß einer geringen Abweichung der Plattenmittelfläche im unbelasteten Zustand von der Ebene zu berücksichtigen, muß allerdings weiteren experimentellen Untersuchungen vorbehalten bleiben, die erst nach genauer Bestimmung der Anisotropiekonstanten einen einwandfreien Vergleich zwischen Theorie und Versuch ermöglichen werden. Hierüber soll später noch berichtet werden.     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Die Spannungsverhältnisse im Bereich B der Verfestigungskurve von Kadmiumeinkristallen

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Orientierungsabhängigkeit der Einsatzspannung für den Bereich B der Verfestigungskurven von Zn- und Cd-Einkristallen. Es kann gezeigt werden, daß unter der Voraussetzung, daß die wirksame Spannung als die Summe der angelegten und der inneren Spannung (herrührend von Versetzungsstauungen) aufzufassen ist, Spannungswerte erreicht werden, die eine Aktivierung des Pyramidengleitsystems 2. Art ermöglichen. Versetzungen dieses Systems zusammen mit denen des Basisgleitsystems können unter Energiegewinn reagieren und Versetzungshindernisse bilden, die für die Orientierungsabhängigkeit der Verfestigung verantwortlich gemacht werden können.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 7.–10. Juni 1966.Die Autoren möchten ihren Dank zum Ausdruck bringen für die freundliche Bereitschaft, mit der die Herren Dr.Täubert und Dr.Lehmann vom III. Physikalischen Institut der Humboldt-Universität in Berlin die Meßeinrichtungen für diese Arbeit zur Verfügung gestellt haben.