无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用

伽辽金型无网格法具有精度高、稳定性好的优点,但是实现高阶准确积分过程复杂,计算效率低.配点型无网格法的计算效率高,但是其在求解复杂问题时往往会出现精度和稳定性较差的结果.本文介绍一种新的无网格法-无网格稳定配点法,采用重构核近似作为近似函数,在规则子域内非常容易实现高阶准确积分,既保留了配点型无网格法效率高的特点,又具...     

两点边值问题的小波配点法

根据多分辨分析,提出用任意连续的尺度函数构造区间上的插值基函数,形成以尺度函数为基础的求解两点边值问题的小波配点法.该方法中,尺度函数不受紧支撑、插值等性质的限制,计算复杂度小,数值解收敛性由多分辨分析理论保证.同时,给出边值条件的积分处理方法,能够方便地处理任意边界条件,当尺度函数不具有高阶导数时,该方法也能有效使用.数值算例表明,该方法是一个高效、高精度的算法.     

轴对称弹性体扭转问题的无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法

本文将无网格自然邻接点Petrov-Galerkin 法应用于轴对称弹性体扭转问题的求解．无网格自然邻接点Petrov-Galerkin 法采用自然邻接点插值构造试函数，并且采用三角形线性单元的形函数作为加权残值法的加权函数．自然邻接点插值构造的试函数满足Kronecker delta 函数性质，因此本质边界条件的施加十分方便．由于几何形状和边界条件的轴对称特点，原来的空间问题简化为二维问题求解，因此计算时只需要横截面上离散节点的信息．数值算例结果表明，所提出的方法对求解轴对称弹性体扭转问题是行之有效的．     

复合材料层合板自由振动分析的无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法

基于一阶剪切变形理论,提出了复合材料层合板自由振动分析的无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法。计算时在复合材料层合板中面上仅需要布置一系列的离散节点,并利用这些节点构建插值函数。在板中面上的局部多边形子域上,采用加权余量法建立复合材料层合板自由振动分析的离散化控制方程,并且这些子域可由Delaunay三角形方便创建。自然邻接点插值形函数具有Kronecker delta函数性质,因而无需经过特别处理就能准确地施加本质边界条件。对不同边界条件、不同跨厚比、不同材料参数和不同铺设角度的复合材料层合板,由本文提出的无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法进行自由振动分析时均可得到满意的结果。数值算例结果表明,本文方法求解复合材料层合板的自由振动问题是行之有效的。     

基于点插值的配点型无网格法解Helmholtz问题

基于点插值法的思想,用三角函数作为基函数在局部支持域内构造具有Kroneckerδ函数性、单位分解性、高阶连续性、再生性和紧支性的形函数.用配点法离散微分方程,得到了具有稀疏带状性的系数矩阵,用GMERS方法求解代数方程组,分别研究了Helmholtz问题的边界层问题和波传播问题.通过数值算例可以发现,给出的数值结果非常接近于精确解,且随着节点的增加,其精确度越来越高,具有良好的收敛性.     

不规则区域平面弹性问题的正则区域重心插值配点法

将不规则区域嵌入到规则的矩形区域,在矩形区域上将弹性平面问题的控制方程采用重心Lagrange插值离散,得到控制方程矩阵形式的离散表达式。在边界节点上利用重心插值离散边界条件,规则区域采用置换法施加边界条件,不规则区域采用附加法施加边界条件,得到求解平面弹性问题的过约束线性代数方程组,采用最小二乘法进行求解,得到整个规则区域上的位移数值解。利用重心插值计算得到不规则区域内任意节点的位移值,计算精度可到10^-14以上。数值算例验证了所建立方法的有效性和计算精度。     

基于分区径向基函数配点法的大变形分析

无网格法因为不需要划分网格, 可以避免网格畸变问题,使得其广泛应用于大变形和一些复杂问题. 径向基函数配点法是一种典型的强形式无网格法,这种方法具有完全不需要任何网格、求解过程简单、精度高、收敛性好以及易于扩展到高维空间等优点,但是由于其采用全域的形函数, 在求解高梯度问题时 存在精度较低和无法很好地反应局部特性的缺点. 针对这个问题,本文引入分区径向基函数配点法来求解局部存在高梯度的大变形问题. 基于完全拉格朗日格式,采用牛顿迭代法建立了分区径向基函数配点法在大变形分析中的增量求解模式.这种方法将求解域根据其几何特点划分成若干个子域, 在子域内构建径向基函数插值, 在界面上施加所有的界面连续条件,构建分块稀疏矩阵统一求解. 该方法仍然保持超收敛性, 且将原来的满阵转化成了稀疏矩阵, 降低了存储空间,提高了计算效率. 相比较于传统的径向基函数配点法和有限元法, 这种方法能够更好地反应局部特性和求解高梯度问题.数值分析表明该方法能够有效求解局部存在高梯度的大变形问题.      

非均质中厚板的无网格LRPIM动力学分析

用局部加权残值法建立了非均质中厚板的局部径向点插值离散系统方程,采用无网格局部径向点插值法分析了非均质中厚板的自由振动和强迫振动问题。用径向基函数耦合多项式基函数来近似试函数,用四次样条函数做为加权残值法中的权函数。所构造的形函数具有Kronecker delta性质,可以很方便地施加本质边界条件。该方法不需要任何形式的网格划分,所有的积分都在规则形状的子域及其边界上进行。在计算过程中,取积分中的高斯点的材料参数来模拟问题域材料特性的变化。计算结果表明,利用该方法计算非均质中厚板的自由振动和强迫振动问题可以得到具有较高精度的解。     

无网格局部强弱法求解不规则域问题

无网格局部彼得洛夫-伽辽金(meshless local Petrov-Galerkin,MLPG)法是一种具有代表性的无网格方法,在计算力学领域得到广泛应用.然而,这种方法在边界上需执行积分运算,通常很难处理不规则求解域问题.为了克服MLPG法的这种局限性,提出了无网格局部强弱(meshless local strong-weak,MLSW)法.MLSW法采用MLPG法离散内部求解域,采用无网格介点(meshless intervention-point,MIP)法施加自然边界条件,并采用配点法施加本质边界条件,避免执行边界积分运算,可适用于求解各类复杂的不规则域问题.从理论上讲,这种结合式方法,既保持了MLPG法稳定而精确计算的优势,同时兼备配点型方法在处理复杂结构问题时简洁而灵活的优势,实现了弱式法和强式法的优势互补.此外,MLSW法采用移动最小二乘核(moving least squares core,MLSc)近似法来构造形函数,是对传统移动最小二乘(moving least squares,MLS)近似法的一种改进.MLSc使用核基函数代替通常的基函数,有利于数值求解的精确性和稳定性,而且其导数近似计算变得更为简单.数值算例结果初步表明:这种新方法实施简单,求解稳定、精确,表现出适合工程运用的潜力.     

自然单元法研究进展

自然单元法是一种基于Voronoi图和Delaunay三角化几何结构,以自然邻点插值为试函数的一种新型数值方法.其既具有无网格方法和经典有限元方法的优点,又克服了两者的一些缺陷,是一种发展前景广阔的求解微分方程的数值方法.自然单元法的形函数满足插值性质,可以像有限元法一样直接施加本质边界条件,不存在基于移动最小二乘拟合的无网格方法不能直接施加本质边界条件的难题.由于自然单元法是无网格方法,可以方便处理有限元方法较难处理的一些问题,例如移动边界和大变形等问题.自然单元法与其他数值方法的最根本区别于其插值格式的不同.将自然邻点插值用于Galerkin过程,就得到基于Voronoi结构的自然单元Galerkin法.自然邻点插值有自然邻点Sibson插值和Laplace插值(非Sibson插值)两种.Laplace插值比Sibson插值在计算上要简单的多,并且不论对凸的或非凸的区域都能精确施加本质边界条件.以Laplace插值为试函数的自然单元法在数值实施上比以Sibson插值为试函数的自然单元法简单.本文对基于Voronoi结构的自然邻点插值和自然单元法的基本思想作了介绍,综述了国内外关于自然单元法的研究成果,总结了自然单元法的优点和尚需解决的问题.      

用无网格LRPIM分析中厚板弯曲问题

用径向基函数构造无网格点插值法的形函数,插值函数具有Kronecker delta函数性质,因此可以很方便地施加本质边界条件.利用无网格局部径向点插值方法分别对一个对边固支另对边简支中厚板和一个悬臂中厚板的弯曲进行了分析计算.该方法不需要任何形式的网格划分,所有的积分都在规则形状的子域及其边界上进行,是一种真正的无网格方法.算例表明:将无网格局部径向点插值法应用于计算中厚板的弯曲问题,所求得的位移场和应力场都是光滑的;在径向基函数的基础上,附加多项式大大提高了插值精度;所得结果与弹性力学理论解以及有限元解都十分吻合.     

求解Helmholtz方程基于核重构思想的最小二乘配点法

基于核重构思想构造近似函数，将配点法和最小二乘原理相结合对微分方程进行离散， 建立了Helmholtz方程的最小二乘配点格式，并分别研究了Helmholtz方程的波传播问题和 边界层问题. 通过数值算例可以发现，给出的数值计算结果非常接近于精确解，计算精度明显高于SPH 法的数值结果，且随着节点数目的增加，其精确度越来越高，具有良好的收敛性.     

基于自然单元法的功能梯度中厚板自由振动分析

自然单元法是一种基于自然邻近插值的无网格数值方法．相对于移动最小二乘近似而言,自然邻近插值不涉及到复杂的矩阵求逆运算,也不需要任何人为的参数．基于一阶剪切变形板理论,利用自然单元法对功能梯度中厚板的自由振动进行了数值分析．功能梯度板材料属性沿厚度方向呈梯度连续变化．由于自然邻近插值函数具有Kronecker delta函数性质,可以直接施加本质边界条件．通过本文给出的方法,对不同梯度指数和不同边界条件的功能梯度中厚板的振动频率进行了计算．通过与文献结果的对比验证了自然单元法求解的有效性．     

用无网格局部径向点插值法分析非均质中厚板的弯曲问题

用无网格局部径向点插值法分析了非均质中厚板的弯曲问题.利用虚位移原理推导了中厚板的离散系统方程.采用径向基函数耦合多项式基函数来近似试函数,用四次样条函数作为加权残值公式中的权函数.所构造成的形函数具有Kronecker delta性质,可以很方便地施加本质边界条件.此方法不需要任何形式的网格划分,所有的积分都在规则形状的子域及其边界上进行,是一种真正的无网格方法.在计算过程中,取积分中的高斯点的材料参数来模拟问题域材料特性的变化.算例结果表明这种无网格方法具有效率高、精度高和易于实现等优点.     

基于拉氏变换的弹性动力学插值型重构核粒子法

插值型重构核粒子法的形函数具有离散点插值特性和不低于核函数的高阶光滑性,因而不仅可以直接施加本质边界条件,同时也保证了较高的计算精度．本文将弹性动力学方程作拉氏变换后,在变换域内用插值型重构核粒子法求解,最后再借助Durbin数值反演方法求得时间域的解．针对典型的弹性动力学问题,给出了插值型重构核粒子法的数值算例,并验证了本文方法的有效性．     

基于径向基函数配点法的梁板弯曲问题分析

采用径向基函数配点法分析考虑剪切效应的梁板弯曲问题,该方法利用径向基函数作为近似函数,基于配点法离散方程,通过最小二乘法求解。径向基函数配点法在离散和计算过程中不需要任何形式的网格划分,是一种真正的无网格法;径向基函数可以用一元函数来描述多元函数,存在明显的储存和运算简单的特点;而基于配点法求解不需要积分,提高了计算效率。分析考虑剪切效应的薄梁板问题时,传统的有限元法或无网格法求解均会存在剪切锁闭问题,而径向基函数在全域内存在无限连续性,能够准确地满足Kirchhoff约束条件,因此径向基函数配点法能够消除剪切锁闭现象,而且不会出现应力波动。该方法的优势在于,其不仅易于离散、精度高,而且具有指数收敛率,计算效率高。数值算例验证了上述结论和该方法的稳定性。     

Hermite梯度重构核近似配点法及其在功能梯度材料板的静力分析中的应用

由于直接配点法在求解边值问题时边界上的求解精度较低,本文提出了Hermite梯度重构核近似配点法（HGCM）来改进边界求解精度。重构核近似是无网格法中一种常用的近似函数,但是其在求解高阶导数时格式复杂且非常耗时。HGCM采用梯度重构核近似构建形函数的任意高阶导数,提高了计算效率;通过Hermite配点法构建离散方程,提高了边界求解精度。这种方法在求解对应变系数四阶偏微分方程的功能梯度材料板的静力问题时精度高,计算效率高,并可进一步推广应用于高阶偏微分方程描述的边值问题。     

平面弹性问题的位移-应力混合重心插值配点法

提出数值分析平面弹性问题的位移-应力混合重心插值配点法。将弹性力学控制方程表达为位移和应力的耦合偏微分方程组,采用重心插值近似未知量,利用重心插值微分矩阵得到平面问题控制方程的矩阵形式离散表达式。使用重心插值离散位移和应力边界条件,采用附加法施加边界条件,得到求解平面弹性问题的过约束线性代数方程组,应用最小二乘法求解过约束方程组,得到平面弹性问题位移和应力数值解。数值算例结果表明,重心Lagrange插值方法的计算精度可达到10~(-10)量级。位移-应力混合重心插值配点法的计算公式简单、程序实施方便,是一种高精度的无网格数值分析方法。     

滑动最小二乘插值函数配点法

给出了利用滑动最小二乘法构造加权残值法中试函数的方法，对试函数中的基函数以及权函数的选取提出了建议；该试函数适用于任何定解问题，采用配点法求出试函数中的系数，进而可得到定解问题的近似解，利用该试函数对简支板的挠曲，悬臂梁的弯曲，以及中心具有小圆孔的大板的均匀拉伸等三个例子进行了数值计算，并与理论结果进行对比，同时还检验了该法的精度对结点数，配点数，以及结点影响半径的依赖情况，结果表明，该试函数适用于多种边值问题，且精度高，该法简化了选择试函数的过程，尤其适用于工程中的各种数值计算。     

基于局部Petrov-Galerkin离散方案的无网格法

基于局部Petrov-Galerkin离散方案,选用自然邻近插值构造试函数,用Shepard函数作为权函数,提出了一种无网格方法(MNNPG),这种方法充分发挥了局部Petrov-Galerkin法的优势,并且结合了自然邻近插值的特点,方便引入边界条件,由于以Shepard函数的圆形支集作为积分子域,用分片中点插值来完成区域积分,无需额外背景网格,是一种真正的无网格法。本文将该无网格方法用于求解二维弹性力学边值问题,算例结果很好地吻合了精确解,表明该方法具有良好的数值精度和稳定性。