活用二项式定理面面观

学习二项式定理的重点在于利用二项式展开式进行灵活解题,通常涉及二项式展开式通项公式、赋值法求系数、不等式的放缩证明以及求近似值等方面的应用,在高考、模拟考中大都是以选择题、填空题形式出现．下面介绍二项式定理的几种典型应用,供读者参考．     

二项展开式系数的求法

对于(a b)^n展开式中特定项的系数,常常从通项公式人手,学生容易掌握,而对于较复杂的展开式,如(a b)^m(c d)^n、(a b c)^n等,多有畏难情绪,这里介绍三种行之有效的方法,供大家学习时参考。     

排列、组合和二项式定理

1．本单元重点、难点分析 掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题,理解排列、组合的意义,掌握排列数计算公式及组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题．掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题．     

排列、组合和二项式定理

重点：1）利用分类分步计数原理和排列组合知识解决计数问题，解决这类问题的关键是要善于将问题转化为几种常见的模式（如相邻或不相邻问题、有序排列问题、分组问题等），并要掌握相应的解题策略；2）利用二项展开式的通项公式求某些指定项（如常数项、x′项、有理项、无理项、二项式系数最大的项）     

例说二项式定理的解题功能

二项式定理是高中数学中的一个重要定理,是用排列组合的基本原理推证的,它给出了二项展开式中的各个项及按未知数幂整理后的各项系数.因此具有一定的解题功能,现举例说明如下:1.推证方法的解题功能     

等差数列中“和问题”的一种处理方法

公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1 (n-1)d (n∈N),若函数f(x)=dx (a1-d) (x∈R),则有an=f(n).本文称函数f(x)为等差数列{an}的伴随函数,这样便有下面的定理.定理 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数,且mi (i=1,2,3,…,k)为自然数,则证 ∵ f(x)为等差数列{an}的伴随函数,∴ f(x)=dx (a1-d) (x∈R),故定理得证.推论 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数,Sn为前n项和,则证 由定理得：利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题.例1 在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,则a2 a8=( )(A) 45. (B) 75. (C) 180.…     

有关数列通项的常见类型及其求解策略

数列通项问题是数列部分的一个重要且典型的问题 ,是中学数学教学的一个难点 ,现结合教学 ,对有关数列通项的常见基本题型及其求解思维策略作一探索归纳 ,供参考 .1　给定数列前几项求其一个通项公式思路　观察分析 ,归纳猜想 .例 1　求下列数列的一个通项公式 .1) 1,3,6 ,10 ,… ;2 ) 74× 6 ,- 95× 7,116× 8,- 137× 9,… .分析 :1)观察项之间的关系有 :ａ2 -ａ1=2 ,ａ3-ａ2 =3,ａ4 -ａ3 =4,…猜想ａｎ-ａｎ -1=ｎ .将以上各式两端分别相加可得ａｎ-ａ1=2 3 4 … ｎ ,∴ａｎ=1 2 3 … ｎ =ｎ(ｎ 1)2 .经验证此为所求的一个通项公…     

例谈二项展开式系数问题的解题策略

二项式定理是每年高考的必考内容，笔者研究了近几年有关二项式定理的高考试题．发现二项展开式系数问题占到了一定的比例，下面就二项展开式系数问题常见的题型及其解题方法归类如下．     

二项式（展式）系数求法举例

有关二项式系数和二项展开式系数计算,已成为历年高考必考内容,且以选择题或填空题形式命题.虽然考查的是基本概念和公式的应用,但思维方法必须是灵活的.若不善于观察、分析与思考.只知道套用现成的数学公式,则很难说能顺利解决问题.下面对若干试题的解法归类分析、供同学们复习参考.     

利用二项分布的数学期望求二项展开式中系数最大的项．

在二项分布的教学中,笔者发现了一个求二项展开式中系数最大的项的简便方法,在这里介绍给大家,与各位共同分享．     

一阶二次递归数列的部分结论

在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1　当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1　满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2　当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2　数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得…     

排列、组合和二项式定理

1．本单元重点、难点分析 本单元的重点：两个计数原理，排列、组合的定义，排列数、组合数的定义以及排列数、组合数的公式，组合数的性质；二项式定理，二项展开式的通项．     

对一道求数列通项问题的多角度切入

题目 已知数列{an）的前n项和为Sn，a1=2，当n≥2时，Sn=2n-nan． （1）求a2，a3； （2）求数列{an}的通项公式．     

例说二项式定理的解题功能

二项式定理是高中数学中的一个重要定理,是用排列组合的基本原理推证的,它给出了二项展开式中的各个项及按未知数幂整理后的各项系数．因此具有一定的解题功能,现举例说明如下：     

等差数列和等比数列问题

等差数列和等比数列是两种非常基本的数列 ,其通项公式和求和公式已为大家所熟悉 .数列问题涉及的知识面十分广 ,我们不能拘泥于几个公式和性质 ,而是要在理解的基础上把握住这些公式与性质的本质 ,掌握其思想方法 ,特别是要注意培养熟练地求出其中任意一个元素的运算能力和把一个具体问题转化为等差数列或等比数列问题的逻辑能力 .例 1　 ( 1998年希望杯全国数学邀请赛第二试试题 )在一个各项是实数的等比数列中 ,若前两项的和是 7,前六项的和是 91,那么前四项的和是 (　　 )(Ａ) 2 8.　 (Ｂ) 32 .　 (Ｃ) 35.　 (Ｄ) 4 9.解　因为Ｓ2 =ａ1…     

对一道课本习题解答的完善

人教社2005年1月出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5A版P39B组第4题：已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1＋3an-2（n≥3），对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？教参中给出的解答有两个缺陷，1）解法上的缺陷，     

对二项展开式系数绝对值最大项问题的再思考

二项展开式系数绝对值最大项问题是困扰一线师生教学的难点,文[1]对这一内容进行了分析,给出的解法较为繁琐,本文从数列不等式恒成立的概念出发对这一类问题进行了再分析.     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…