一个数学问题的简便证明

《数学通报》2004年第12期刊登了李明老师对1525号数学问题“△ABC中,求证:sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)≤23.”的证明,但证明方法技巧性较高,其实该题有较便的证法.记录如下:证因为sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B 30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B-60°)=-2sin2A B2-60° 2cosA2-B·sinA B2-60° 1=-2sinA B2-60°-cosA2-2B2 cos2A2-B2 1≤32(1)当且仅当cos2A-2B=1cosA-2B=2sinA B2-60°时“=”号成立.因为-90°相似文献   

利用泰勒公式证明不等式

我们知道利用微分中值定理证明某些不等式将显得十分简洁、明瞭.本文就如何利用泰勒公式证明不等式作一些分析.     

"圆锥曲线的一个性质"的简便证明

贵刊2006年第8期刊登了惠润科老师的一篇《圆锥曲线的一个性质及应用》，文中提出圆锥曲线的一个性质：过圆锥曲线的焦点F作倾斜角为a的直线l与圆锥曲线交于A、B两点（点A在B的上方），且F分AB的比为λ，e为离心率，则cos^2α=（λ-1）^2/e^2（λ＋1）^2.惠润科老师并利用方程、结合韦达定理、第二定义来证明，其运算量大．其实有简便的证明，记录如下．     

两种不同余项型泰勒公式的简易证明

本文从近似精确度出发,利用洛必达法则逐步推导出泰勒多项式,得到带有Peano型余项的麦克劳林公式和泰勒公式.进一步利用拉格朗日中值定理推导出带有拉格朗日型余项的泰勒公式.     

关于泰勒公式应用的一个注记

本文提出了应用泰勒级数计算一类含参变量的积分的方法。该法在一般的数学文献，包括数学分析教程等均未见叙述。     

利用泰勒公式证明函数图形凹凸性判定定理

本文给出了利用泰勒公式证明函数图形凹凸性判定定理的简捷方法.     

二元函数极值充要条件的简便证明

本采用变级王换分析的方法给出二元函数极值的充分必要条件的一个简便证明。     

证明一个不等式

<数学通报>2010年8月号问题: 1866 已知a>1,b>1,证明: 1/a+b/2+2ab/a+b+a+b/2+2ab/a+b≥2ab+1/2√ab.     

一个错误的证明

《中学生数学》(初中版)2006·1期P19 刊登了孙迪新老师的文章《切线性质定理的另一种证法》,笔者以为其证法错误,为说明问题,现将原文证法抄录如下:     

一个不等式的证明

近几年我们所使用的高等数学教材有一道习题：根据二重积分的性质，比较积分∫∫D（x y)^2dσ与∫∫D（x y）^3dσ的大小，其中D是由圆周（x-2)^2 (y-11)^2=2所围成。     

一个猜想的证明

文[1]给出了:在任意△ABC中,A、B、C表示其三内角,则cos3A cos3B cos3C≥38.(当且仅当△ABC为正三角形时等号成立)并给出了如下猜想:cosnA cosnB cosnC≥32n.(n≥2,n∈N*)　(*)本文将利用著名的Jacobsthal不等式[2]:“设x≥0,y≥0,对任意正整数n,有xn (n-1)yn≥nxyn-1”的变形:“当x≥0,y>0时,有xnyn-1≥nx-(n-1)y”,以及相关的函数性质给出猜想的如下证明.证明　(1)若n=2k(k∈N*)时,　cosnA cosnB cosnC=cos2kA cos2kB cos2kC=(14)k-1[(cos2A)k(14)k-1 (cos2B)k(14)k-1 (cos2C)k(14)k-1]≥(14)k-1{[kcos2A-14(k-1)] [kcos2B-14…     

一个猜想的证明

贵刊文 [1 ]中提出如下猜想 :猜想 2　已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )不在二次曲线Γ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0上 ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线分别交Γ于Ｓ ,Ｍ和Ｔ ,Ｎ ,则直线ＭＮ与ＳＴ的倾斜角也互补 .笔者经过探讨认为 ,以上猜想是成立的 ,不过结论“直线ＭＮ与ＳＴ的倾斜角也互补 .”应修正为“直线ＭＮ与ＳＴ的倾斜角也互补或倾斜角都为0°.”即有定理　已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )不在二次曲线Γ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0上 ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线分别交Γ于Ｓ ,Ｍ和Ｔ ,Ｎ ,则直线ＭＮ与ＳＴ的倾斜角也互补或都为 0°.为证明此…     

一个猜测的证明

贵刊去年第11期刊载了杨学枝先生的《一个代数不等式的加强》一文。文末提出了如下两个猜测:     

一个简单的证明

贵刊1987年第二期刊登杨俊英同志的文章《选择题的合理评分标准及其概率证明》。为了充分地考查学生掌握知识的情况,杨认为在选择题时应该这样说明:“请在下列(n个)答案中将正确的挑选出来。”(不应在题目中给出正     

卡诺定理的一个证明

文 [1 ]的第 88页 ,曾介绍日本的一个“庙宇木版问题”:由圆内接多边形的某顶点引所有对角线 ,将其划分为若干个三角形 ,则这些三角形内切圆半径之和 ,是一个与顶点选择无关的常数 .此命题的证明 ,要用到卡诺定理　三角形外心到三边距离的代数和等于其外接圆半径加上内切圆半径 .怎样证明 ?文 [1 ]没有说 ,于是有读者写信讯问 .查阅文献 ,发现 1 984年有文 [2 ]的一个“证明”:设△ ABC三边长为 a,b,c,内切与外接圆半径分别为 r,R,面积和半周长分别为△和 p,则R r =abc4△ 4△ .△4△ . r= 14△ [abc 4papbpc]　 ( pa =p - a,等等 )=…     

一个不等式的证明

法国 Louis Pasteur大学的 Mohammed Aassila教授 ,在 1998年 9月的 Crux Mathematicorum WithMathematical Mayhem杂志 P30 4上提出了下面的不等式 :设 a、b、c >0 ,证明 :1a( 1 b) 1b( 1 c) 1c( 1 a) ≥ 31 abc.本文现给出其证明 .证明　原不等式等价于( 1 abc) [bc( 1 c)     

一个不等式的证明

文[1]给出了问题：设a0,a1,a2,…满足a0=1/2,ak+1=ak+1/nak^2(k=0,1,2,……）,其中n是某个固定的正整数，求证：1-1/n&;lt;an&;lt;1。     

一个不等式的证明

文[1]中提出了下述的不等式,即（符号说明见正文）AP＋PQ＋QB≤max{AP PQ′ Q′B,AP′ P′Q QB}。文中说：不难验证此不等式成立,但我们发现,要对此不等式给出一个详细的证明是相当困难的。由于此不等式对该文是相当重要的,本文即对之给出一个详细的证明。     

一个不等式的证明

设a_1,…,a_n是n个正数。σ_1,…,σ_n是它的n个初等对称多项式,即 那么有如下的不等式成立