例谈nmx[f（x），g（x）]、min[f（x），g（x）]型函数题型的解题策略

所谓max[f(x),g(x)]或min[f(x),g(x)]型函数,即是在定义域的不同部分,函数取这两个或两个以上函数值最大的函数式(或最小的函数式)作max[f(x),g(x)](或min[f(x),g(x)])的解析式,解这类问题的最佳方法是数形结合,本文例举几例说明这类函数的求解策略.     

f[g(x)]的反函数与f~(-1)[g(x)]是两回事

求函数f[g(x)]的反函数与求f-1[g(x)]，许多人把它们看成一回事，因而在或题时会发生这样或那样的错误．求f[g(x)]的反函数是求复合函数的反函数，其反围数的复合过程恰好与原函数相反，即y而求f-1[g(x)]是在求出x=f(x)的反函数广f-1(x)之后，再求出反函数的复合函数．二者过程不同，不能混淆．1求f-1[g(x)]的反函娄例1已知f（X）一3X＋I，求人又十1）的反函数‘有人这样拉：f（X）一3X＋1的反函数是这种解法的错误是显而易见的，由上图进行核验知广’（“＋’）一百（“’‘人正确解法是：函数人X）一3X＋1的反函数是广‘（x）一百（X…     

max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数问题三则

所谓ｍａｘ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]或ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]型函数 ,是指在ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的公共定义域的不同部分 ,取这两个 (或两个以上 )函数值最大的函数式 (或最小的函数式 )作解析式的函数 ,解这类函数有关的问题的最佳方法是数形结合 .本文例举几例说明求解策略 .例 1　已知ｆ(ｘ) =3 -ｘ,ｇ(ｘ) =( 2ｘ +5) 12 ,则ｙ =ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]的最大值为.分析　本题属于非常规性问题中的信息迁移题 ,需要同学们在掌握基本初等函数的图像与性质的基础上 ,根据新定义新信息重新构造新函数 .图 1在同一坐标系内分别画出ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的图…     

怎样由f[φ(x)]求f(x)

由已知的函数关系式f[φ(x)]求f(x),进而求f〔ψ(x)〕的问题,比较抽象,不少学生感到无从入手。现介绍一些常用解法。一、定义法例1 已知f(x-1)=3x~2-8x+10,求f(x)及f(x+a)。分析 f(x-1)是以(x-1)为自变量的函数,欲求其对应关系,可拆项、添项,将已知表达式配凑成关于(x-1)的多项式。     

关于f[f(x)]的两个“不一定"

《中学生数学》2003年1月上期刊登的裴华明老师的“求f(x)表达式的几种方法”一文中有下面的例题及解答:“例4 已知f{f[f(x)]}=27x+13,求f(x).解因为复合函数f{f[f(x)]}不改变f(x)的次数,故可设F(x)=ax+b,…,故f(x)=3x+1.”     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

函数f(x)=k~ax pa~(-x) q的对称中心

文[1]给出了函数f(x)=Cax DAax B对称中心,文[2]又给出了函数g(x)=lgcx dax b的对称中心,这两个函数同时具备中心对称的性质,是孤立的还是有某种联系呢?以它们最特殊的两个函数f(x)=ax 1ax-1,g(x)=lgx 1x-1为例,容易发现这两个互为反函数,可见f(x)=Cax DAax B的反函数的形如g(x     

复合函数 f[φ(x)]图象的几何作法

函数是中学数学的重要概念之一,指导学生作好函数图象可以对函数的概念及其性质加强直观理解。中学课本上主要是用描点法来作图的,虽然二次函数和三角函数的图象也介绍了“平移法”。对于复合函数的图象如用描点法作图,常常先要讨论函数的性质,如定义域、单调性、奇偶生、周期性、极值等等,这就此较麻烦了。下面将介绍复合函数的几何作法。所谓复合函数就是:设Y=f(u),定义域为U,u= (x),其定义域为X,值域为U＇,若是UU＇,则称y为x的复合函数,记作y=f〔 (x)〕,其中u称为中间变量。中学课本上常见的函数,诸如y=lg(3x-1),y=sin(ωx+ ),y=1-x~2~(1/2)等等,就是复合函数。如果已知函数y=f(x)及y=(x)的图象,则用下列方法能作出y=f〔 (x)〕的图象。     

关于D~nf〔g(t)〕、D_x~(n_1)D_y~(n_2)f〔G(x,g),g(x,g)〕的一般公式的推证

<正> 一个函数的Taylor展开,在近似计算中十分重要,其中的主要问题是求函数的各阶导数。如果这个函数是复合函数f[g(t)],为了估计误差,希望得到高阶导数D~nf[g(t)]的一般公式。在其它场合,例如用上级数方法解偏微分方程的初边值问题时,还会遇到求多元复     

由f[g(x)]求f(x)的思考

在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1　已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)…     

分数(g,f,m)-覆盖图的充要条件

G是一个图,g和f是两个定义在V(G)上的非负整数值函数,并且对任意的x∈V(G),满足g(x)≤f(x).称图G是分数(g,f,m)-覆盖图,如果存在图G的分数(g,f)-因子G[F_h]满足对任意的e∈E(H)有h(e)=1,其中H是图G的m条边的子图.证明了一个图是分数(g,f,m)-覆盖图的充要条件,并得到了几个推论.     

冷眼看“f[f~(-1)(x)]=x”

数学作为一种工具,强调应用性,新教材教学极其关注这一点,尤其是知识的综合应用和问题的交叉运用,近年来各省的高考试题有不同程度的体现.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”,从基础出发,重定义,才能至千里.本文主要通过实例,探讨反函数及f[f-1(x)]=x的实质和应用,加强同学们对抽象函数的理解,希望能给大家一点启示.1求抽象函数的反函数——重在理解反函数的定义例1已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),求函数y=f(2x-1) 1的反函数.解析由y=f(2x-1) 1得,f(2x-1)=y-1,∴f-1[f(2x-1)]=f-1(y-1),即2x-1=f-1(y-1),x=21f-1(y-1) 21.∴y=f(2x-1) 1的…     

函数f(x)=[1+1/x]x的两个基本性质及应用

近年来,与函数f(x)=(1+1/x)x有关的试题在高考中时有出现,由于目前中学数学教材中,对函数f(x)=(1+1/x)x的性质介绍甚少,因此,学生们在求解这类问题时,常常束手无策、颇感为难.本文给出函数f(x)=(1+1/x)x在(0,+∞)上的两个基本性质及应用,供大家参考.     

“f(x)g(x)=of(x)=0或g(x)=0”对吗?——从一道错题谈起

首先看一道选择题:设全集为实数集R,M={x|f(x)=0},N={x|g(x)=0},那么集合P={x|f(x)g(x)=0}可表示为(A)M∩N;(B)M∪N;(C)M∪N;(D)M∪N.这是一道广为流传的题目.如1998年福州市高中毕业班质量检查卷(理科)第一题.参考答案都选(D).其实这是一道错题.例如,设f(x)=x2-1,g(x)=lg(x-1).则M={x|f(x)=0}={-1,1},N={x|g(x)=0}={2},M∪N={-1,1,2},但P={x|f(x)g(x)=0}={x|(x2-1)lg(x-1)=0}={2}≠M∪N.又如设f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x|f(x)=0}={x|x=kπ,k∈Z},N={x|g(x)=0}={x|cosx=0}={x|x=kπ π2,k∈Z}.M∪N={x|x=kπ或kπ π2,k∈Z}…     

关于图是(g,f,n)-临界图的充分条件

设G是一个图. 设g和f是两个定义在V(G)上的整值函数使得对V(G)所有的顶点x有g(x)f(x). 图G被称为(g,f,n)-临界图,如果删去G的任意n个顶点后的子图都含有G的(g,f)-因子. 本文给出了图是(a,b,n)-临界图几个充分条件. 进一步指出这些条件是最佳的. 例如,如果对V(G)所有的顶点x和y都有g(x)＜f(x), n+g(x)dG(x)和g(x)/(dG(x)-n)f(y)/dG(y),则G是(g,f,n)-临界图.     

不等式f(x)·(g(x))~(1/2)≥0的解法

解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0极易出现漏解或增解 ,最常见的错误解法是 ,将 f(x)·g(x) ≥ 0转化为不等式组 f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0 .须知 f(x)·g(x) >0与 f(x) >0 ,g(x) >0同解 ,但是 f(x)· g(x) ≥ 0与f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0并不同解 .那么 ,怎么解此类不等式呢 ?下提供三种基本的解法供参考 .方法 1　将关系符号分解符号“≥”是由“ >”与“ =”复合而成 ,这样解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0可以转化为解不等式 f(x)· g(x) >0与解方程 f(x)·g(x) =0 .例 1　解不等式 (x - 4 ) x2 - 3x - 4 ≥ 0 .解　原不等式可以转化为 (x - 4 )x2 - 3x - 4>0或 (…     

函数g(x)=(1+1/x)x+1的性质及其应用

近年高考时常出现与函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)有关的压轴题,如2007年四川理科卷的第22题及2001年全国理科卷的第20题,这两道题都涉及了函数f(x)的相关性质.有关函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)的两个重要性质以及结论,文献[1]中给出了总结和证明:     

函数f(x)=的两个基本性质及应用

近年来,与函数f(x)=(1+1/x)x有关的试题在高考中时有出现,由于目前中学数学教材中,对函数f(x)=(1+1/x)x的性质介绍甚少,因此,学生们在求解这类问题时,常常束手无策、颇感为难.本文给出函数f(x)=(1+1/x)x在(0,+∞)上的两个基本性质及应用,供大家参考.……     

关于函数f(x)=|a-2x|的周期轨的个数

设函数 f(x)=|α-2x|,α>0,x∈[0,α].设 m 为大于1的奇数,A_m={x|x/α=h/m,h相似文献   

二分(mg,mf)-图中的(g,f)-因子

设G是一个二分图具有顶点集V（G）和边集E（G）。设g和f是定义在V（G）上的两个正整值函数使对任意的x∈V（G）有g(x)≤f(x)，G的一个（g,f）－因子H是G的一个生成子图满足g(x)≤dH(x)≤f(x）。若图G本身是一个（g,f）－因子，则称G是一个（g,f）－图。本文得到一个（mg,mf）－图具有特殊性质的（g,f）－因子的充分条件，从而推广了文献[6]中的一个结果。