Flattern von Drehflügeln im Standlauf

Zusammenfassung Es wird eine Methode angegeben für eine ausreichend genaue und rasche Abschätzung der Standlaufflattergrenze von Drehflügeln, die gelenkig an die Rotorwelle angeschlossen sind. Am Beispiel eines Drehflügels mit trapezförmigem Umriß wird das Ergebnis der Abschätzung verglichen mit der durch mehrfache Iteration gewonnenen genauen Lösung, wobei sich eine gute Übereinstimmung ergibt. Die Methode wird auch für den Fall der Seitenanströmung des Rotors angewendet, sie liefert dann jedoch wegen der nicht zutreffenden Voraussetzung stationärer Anströmung nur eine untere Grenze für die kritische Drehzahl, die der Bemessung zugrunde gelegt werden muß, soweit nicht durch Flugversuche eine höhere kritische Drehzahl erwiesen wird.     

Über die freien Bewegungen einfacher Schwinger mit nicht gerader Kennlinie

Zusammenfassung Zur Bestimmung der Schwingzeit von Systemen mit nicht gerader Kennlinie hatte man bisher, falls die Aufgabe sich nicht streng lösen ließ, entweder die Methoden der graphischen oder numerischen Integration auf Einzelfälle angewendet oder nach Ersatz der gekrümmten Kennlinie durch einen Streckenzug auch ein graphisches, das ist auf den Einzelfall beschränktes, Verfahren benutzt; Ausdrücke, die, wenn auch nur angenähert, die Schwingzeit in allgemeinen Zeichen angaben, so daß auch der Einfluß der einzelnen Parameter erkennbar blieb, fehlten. Zwei Wege zu diesem Ziel werden aufgezeigt: Integration von Gleichung (3.4) nach der Simpsonschen Regel und Herstellung von rechnerischen Ausdrücken nach Ersatz der gekrümmten Kennlinie durch einen Streckenzug. Im ersten Fall erhält man nur einen Näherungswert, der aber, wie man allgemein weiß und wie das Beispiel zeigt, sehr genau ist (Fehler < I). Die Näherungen, die man auf dem zweiten Weg erhält, sind gröber, wenn man nicht viel Rechenarbeit aufwendet. Dafür kennt man allerdings die Richtung des Fehlers.     

Beitrag zur Theorie der Wärmeleitung bei periodisch veränderlichen (quasistationären) Temperaturfeldern

Zusammenfassung Die vorausgehenden Entwicklungen geben an Hand einfacher Beispiele von ebenen, Kugel- und Zylinderproblemen eine anschauliche Methode zur Bestimmung von Lösungen der Differentialgleichung der Wärmeleitung für periodisch veränderliche (quasistationäre) Temperaturfelder. Dabei wird (ausgehend von bekannten Erscheinungen der Wellenlehre) gezeigt, da\ man einer bestimmt definierten Temperatur-oder Wärmegrundwelle die Eigenschaften der Interferenz, Reflexion und Brechung zuschreiben kann (für Beugungserscheinungen konnte noch keine einfache Lösung gefunden werden). Dadurch wird es möglich, für einige technisch nicht unbedeutende Aufgaben Übersichtliche Lösungen des Temperaturfeldes anzugeben. Die Anschaulichkeit der Methode ermöglicht es aber auch in sehr verwickelten Fällen, die eine exakte Lösung nicht mehr zulassen, noch wenigstens qualitativ richtige Schlüsse Über das Verhalten der Temperatur-Wärmewellen zu ziehen. Infolge der Verwendung von komplexen Funktionen zur Darstellung der Vorgänge kann die zahlenmä\ige Auswertung in einfachster Weise auf zeichnerischem Wege vorgenommen werden. — Durch Übertragung der gefundenen Beziehungen auf entsprechende WärmeÜbergangsprobleme konnten, unter Voraussetzung einer idealen (Prandtlschen) Grenzschicht, Zusammenhänge zwischen harmonisch veränderlichen Gas- und Wandtemperaturen abgeleitet werden. Die rechnungsmä\ig einfachste Erfassung des WärmeÜberganges führte dabei auf komplexe WärmcÜbergangszahlen.Über den Inhalt dieser Arbeit wurde auf der Wärmetagung des VDI am 23. Oktober 1934 in Leipzig auszugsweise berichtet.     

Über Effekte zweiter Ordnung bei Biegung und Torsion dünnwandiger Rohre elliptischen Querschnitts

Zusammenfassung Mittels einfacher Gleichgewichtsbetrachtungen wird gezeigt, daÜ bei der Biegung eines dünnwandigen Rohres von elliptischem Querschnitt neben den Längsspannungen der elementaren Biegungstheorie auch Biegungsspannungen auftreten, deren EinfluÜ bei geringer Wandstärke im Vergleich zu den Ellipsenachsen nicht zu vernachlässigen ist, vor allem wegen der Verformung des Querschnitts, den sie zur Folge haben. Diese Abplattung der Ellipse wird mit Hilfe des Castiglianoschen Satzes berechnet. Bei den zusätzlichen Biegungsspannungen und der zugeordneten Deformation handelt es sich um Effekte zweiter Ordnung, die eine Verminderung der Sicherheit gegen Einbeulen der Rohre verursachen. Entsprechende Betrachtungen werden für die Torsion angestellt, wobei gleichartige Ergebnisse erzielt werden. Die Aussage über die Herabsetzung der Instabilitätsgrenze ist nur qualitativer Art. Es wird eine einfache Anwendung auf das Bourdonsche Manometer gebracht und dabei die Erklärung der Tatsache gegeben, daÜ eine Röhrenfeder in den Endpunkten der groÜen Achse ihres Querschnittes zuerst aufreiÜt.Der Verfasser dankt Herrn Prof.L. Föppl für die Anregung dieser Arbeit, sowie für die überlassung der Gleichungen (25), (27), (36) aus unveröffentlichten Arbeiten.     

Berechnung der Schaufeln von Kreiselrädern

Zusammenfassung Für Kreiselräder mit konstanter und mit abnehmender Radbreite wurde ein Berechnungsverfahren entwickelt, das bei vorgegebener Zirkulationsverteilung über den Radius gestattet, die zunächst unbekannte Schaufelform zu berechnen. Es hat sich dabei gezeigt, daß die Abnahme der Radbreite im wesentlichen nur Einfluß auf die mittlere radiale Durchflußströmung hat. Das Verfahren füllt die Lücke zwischen den beiden oft behandelten Grenzfällen aus: einerseits der Rechnung, als ob das Rad unendlich viele Schaufeln hätte (Eulersche Gleichung), andererseits der Berechnung mit Hilfe der konformen Abbildung, eines Verfahrens, das nur bei geringer Schaufelzahl bequem ist. Da bislang nur der Fall stoßfreien Eintritts behandelt ist, kann man nur den theoretisch besten Betriebszustand durchrechnen. Sowie sich die Fördermenge z. B. ändert, stimmt der Eintrittswinkel nicht mehr und jede Schaufel wird an der Eintrittskante umströmt. Den dadurch entstehenden Verlust kann man mit Hilfe der Methoden der Tragflügeltheorie abschätzen. Dies soll in einer folgenden Arbeit dargelegt werden.Diese Art der Berechnung wurde 1934 von I. Lotz auf dem Mechanik-Kongreß in Cambridge mitgeteilt; vgl. Proceedings of the 4^th Int. Congress for Applied Mechanics, Cambridge 1935, S. 215. Infolge dringender anderer Arbeiten der Verff. hat sich die ausführliche Veröffentlichung stark verzögert.     

Strömungen mit konstantem Geschwindigkeitsgradienten und die Bewegung von darin suspendierten Teilchen

Zusammenfassung Im Rahmen einer statistischen Rheologie der Suspensionen, Emulsionen und Lösungen ist es von Bedeutung, einen Überblick über die Gesamtmenge der Strömungen mit konstantem Geschwindigkeitsgradienten zu gewinnen. Deshalb werden die Lösungen der Differentialgleichung solcher Strömungen angegeben und diskutiert, insbesondere bezüglich des Einflusses des Deformations- und des Rotationsanteils des Geschwindigkeitsgradienten. Im Anschluß daran wird die Bewegung von starren Teilchen in diesen Strömungen analysiert. Sowohl die Strömungsformen selbst als auch die Bewegungsformen der suspendierten Teilchen lassen sich in zwei große Klassen einteilen: Bei überwiegendem Deformationseinfluß haben wir hyperbolisch-parabolische Strömungen sowie eine Einstellung der Teilchen in feste Richtungen, bei überwiegendem Rotationseinfluß dagegen elliptisch-spiralige Strömungen sowie eine ungleichmäßige Umlaufbewegung der Teilchen. Der Umschlag von der einen Bewegungsart in die andere ist hier indessen nicht nur von der Strömungsform, sondern ebenso von der Gestalt der Teilchen abhängig; der Deformationsanteil kommt um so stärker zur Geltung, je größer die Formanisotropie der Teilchen ist.     

Die Bestimmung des Spannungs- und Verschiebungszustandes eines geschichteten Körpers mit Hilfe von Übertragungsmatrizen

Zusammenfassung Im Anschluß an zwei frühere Arbeiten des Verfassers wird gezeigt, wie sich der Spannungs- und Verschiebungszustand eines geschichteten Körpers mit Hilfe von Übertragungsmatrizen in übersichtlicher Weise bestimmen läßt. Insbesondere erlaubt die angegebene Methode die approximative Lösung des Problems der senkrecht zur Berandung beliebig inhomogenen dicken Platte und (als Sonderfall davon) des inhomogenen elastischen Halbraums. Wegen der Gleichförmigkeit des Rechnungsablaufes eignet sich das Verfahren vorzüglich für den Einsatz von digitalen Rechenautomaten.     

Zur Stabilität der dünnen Kegelschale

Zusammenfassung Die obigen Ausführungen über die Stabilität der dünnwandigen Kreiskegelschale stellen eine Ergänzung und Erweiterung einer früheren Arbeit des Verfassers dar, in der die Ausbeulgrenze für gleichförmig verteilte Auflast und für konstanten Außendruck ermittelt worden ist. Nach einer kurzen Zusammenstellung der früheren Ergebnisse wird die Stabilität der auf Torsion beanspruchten Kegelschale betrachtet. Zur Aufstellung der Beulbedingung wird das Energiekriterium verwendet. Da eine exakte Lösung des sich ergebenden Variationsproblems nicht durchführbar ist, wird zur angenäherten Lösung das Ritzsche Verfahren benutzt. Der dabei gewählte Ansatz wird beim übergang zum Zylinder mit der exakten Lösung identisch. Damit ist in der Regel eine gute Genauigkeit der Lösung gewährleistet, da praktisch auf Torsion beanspruchte Kegelschalen fast stets in einer Form vorkommen, die sich nur wenig von der einer Zylinderschale unterscheidet. Die sich ergebende Beulbedingung kann durch Vernachlässigung unwesentlicher Glieder erheblich vereinfacht werden, so daß ihre zahlenmäßige Auswertung leicht möglich ist und ein übersichtliches Kurvennetz ergibt. Dieses Kurvennetz kann schließlich mit hinreichender Genauigkeit durch eine recht einfache Näherungsformel wiedergegeben werden.     

Schubspannungsverteilung im Querschnitt einer Schraubenfeder

Zusammenfassung Es werden die Verzerrungsgrößen für eine durch Zug oder Druck deformierte Schraubenfeder von kreisförmigem Querschnitt bei kleiner Formänderung ohne Vernachlässigung des Verhältnissesa/R (Querschnittsradius: Wicklungshalbmesser) aus der allgemeinen Theorie der Biegung und Drillung dünner Stäbe entnommen. Für den Sonderfall einer Einzelwindung, die zum Ringwulst deformiert wird, werden (unter Angabe des Gültigkeitsbereichs) die Drillungsspannungen bis zur Größenordnung (a/R)² genau berechnet. Es wird gezeigt, daß diese Lösung mindestens auf den Fall einer Schraubenfeder mit einer Steigung von höchstens a/R übernommen werden kann. Der Einfluß der Federkrümmung auf das Drillungsmoment ergibt sich als nur geringfügig. Dagegen zeigt die Spannungsverteilung eine erhebliche Abweichung von der beim gedrillten zylindrischen Stab auftretenden linearen Verteilung. Dies bedingt auch einen starken Einfluß auf den Zusammenhang zwischen maximaler Schubspannung und Drillungsmoment.     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).     

The plane frictionless contact of two elastic bodies — the inclusion problem

Summary The mixed boundary value problem of the contact of two plane elastic bodies of arbitrary shape is solved for zero friction in their contact zone. It is reduced to a system of four singular integral equations referred to the contact zone and the remaining parts of the boundaries of the two bodies. The system is complemented by two more equations derived from the single-valuedness of the displacements along the contact boundaries. The solution of these equations yields the distribution of the contact stresses and the contact length. The method is applied to the symmetric case of an infinite elastic plate containing an oversized elastic inclusion, with and without axial forces applied to the plate at infinity. The evolution of contact relaxation and the progress of the gap between the inclusion and the plate is also given.

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Der ebene reibungslose Kontakt von zwei elastischen Körpern — Das Problem der Einlagerung

Übersicht Das gemischte Randwertproblem der Berührung zweier ebener elastischer Körper von beliebiger Form wird im Falle verschwindender Reibung in der Kontaktzone gelöst. Das Problem wird reduziert auf ein System von vier singulären Integralgleichungen, welche sich auf die Kontaktzone und die übrigen Ränder der zwei Körper beziehen. Das System wird mit zwei weiteren Gleichungen vervollständigt, welche von der Eindeutigkeit der Verschiebungen längs der berührenden Ränder hergeleitet werden. Die Lösung dieser Gleichungen gibt die Verteilung der Kontaktspannungen und die Kontaktlänge. Die Methode wird auf den symmetrischen Fall einer unendlichen elastischen Platte (mit und ohne axiale Kräfte auf den unendlich fernen Rändern), welche eine elastische Einlagerung mit Übermaß enthält, angewandt. Die Entwicklung der Kontaktauflösung und der Vorschrift der Lücke zwischen Einlagerung und Platte werden mit Hilfe der Lösung obiger Gleichungen angegeben.

     

Dynamic coefficient of an elastically supported,pre-stressed beam

Summary An analysis is made of the problem of vibrations of a beam with an axial force resting on eltstic foundation, when the beam is uniform and of finite length and is subjected to an impulsive load. The solution is presented within the framework of a beam theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. An example is provided where the dynamic coefficient for the bending moment is calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the axial force in the beam and the stiffness of the foundation have considerable effect upon the dynamical behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines auf elastischer Grundlage liegenden Balkens, der durch eine Axialkraft beansprucht ist, werden für den Fall analysiert, daß der Balken gleichförmig und von endlicher Länge ist, und daß eine Schlagbelastung an dem Balken angreift. Die Lösung wird innerhalb der Balkentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. In einem Beispiel wird der Schwing-beiwert für das Biegemoment ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, da\ die Axialkraft und die Steifigkeit der elastischen Grundlage auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragent of Professor H, Saito of Tohoku University.     

Der Spannungszustand im Übergangsgebiet einer rechtwinkligen Rohrabzweigung

Zusammenfassung Der Spannungszustand im Übergangsgebiet einer durch Innendruck belasteten, rechtwinkligen Rohrabzweigung — eines im Maschinen- und Apparatebau häufig verwendeten Konstruktionselementes — unterliegt verhältnismäßig komplizierten Randbedingungen, die mit den klassischen Hilfsmitteln der Biegetheorie der Kreiszylinderschale im allgemeinen nur in einzelnen Punkten auf der Schnittkurve der beiden Rohrmittelflächen erfüllt werden können.Unterschreitet das Radienverhältnis a/A (a Halbmesser des abzweigenden, A Halbmesser des durchlaufenden Rohres) den Wert 0,5, so lassen sich die Randbedingungen soweit vereinfachen, daß ihre Erfüllung in allen Punkten der Schnittkurve durch eine geschlossene Lösung des Randwertproblems möglich wird. Dies gelingt hauptsächlich durch Verwendung eines polaren Koordinatensystems auf der Mittelfläche des durchlaufenden Rohres und einer vereinfachten Schalenbiegetheorie von Green und Zerna. Die Lösung hat zunächst die Gestalt unendlicher Reihen; man kann sie jedochHabilitationsarbeit Karlsruhe 1960.     

Berechnung der Strömung in Lavaldüsen mit beliebig verteilter Wärmezufuhr

Übersicht Die Integration der Gleichungen für die Strömung inLavaldüsen bei gleichzeitiger Wärmezufuhr bereitet wegen einer Singularität beim Schalldurchgang Schwierigkeiten. Unter Verwendung spezieller geschlossener Lösungen gelingt deren numerische Integration. Anhand einiger ausgewählter, charakteristischer Beispiele wird der Einfluß einer Wärmezufuhr auf die Strömung diskutiert. Insbesondere wird das unterschiedliche Verhalten bei Wärmezufuhr im Unterschall, bei Schalldurchgang und im Überschall behandelt. Im letzteren Fall werden außerdem die Bedingungen für das Auftreten eines Verdichtungsstoßes aufgestellt.

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Summary The equations ofLaval type nozzle flow with heat addition have a singularity atMach number 1. This causes difficulties in the numerical calculation of the solutions, which can be evaded by use of special analytical solutions. The effect of heat addition to the flow is discussed in terms of some typical examples. In particular the differences between the flows with heat addition in the subsonic, sonic and supersonic region are investigated. In the latter case the conditions for the appearance of a shock wave are stated.

     

Der Strömungswiderstand von Kreiszylindern mit stückweise konstanten Durchmessern

Zusammenfassung An kreiszylindrischen Modellen mit sprunghafter Durchmesseränderung wurden Widerstands- und Druckverteilungsmessungen durchgeführt, um die Gesamt- und Teilwiderstände zu ermitteln und um einen Einblick in die Umströmungsverhältnisse solcher Körper zu gewinnen. Aus den Meßergebnissen werden empirische Formeln für die Widerstandsbeiwerte abgeleitet und als Kurvenscharen für laminare und turbulente Strömung in zwei Arbeitsblättern bereitgestellt.Aus den experimentellen Druckverteilungen wurden die wichtigsten Reibungsschichtgrößen berechnet, und die Lage des so bestimmten theoretischen Ablösepunktes mit der Beobachtung verglichen. Dabei konnte eine gute Übereinstimmung festgestellt werden.Die Widerstandsbeiwerte des durchgehenden Zylinders stellen im laminaren Bereich ein Maximum, im turbulenten Bereich ein Minimum dar. Bei beiden Strömungszuständen ergeben Ein-schnitte in den durchgehenden Zylindern eine sprunghafte Widerstandsänderung, weil durch den Spalt der Rückseitendruck merklich beeinflußt wird. Der Anstieg des Rückseitendrucks bewirkt im laminaren Bereich eine Widerstandsverminderung und beeinflußt den auf der Körpervorderseite liegenden Ablösepunkt verhältnismäßig wenig. Im turbulenten Bereich hingegen wandert der durch den größeren Rückseitendruck stark beeinflußte Ablösepunkt weiter nach vorn, wodurch sich das Totwassergebiet vergrößert und der Widerstand anwächst.Im Gegensatz dazu hat das Anbringen dünner Scheiben auf dem durchgehenden Zylinder nur eine allmähliche Widerstandsänderung zur Folge, weil Scheiben zunächst wie Endscheiben wirken, die nur einen geringen Einfluß haben.Die gegenseitige Beeinflussung der Bereiche mit verschiedenen Durchmessern ist im laminaren Fall am größten, wenn die Bereiche mit kleinem Durchmesser etwa so groß sind wie die Bereiche mit großem Durchmesser. Im turbulenten Fall ist die Interferenz bei Vorhandensein dünner Einschnitte am größten.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen und Elektrotechnik der Technischen Hochschule München angenommenen Dissertation. Die Arbeit wurde am Institut für Strömungsmechanik der T.H. München (Leitung Prof. Dr.-Ing. E. Truckenbrodt) angefertigt.     

Die rheologische Zustandsgleichung

Zusammenfassung In der Einleitung wird die rheologische Zustandsgleichung — d. h. die stoff-spezifische Beziehung zwischen den nicht-starren Bewegungen eines Körpers und den damit in kausalem Zusammenhang stehenden Kräften — als der zentrale Gegenstand der Rheologie bestimmt und anschließend die Rheologie in zwei Hauptgebiete — phänomenologische und statistische Rheologie — aufgegliedert.Der erste Teil behandelt die phänomenologische Theorie (Makro-Rheologie) und umreißt nach einer kurzen kritischen Behandlung der linearen Theorien die allgemeine nicht-lineare Theorie der rheologischen Körper. Nacheinander werden die Konsequenzen des Grundpostulats der Dimensionsanalysis, der Forderung der Invarianz der kinematischen Größen gegen starre Bewegungen und der Isotropiebedingung analysiert und die Ergebnisse am Beispiel der Theorie des isotropen elastischen Körpers, der Theorie der strukturviskosen Flüssigkeit und insbesondere der quasi-stationären Theorie der allgemeinen Flüssigkeit erläutert. Dabei werden zum Schluß auch einige Kriterien für verschiedene viskosimetrische Quereffekte abgeleitet.Im zweiten Teil wird der Abriß einer allgemeinen statistischen Theorie (Mikro-Rheologie) verdünnter Lösungen, Suspensionen und Emulsiopen gegeben. Die hierin enthaltenen hydrodynamischen und statischen Probleme werden analysiert und es wird ein Störungsverfahren zur Lösung des letzteren angegeben, welches zugleich eine Relaxationstheorie enthält. Diese Theorie wird anschließend am Beispiel einer Suspension elastischer Hanteln im einzelnen durchgeführt, wobei die drei Spezialfälle: starre, hart-elastische und weichelastische Hanteln sowohl bezüglich ihres quasi-stationären als auch ihres Relaxationsverhaltens eingehend diskutiert werden. Es ergeben sich dabei bemerkenswerte Unterschiede, welche über das spezielle Modell hinaus für eine zumindest qualitative Kennzeichnung der Suspensionen von Teilchen mit nur permanenter, nur induzierter und schließlich mit sowohl permanenter als auch induzierter Formanisotropie von Bedeutung sind.Vorgetragen auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e. V. und der Deutschen Rheologen-Vereinigung e. V. in Berlin am 24. 10. 1956.     

Mathematische Behandlung gesteuerter Abkühl- und Anwärmvorgänge

Zusammenfassung Gesteuerte Wärmeleitvorgänge, d. h. solche, bei denen verschiedene Teiloberflächen eines festen Körpers von Medien umgeben sind, deren Temperaturen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängen und außerdem im Körper selbst noch innere Wärme entwickelt werden kann, sind für die Technik von besonderer Bedeutung. Es wird deshalb mittels gewisser Einflußfunktionen ein Theorem abgeleitet, welches die allgemeinste Aufgabe dieser Art löst. Sowohl die Einflußfunktionen als auch der Lösungsansatz sind physikalisch sehr einfach zu deuten. Aus dem allgemeinen Resultat werden dann einige Sonderfälle hergeleitet, unter anderem das Ergebnis von A. Kneschke, der erstmals ein spezielles, gesteuertes Wärmeleitproblem auf diese Weise gelöst hat. Am Beispiel eines endlichen Zylinders und eines Betonquaders wird abschließend die Brauchbarkeit der vorgetragenen Theorie gezeigt.     

Über die Verwendung des Energiesatzes zur Lösung von Oberflächenwellenproblemen

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß im Falle der Wellenerrcgung durch stationär schwingende Erreger der Energiesatz auf rechnerisch einfachem Wege eine Näherungsbeziehung für die Amplitude der ins Unendliche abwandernden Oberflächenwellen ergibt. Die Näherung erweist sich dabei um so besser, je kleiner die Längenabmessungen des Wellenerregers gegenüber den sonst vorkommenden Längen (Eintauchtiefe, Wellenlänge) sind. Diese allgemein abgeleitete Näherungsbeziehung wird für zwei einfache Fällc der Wellenerregung durchgerechnet. Der erste Fall, die periodische Quelle führt auf ein einfaches Ergebnis, das in Übereinstimmung mit der für diesen Fall der Wellenerregung bereits vorhandenen strengen Theorie ist¹. Der zweite Fall, der Tauchschwingungen ausführende Quader führt ebenfalls auf eine einfache Beziehung für die erzeugte Wellenamplitude. Für den Grenzfall verschwindender Quaderbreite geht diese wieder in die Lösung für die periodische Quelle über. Für den Grenzfall verschwindender Eintauchtiefe wird der Vergleich mit einer schon vorhandenen Theorie durchgeführt. Endlich werden die beiden gerechneten Fälle mit am Tauchschwingungen ausführenden Quader durchgeführten Experimenten verglichen.Die vorstehende Arbeit wurde auf Veranlassung von Herrn ProfessorSchuler im Institut für angewandte Mechanik der Universität Göttingen durchgeführt. Herrn Prof.Schuler sowie Herrn Prof.Prandtl bin ich für die Förderung der Arbeit zu Dank verpflichtet.     

Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten bei stationärer und periodischer Bewegung

Zusammenfassung Verschiedene Typen von Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten werden besprochen, und es werden vor allem experimentelle Realisierungen derselben mitgeteilt, wobei als Versuchsflüssigkeit wäßrige Lösungen von Polyacrylamid Verwendung finden.Aus der Klasse der stationären Bewegungen werden Strömungen in geradlinigen Rohren von beliebigem Querschnitt und in gekrümmten Rohren von kreisförmigem Querschnitt unter einem konstanten Druckgradienten, sowie Strömungen um drehsymmetrische Körper, die um ihre Symmetrieachse rotieren, behandelt. Für den letztgenannten Fall wird u. a. das Gegeneinanderwirken von Viskoelastizitäts- und Trägheitseinflüssen aufgezeigt.In der Klasse der periodischen Bewegungen wird zuerst kurz auf die Strömung in einem geradlinigen Rohr von beliebigem Querschnitt unter einem alternierenden Druckgradienten eingegangen. Anschließend wird die Strömung um drehsymmetrische Körper, welche um ihre Symmetrieachse Rotationsschwingungen ausführen, untersucht. Dabei wird nicht nur eine stationäre Sekundärströmung in der Meridianebene, sondern außerdem auch eine solche in azimutaler Richtung nachgewiesen und als Folge der Unsymmetrie der anregenden periodischen Bewegung einsichtig gemacht. Schließlich wird gezeigt, daß im Innern eines Zylinders mit freier Flüssigkeitsoberfläche, der um seine Achse Drehschwingungen vollführt, eine unter Umständen recht komplizierte stationäre Sekundärströmung auftritt, und es wird deren Abhängigkeit von der Frequenz und der Füllhöhe untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.Zum Schluß sei Herrn Prof. Dr.K. Weissenberg (The Royal Institution, London) herzlich für die Mitteilung seiner unveröffentlichten Ergebnisse gedankt, die zur Durchführung der zuletzt beschriebenen Versuche angeregt haben. Herrn Dipl.-Ing.K. Feldkamp (Technische Hochschule Braunschweig) sowie meinen Mitarbeitern HerrnH. Stollorz und HerrnH. Pickelin danke ich für ihre Hilfe bei Planung und Bau der Apparaturen und bei der Durchführung der Versuche, meinem Kollegen Herrn Dr.J. Pawlowski für manche anregende Diskussion sowie für die Messung der Fließkurven. Den Farbenfabriken Bayer AG., insbesondere Herrn Dr.W. Meskat gebührt schließlich mein Dank für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Die anfangswertaufgabe für die störungsdifferentialgleichungen des taylorschen stabilitätsproblems

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden vorgegebene Störungen in einer Strömung zwischen zwei rotierenden Zylindern untersucht. Im Gegensatz zu dem von Taylor behandelten Fall darf sich die Grundströmung dabei zeitlich ändern.Mit Hilfe der Galerkinschen Methode werden Näherungslösungen der Störungs-differentialgleichungen konstruiert. Es läßt sich zeigen, daß diese Näherungslösungen gegen schwache Lösungen der Gleichungen konvergieren. Der Beweis wird unter Benutzung der Sobolevschen Einbettungssätze geführt. Die schwachen Lösungen erfüllen nicht die Differentialgleichungen im üblichen Sinne, sondern nur gewisse aus den Differentialgleichungen abgeleitete Integralrelationen. Aus einfachen Abschätzungen ergibt sich die Eindeutigkeit dieser Lösungen.Die schwachen Lösungen besitzen die Eigenschaft, daß die radiale Komponente der Störungen für feste Werte der Zeit eine absolut stetig differenzierbare Funktion der Ortskoordinate ist. Dagegen ist die azimutale Komponente zu jeder festen Zeit nur eine absolut stetige Funktion des Ortes. Beide Komponenten erfüllen die gestellten Randbedingungen. Die erhaltenen Lösungen stellen aufgrund ihrer Eigenschaften und Einzigkeit eine auch vom physikalischen Standpunkt aus sinnvolle Verallgemeinerung dar.Als Beispiel wird das Verhalten spezieller Störungen in zwei gebremsten und in zwei beschleunigten Grundströmungen ermittelt. Mit zunehmender TaylorZahl werden zunächst die radiale und die axiale Komponente der Störungen angefacht. Dagegen bleibt die azimutale Komponente bis zu sehr hohen TaylorZahlen gedämpft. Der Grad der Anfachung hängt praktisch nur von der mittleren Geschwindigkeit der Grundströmung ab.Diese Arbeit stellt eine gekürzte Fassung meiner Dissertation dar, die bei der Naturwissenschaftlich-Mathematischen Fakultät der Universität Freiburg i. Br. im Dezember 1962 eingereicht wurde. Vorgelegt von H. Görtler