Similarity solutions and model constitutive laws to viscoelasticity with application to nonlinear wave propagation

Nonlinear viscoelastic media are investigated within the framework of the group analysis. By requiring the governing system of equations to be invariant under the dilatation group, some classes of material response functions are characterized. Furthermore several sets of self-similar solutions to the model of interest are determined. Finally for the Maxwell media wave propagation into a non constant state described by a similarity solution is studied and the occurrence of a shock wave is considered.

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Riassunto Si considera un modello per i mezzi viscoelastici non lineari nell'ambito dell'analisi gruppale. Richiedendo che il sistema di equazioni di interesse sia invariante rispetto al gruppo di dilatazione, si caratterizzano delle classi di funzioni di risposta per il materiale. Inoltre si determinano diverse soluzioni di similarità. Successivamente nel caso dei mezzi di Maxwell si studia la propagazione di onde di discontinuità in uno stato non costante descritto da una soluzione di similarità. Infine si discutono le condizioni per l'esistenza di un tempo critico a cui un'onda d'urto può formarsi.

     

Il criterio dell'energia per un sistema elettromagnetico dissipativo

Riassunto Per un mezzo elettromagnetico immerso in un ambiente a temperatura costante, elettromagneticamente e termicamente passivo, si studia la legge di evoluzione della energia, determinando una funzione di Liapunov per il sistema, costituita dall'integrale dell'energia su una sfera che si contrae con velocità finita, più un termine superficiale che rappresenta il calore che fluisce attraverso la sfera.

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Summary We study the energy behavior for an electromagnetic material immersed in an environment, that is thermally and mechanically passive, at constant temperature. We determinate a Liapunov function, that is the energy integral on a sphere shrinking with a finite speed, plus a surface term corresponding to the heat flowing across the sphere.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Poiseuille flow of a rarefied gas mixture

The flow of a rarefied binary gas mixture is governed by transport equations which correspond to a coupled set of Fredholm integral equations of the second kind.By means of the Fourier transform technique and by expanding the transformed kernels in terms or orthogonal functions the problem is reduced to the solution of a system of linear algebraic equations.As a significant application, the case of a plane Poiseuille flow of a binary mixture following Sirovich-Hamel's model is considered.The convergence of the method is excellent.

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Riassunto Il flusso di una miscela binaria di gas rarefatti è retto da equazioni del trasporto che corrispondono ad un sistema di equazioni integrali di Fredholm di seconda specie. Mediante la tecnica della trasformata di Fourier e sviluppando i kernel trasformati in termini di funzioni ortogonali, il problema si riduce alla soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari. Quale applicazione significative si considera il flusso piano di Poiseuille di una miscela binaria che segue il modello di Sirovich-Hamel. La convergenza del metodo e'eccellente.

     

Estimates for normal forms of differential equations near an equilibrium point

We consider the problem of finding a normal form for differential equations in the neighbourhood of an equilibrium point, and produce general explicit estimates for both the normal form at a finite order and the remainder, using the method of Lie transforms. With such technique, the classical Poincaré-Dulac theorems are recovered, and the problem of the stability of a reversible system of coupled harmonic oscillators up to exponentially large times is discussed.

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Riassunto Si considera il problema di porre in forma normale un sistema di equazioni differenziali nell'intomo di un punto di equilibrio, e si danno in generale stime esplicite sia per la forma normale troncata ad un ordine finito che per i resti. Si fa uso dell'algoritmo della trasformata di Lie. Con questo metodo si riottengono i teoremi classici di Poincaré-Dulac, e si discute il problema della stabilità per tempi esponenzialmente lunghi di un sistema reversibile di oscillatori armonici accoppiati.

     

Wave features related to the equations of a moving threadline

The equations governing the plane vibrations of a moving threadline are studied from the point of view of linear and nonlinear wave theory. Some exact solutions to the quasilinear hyperbolic associated model are obtained and a new evolution equation, found by applying a suitable reductive perturbation method, is investigated.

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Riassunto In questa Nota si studiano le equazioni che descrivono le vibrazioni piane di un filo flessible mettendo in luce le proprietà legate alla propagazione ondosa lineare e non lineare compatibile con il modello. Si determinano alcune soluzioni esatte del sistema quasilineare iperbolico associato e si investiga l'equazione di evoluzione trovata considerando un opportuno sviluppo asintotico delle variabili di campo.

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Work supported by the C.N.R. through the G.N.F.M. and by M.P.I. through Fondi per la ricerca scientifica 40% e 60%.     

Invariant solutions and constitutive laws for a nonlinear elastic rod of variable cross-section

Summary A group analysis approach is developed for the model describing a non linear elastic rod of variable cross-section. Thus, some sets of exact invariant solutions to the system of governing equations are obtained.Meanwhile, via the group theoretic methods considered herein, possible functional forms of the stress-strain laws as well as the cross-section area are characterized.

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Riassunto In questo lavoro si considera, nell'ambito della teoria dei gruppi di trasformazioni infinitesime, il modello che descrive una corda elastica non lineare di sezione variabile. In talmodo è possibile ottenere delle classi di soluzioni esatte per il sistema differenziale in esame. Inoltre la richiesta di invarianza del modello considerato rispetto a gruppi di transformazione consente di caratterizzare delle classi di legami costitutivi per lo stress e l'area.

     

Analysis of thermal and shear waves according to BKG kinetic model

The dispersion relation for waves propagating in a gas according to kinetic theory is studied. Collisions are described by means of the model proposed by Bhatnagar, Gross and Krook (BGK). New numerical results for shear and thermal waves are given. The high frequency behaviour of the solutions obtained through analytic continuation of the dispersion relation is discussed.

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Sommario Si studia la relazione di dispersione per le onde che si propagano in un gas secondo la teoria cinetica. Gli urti sono descritti mediante il modello di Bhatnagar, Gross e Krook (BGK). Si danno risultati numerici nuovi sulle onde termiche e di taglio e si discute il comportamento alle alte frequenze delle soluzioni ottenute dal prolungamento analitico della relazione di dispersione.

     

Non-existence of a steady rarefied supersonic flow in a half-space

The one-dimensional BGK model for a Boltzmann gas is studied by linearizing about a drifting Maxwellian. This linearized BGK model is then expressed as an operator differential equation whose unique solution is given by a contour integral of the resolvent of the relevant transport operator. The Wiener-Hopf factorization of the dispersion function for the problem is employed to show that the unique solution to the differential equation exists only for subsonic drift velocities.

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Riassunto Si studia il modello unidimensionale di Bhatnagar, Gross e Krook, linearizzato intorno a una maxwelliana con velocità di deriva. Si trasforma poi questo modello in una equazione differenziale operatoriale, la cui soluzione (unica) è data da un integrale curvilineo del risolvente dell'operatore di trasporto di cui ci si occupa. Impiegando la fattorizzazione alla Wiener-Hopf della funzione di disperisione del problema, si dimostra che la soluzione (unica) del problema esiste solo per velocita di deriva subsoniche.

     

Oscillazioni persistenti di un sistema non lineare dissipativo dovute al ritardo della forza di richiamo

Riassunto Si studia il movimento di un oscillatore soggetto a forza di richiamo non-lineare ritardata. Si dimostra che sotto opportune condizioni per i parametri, che non richiedono la quasi-linearità, il sistema in condizioni di regime si muove compiendo oscillazioni persistenti di ampezza e frequenza che possono variare in certi intervalli.

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Résumé On étudie le mouvement d'un oscillateur soumis a une force de rappel élastique retardée. On demontre que, si les parametres satisfaient certaines conditions, qui n'entrainent pas la presque-linéarité, des oscillations stable se développent spontanément dans le système.

     

Il problema matematico del sistema ottico concentrico stigmatico

Sunto Si esamina il problema generale del sistema ottico tutto racchiuso da una sfera di raggio finito, dentro la quale l’indice di rifrazione sia una funzione n(r) della distanza r dal centro, tale che, quando il sistema è immerso in aria, ogni punto della sfera esterna abbia immagine perfetta all’infinito. Per n(r) si fanno le ipotesi più generali che possano essere accettate fisicamente; in particolare si ammette un numero finito di punti di discontinuità di prima specie. Dato il modo di costruire la soluzione generale, che dipende da una funzione arbitraria, definita in un intervallo minore del raggio della sfera esterna, si sviluppano a fondo i calcoli per un caso particolare di speciale interesse fisico.     

Persistence and spatial patterns in a one-predator-two-prey Lotka-Volterra model with diffusion

Sunto Si considera un sistema di equazioni di reazione- diffusione del tipo di Lotka-Volterra con due prede e un predatore. Assumendo delle ipotesi sui coefficienti che assicurano che il sistema è persistente (nel senso di Butler, Freedman e Waltman), si mostra l'esistenza di equilibri non omogenei e di soluzioni periodiche non omogenee rispetto alla variabile spaziale per certi valori dei parametri di diffusione. I risultati sono illustrati da elaborazioni numeriche.     

On the symmetric conservative form of a binary reacting mixture

Summary We consider the system governing a non equilibrium gas flow with a chemical reaction, neglecting, as usual for detonation phenomena, transport effects. It is shown that it is possible to put the system in symmetric and conservative form. Moreover we write the generating shock function and discuss it in the case of a polytropic mixture.

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Sommario Si considéra il sistema di equazioni che governano un gas in cui avviene una reazione chimica trascurando, com'é usuale per i fenomeni di detonazione, gli effetti di trasporto. Si fa vedere che é possibile mettere il sistema in forma simmetrica e conservativa. Inoltre viene scritta la funzione génératrice degli urti che viene discussa nel caso di una miscela di gas politropici.

     

Sulla stabilità di un fluido politropico, viscoso e pesante in un contenitore limitato da pareti perfette conduttrici di calore

Sunto In questa Nota, si affronta il problema del comportamento asintotico nel tempo di perturbazioni alla quiete per il sistema di equazioni per un fluido comprimibile, viscoso e politropico. Ammesso che esista una soluzione regolare globale, si dimostra, sotto l’ipotesi che il gradiente della temperatura assegnata al bordo sia piccolo, che la differenza tra la soluzione corrispondente a dati iniziali arbitrari e la quiete decade a zero pert che tende ad infinito nella normal diL ².

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We consider the equation system for a compressible viscous polytropic fluid in a regualar bounded domain and we study the asymptotic behavior as time goes to infinity of perturbations with respect to the basic rest state. Under the assumption of the smallness of the gradient of the given temperature on the boundary, we prove the exponential decay of theL ²-norm of the difference between the solution corresponding to arbitrary initial data and the rest state.

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The second author thanks the 60% contract MURST, also she acknowledges the GNFM of italian CNR-INDAM for financial supports.     

A technique for time-dependent boundary value problems in the kinetic theory of gases Part I. Basic analysis

The matrix Riemann-Hilbert problem arising in the time-dependent BGK model for half space problems is analyzed. The method used is similar to the one originally introduced by one of the authors for steady problems. A general procedure is given which leads to closed form solutions.

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Sommario Si considera il problema matriciale di Riemann-Hilbert che si presenta nel risolvere il modello BGK per problemi dipendenti dal tempo in un semispazio. Facendo uso di un metodo originariamente introdotto da uno degli autori per problemi stazionari si indica un procedimento per ottenere una soluzione per via analitica.

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On leave from the Department of Aeronautical Engineering, Kyoto University, Kyoto 606, Japan.     

Proprietà topologiche della varietá degli elementi differenziali del secondo ordine dell'S r complesso

Sunto Si considera il modello V, di dimensione complessa 3r-2, della varietà degli elementi differenziali del secondo ordine di uno spazio proiettivo complesso S_r, costruito daG. Gherardelli, E. Bompiani, C. Longo. In questo lavoro tale modello viene considerato come varietà topologica a 2(3r-2) dimensioni reali e, mediante l'uso di un opportuno complesso cellulare, se ne determina il gruppo di omologia intera, assegnando altresì un semplice significato geometrico, nello spazio S_r, per i sistemi fondamentali di cicli delle varie dimensioni. Ne consegue, in particolare, che il gruppo di omologia di V è isomorfo a quello del prodotto di un S_r-1 per la varietà degli elementi di primo ordine di un S_r, in accordo con un risultato diF. Gherardelli ottenuto per altra via; ma si stabilisce d' altra parte che V non è, almeno in generale, omeomorfa a tale prodotto. Si prova, per inciso, che anche la varietá degli elementi di primo ordine di S_r, non è prodotto di un S_r-1 per un S_r, quantunque le due varietà abbiano anch'esse gruppi di omologia isomorfi. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico. Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca n. 37 del C. N. R. per l'anno accademico 1960–61.     

Wave features of a hodograph-like transformation for quasilinear hyperbolic systems

We study the properties of a variables transformation for a 2×2 quasilinear hyperbolic nonhomogeneous system of first order, related to wave propagation. The considered variables transformation transforms characteristic curves of the original system, into characteristic curves of the transformed system. We make use of this property to study the propagation of weak discontinuities (acceleration waves) compatible with the quasilinear system (1.1). Finally a special class of rate-type media is considered and asymptotic solutions are investigated.

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Sommario Si studiano le proprietà di una trasformazione di variabili per un sistema quasilineare iperbolico del primo ordine non omogeneo. La trasformazione considerata trasforma curve caratteristiche del sistema originale in curve caratteristiche del sistema trasformato. Utilizzando queste proprietà si studia la propagazione delle onde di discontinuità (onde di accelerazione) compatibile con il sistema quasilineare iperbolico considerato e si cercano soluzioni asintotiche.

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This work was supported by the C.N.R. through the G.N.F.M. and partially under contract No. 88. 01855.01.     

Sulla propagazione ondosa in un sistema viscoelastico lineare in presenza di forze di massa

Riassunto Si studia la propagazione ondosa che si determina in un sistema viscoelastico lineare sotto l'azione di assegnate forze di massa e per effetto di prefissate condizioni al contorno. Mediante l'analisi asintotica di una particolare serie di Neumann che interviene nella soluzione, si dimostrapoi l'esistenza di una regione di ?strato limite? pert→∞, in corrispondenza di tempi di rilassamento molto ?piccoli?.

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Summary We study the wave propagation which takes place in a linear-viscoelastic model under the action of prefixed mass forces and of boundary data. The solution of this problem is expressed by means of a particular Neumaun's series. The asymptotic analysis of it shows the existence of a boundary-layer region fort→∞ when very ?small? characteristic relaxation times occur.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

The asymptotic analyses of non-linear waves in magneto-thermoelastic solids with thermal relaxation

Summary We investigate the magneto-thermoelastic model with one-dimensional deformation proposed in [1] when Fourier's law is replaced by Cattaneo's Eq. [4]. By means of an asymptotic analysis, we point out the main features of the non-linear wave processes related to different hypotheses based on the order of magnitude of physical parameters connected to thermal relaxation, heat and electrical conduction. In the various cases we obtain the evolution equations which govern the wave amplitude.

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Sommario In questa Nota si prende in esame il modello della magneto-thermoelasticità con deformazioni undimensionali proposto in [1], sostituendo peró alla legge di Fourier l'equazione di Cattaneo [4]. Facendo uso di metodi perturbativi, si mette in evidenza il carattere dei processi ondosi non-lineari connessi con different ipotesi sugli ordini di grandezza dei parametri fisici legati alla conduzione del calore, al rilassamento termico e alla conducibilità elettrica finita. Nei vari casi si deducono le equazioni di evoluzione che governano l'ampiezza d'onda.

     

A priori bounds in the Bénard problem with boundaries of finite conductivity

In questa nota, si danno alcune stime a priori per le soluzioni classiche delle equazioni che descrivono il problema di Bénard quando le frontiere hanno conduttività finita (modello di Hurle, Jakeman e Pike [3]). Adottando il metodo della funzione peso, si mostra che la velocità v e la temperatura T del fluido che a priori sono fatte crescere per grandi distanze spaziali, si mantengono in effetti uniformemente limitate a patto che siano tali la velocità e la temperatura iniziali del fluido e il suo gradiente di pressione.     

Sul teorema fondamentale dei sistemi continui di curve sopra una superficie algebrica

Sunto La Memoria tratta del teorema concernente la completezza della serie caratteristica di un sistema continuo di curve sopra una superficie. Avvertito che il teorema non vale per tutti i sistemi continui, l'A. lo dimostra per le curve emiregolari. La Memoria si chiude con ampie riflessioni critiche sulle ragioni che hanno in passato indotto ad affermare l'assoluta validità del teorema.