Ein rheometer zur untersuchung von flüssigen polymermaterialien in einachsiger und zweiachsiger Dehnung

Zusammenfassung Wir stellen ein neues Dehnrheometer vor, mit dem sowohl einachsige als auch zweiachsige Dehnexperimente an flüssigen Polymermaterialien durchgeführt werden können. Bei der Apparatur wird das Prinzip der atmenden Blase verwendet: Über eine Düse wird in das zu untersuchende Material eine kugelförmige Blase aus einer niederviskosen, inkompressiblen, unmischbaren Flüssigkeit injiziert. Wachstum bzw. Schrumpfen dieser Blase führt zu einer zweiachsigen bzw. einachsigen Dehndeformation der umgebenden Polymerflüssigkeit. Der Injektionsdruck dient als Meßgröße zur Bestimmung der viskoelastischen Eigenschaften des Probenmaterials. Bei vergleichsweise niederviskosen Silikonölen gelingt die Messung der Nullviskosität bzw. der linear viskoelastischen Eigenschaften in guter Übereinstimmung mit Scherexperimenten. Bei Materialien mit ausgeprägt nichtlinear viskoelastischem Verhalten kann unter Anwendung des Wagner-Modells die Dämpfungsfunktion für ein- und zweiachsige Dehnung ermittelt werden. Unsere Ergebnisse für das Polyisobutylen Oppanol B 15 stimmen mit Messungen von Demarmels und Meißner überein, die mit der Methode der Rotierenden Klemmen durchgeführt werden. Für drei Polyisobutylene unterschiedlichen Molekulargewichts ergibt sich im Rahmen der Meßgenauigkeit die gleiche Dämpfungsfunktion.Vortrag auf der Jahrestagung 1991 der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e.V. in Berlin.     

Abkühlungscharakteristik einer gut wärmeleitenden Platte,die bei der Bewegung durch ein Fluid gestreckt wird

Zusammenfassung Das Abkühlungsverhalten einer gut wärmeleitenden Platte, die durch ein Fluid bewegt und dabei nach einem beliebigen Potenzgesetz gestreckt wird, wurde untersucht. Der Impulstransport wird dabei durch eine Gleichung beschrieben, die der Falkner-Skan-Gleichung mit einem Parameter für die Dehnung ähnelt. Für das thermische Problem wurden bezüglich des Ortes ähnliche Lösungen gefunden, die sowohl für kleine als auch große Werte des Fließabstandes gültig sind. Die Konvergenz der Reihen für kleine-Werte konnte durch die Euler-Transformation verbessert werden, so daß die Ergebnisse für alle-Werte Gültigkeit haben.

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The cooling of a low heat resistance stretching sheet moving through a fluid

The cooling characteristics of a low-heat-resistance sheet moving through a fluid have been studied for arbitrary power law stretching. The momentum transfer is governed by an equation that resembles the Falkner-Skan equation with stretching as a parameter. For the thermal problem, locally similar solutions have been obtained for small and large values of the streamwise distance. The convergence of low series has been improved by Euler transformation to yield results valid for all values of.

     

Kritische Drehzahlen und Biegeschwingungen kontinuierlich besetzter Wellen bei verschiedenen Lagerungen

Zusammenfassung Für eine gleichmäßig kontinuierlich besetzte Welle konstanter Biegesteifigkeit werden die kritischen Drehzahlen des synchronen Gleich- und Gegenlaufs und die Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen berechnet, und zwar für vier verschiedene Lagerungsarten (fliegend gelagerte Welle; zweifach kugelig gelagert; ein Wellenende eingespannt, das andere kugelig gelagert: zweifach eingespannt). Die genauen Ergebnisse für die Grundfrequenz bis einschließlich der dritten Oberfrequenz sind graphisch dargestellt und lassen den Einfluß der Trägheitsmomente und der Lagerungsart erkennen. Für die höheren Frequenzen werden Näherungsformeln mitgeteilt, so daß das gesamte Frequenzspektrum erfaßt wird.Vorliegende Arbeit entstand auf Anregung von Prof. Dr. H. Neuber, Lehrstuhl für Technische Mechanik der Technischen Hochschule München.     

Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Reibungsschicht an axial angeströmten rotierenden Drehkörpern

Zusammenfassung Als Abschluß eines umfangreichen Programmes zur Berechnung der Strömung an angeblasenen rotierenden Rotationskörpern wird der bisher noch fehlende Fall turbulenter Strömung behandelt.Für die Berechnung der Impulsverlustaicken sowie des Drehmomentes konnten einfache Quadraturformeln erhalten werden, die für den laminaren Fall ebenfalls eine recht brauchbare Näherung darstellen. In den Formeln kommen nur die Verteilung des Körperhalbmessers und des Körperhalbmessers und die Geschwindigkeitsverteilung um den Körper vor. Es wird eine Abschätzung zur Bestimmung der Lage des Ablösungspunktes infolge der Drehbewegung des Körpers angegeben.Das Verfahren wurde erprobt an den Beispielen der rotierenden Scheibe, der Kugel, der Rotationsellipsoide und des räumlichen Halbkörpers. In allen Fällen wurde der Momentenbeiwert bei laminarer und turbulenter Strömung berechnet. Allgemein kann man zeigen, daß sich das Drehmoment bei konstant gehaltener Anströmungsgeschwindigkeit linear mit der Umfangsgeschwindigkeit ändert.Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Teil einer von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig angenommenen Habilitationsschrift mit dem Titel Die Strömung um rotierende Drehkörper bei axialer Anströmung dar. (Berichter Prof. Dr. H. Schlichting, Mitberichter Prof. Dr. H. Blenk.) Der erste Teil mit dem Titel Die turbulente Strömung an einer angeblasenen rotierenden Scheibe wird in der Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik erscheinen.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Institut für Strömungsmechanik der T. H. Braunschweig ausgeführt.     

Die Elastizität von Flüssigkeiten

Zusammenfassung Ausgehend von einer Suspension elastischer Hanteln bzw. kettenförmiger Teilchenaggregate als dem einfachen Modell einer viskoelastischen Flüssigkeit werden auf induktivem Wege rheologische Stoffgleichungen abgeleitet, in denen das Konzept des elastischen Dehnungsanteils (recoverable strain) eingearbeitet ist und die als nicht-lineare Erweiterung des sog. verallgemeinertenMaxwell-Modells aufgefaßt werden können. In ihnen wird die Flüssigkeit durch eine Folge ineinander verschachtelter Kontinuas gekennzeichnet, denen je ein Elastizitätsgesetz zugeordnet ist. Die Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Beweglichkeit der Strukturelemente bedingt, daß das Verhalten der so dargestellten Flüssigkeiten im allgemeinen von dem einerWeissenberg-Flüssigkeit abweicht.Habilitationsvortrag, gehalten am 5. Februar 1965 vor der Fakultät für Mathematik und Physik der Technischen Hochschule Darmstadt.     

A simple model to describe the kinetics of the coagulation of casein (milk) and fibrin (blood)

Summary It is shown that, on the assumption that the accelerating (growth) and decelerating (decay) phases of coagulation are most simply described by exponential equations, whereas the direct combination of these equations leads to a power equation, the introduction of a power which falls linearly with time, leads to the coagulation equation which has already been found to hold extremely well for both blood and milk. The three equations, in differentiated form, form part of a series in which the negative power of time increases by unity for each successive term. But it is stressed that this treatment postulates the simplest possible conditions and that, like all basic equations, the coagulation equation will doubtless require modification for some systems.

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Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß unter der Annahme, daß die Beschleunigungs-(Wachstums-) und Verzögerungs-(Zerfalls-)Phasen der Koagulation sich sehr leicht durch Exponentialgleichungen beschreiben lassen, wobei die direkte Kombination dieser Gleichungen zu einer Kraftbeziehung führen, die Einführung einer linear mit der Zeit abnehmenden Kraft zu einer Koagulationsgleichung führt, von der bereits jetzt bekannt ist, daß sie sehr gut sowohl auf Blut als auch auf Milch anwendbar ist. Die 3 Gleichungen stellen in der differenzierten Form den Teil einer Reihe dar, bei der die negative Potenz der Zeit für jeden folgenden Term um eine Größenordnung ansteigt. Es wird betont, daß dieser Weg die einfachst möglichen Bedingungen erfordert und daß die Koagulationsgleichung, ähnlich wie alle Grundgleichungen, zweifellos eine Modifikation für einige Systeme erfordert.

     

Untersuchungen über einen unstetig arbeitenden Stoß-Schwingungsdämpfer

Übersicht Eine Einrichtung zur Dämpfung mechanischer Schwingungen wird untersucht. Ihre Besonderheit besteht darin, daß sich eine kleine Zusatzmasse in einem Schlitz des starren Körpers, der einer harmonischen Zwangserregung ausgesetzt ist und dessen Schwingungsbewegung gedämpft werden soll, bewegt. Die Dämpfungswirkung wird durch Stöße erreicht, die zwischen den beiden Massen stattfinden. Die Bedingungen für die allgemeine periodische Bewegung mit zwei Stößen je Periode, deren Bild in der Phasenebene ein unsymmetrischer Grenzzykel ist, werden aufgestellt. Durch einen einfachen Grenzübergang wird man auf den Spezial-fall der in der Literatur bisher allein untersuchten symmetrischen Schwingung geführt. Die Stabilität wird mit Hilfe der für Abtastregelsysteme bekannten Kriterien geprüft. Für einige Parameterkombinationen werden die Ergebnisse in Diagrammen dargestellt.

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Summary A discontinuous dynamic vibration absorber, consisting of a small auxiliary mass sliding in a slit of a rigid body upon which a sinusoidal force imput acts, is investigated. Collisions occurring between the two masses may have a damping effect on the motion of the rigid body. Assuming that there are two impacts per cycle, the conditions of periodicity are determined. The representation of the general motion in the phase plane shows an unsymmetrical limit cycle. The special case of the symmetrical oscillation, which to this date was the only one treated in the available literature, can now be obtained in a most direct fashion. Stability is determined by means of a criterion well known in the theory of sampled data systems. The results, using several different parameter combinations, are shown in the diagrams.

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Auszug aus der Dissertation des Verfassers. Die Arbeiten wurden am Institut für Technische Mechanik in der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Stuttgart (Direktor: Prof. Dr. rer. nat. K. Magnus) durchgeführt und durch Sachbeihilfen der Deutschen Forschungsgemeinschaft dankenswerterweise unterstützt.     

Experimentelle Untersuchungen zum Austrag von Gasblasen und Feststoffteilchen aus der Strömung viskoelastischer Flüssigkeiten vor Lochblenden

Zusammenfassung In der Arbeit wird auf die Bedeutung von Phänomenen der Austragung suspendierter Partikel aus strömenden viskoelastischen Flüssigkeiten hingewiesen. Durch experimentelle Untersuchungen der Abscheidevorgänge in Strömungen hochpolymerer Lösungen durch Lochblenden soll zur Deutung dieser Phänomene beigetragen werden. Die Existenz einer sogenannten Trennpartikelgröße als Maß für die Güte des Auswanderungseffektes wird bestätigt. Sowohl für die Blasen- als auch für die Feststoffabscheidung werden prinzipiell gleiche Abhängigkeiten der Trennpartikelgröße von Volumendurchsatz, Blendengeometrie und rheologischen Flüssigkeitseigenschaften erhalten.

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Summary In this paper the importance of the phenomena of separation of suspended particles from flowing viscoelastic fluids has been demonstrated. A contribution to the explanation of these phenomena is made by experimental studies of the separation by diaphragms in the flow of high polymer solutions. The existence of a so-called particle separation size as a measure of the quality of the migration effect is confirmed. In principle, the same type of dependency of the particle separation size on volume flow, geometry of the diaphragm, and rheological properties of the fluid was obtained in the separation of bubbles as well as solid particles.

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Mit 10 Abbildungen und 1 Tabelle     

Comparison of network theory predictions with stress/time data in shear and elongation for a low-density polyethylene melt

Summary Experimental data are presented which show the variation with time of the shear stress and primary normal stress difference during shear flow with a stepfunction shear rate; the material (Melt I at 150 °C) is a low-density polyethylene melt for which stress-growth and elastic recovery data in elongational flow experiments have been previously reported. A method of comparing the data with the predictions of the rubberlike-liquid constitutive equations is given, based on the use of a specially-chosen rate-of-strain invariantI _IV, defined in [4.1]. From this comparison, it is shown that the disagreement between theory and experiment is about the same for shear flow and for elongational flow, and that the extent of disagreement does not exceed 10% for short-duration flows such thatI _IV t 3.

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Zusammenfassung Es werden Meßergebnisse über die zeitliche Änderung der Schubspannung und der ersten Normalspannungsdifferenz bei Scherfließen einer LDPE-Schmelze (Schmelze I bei 150 °C) vorgelegt. Der zeitliche Spannungsverlauf bei und die elastische Erholung nach Dehnfließen sind für dieses Material bereits früher mitgeteilt worden. Hier wird das Verhalten der Schmelze bei Scherung und bei Dehnung mit den Voraussagen der rubberlike liquid-Zustandsgleichung verglichen, wobei eine speziell gewählte InvarianteI _IV der Deformationsgeschwindigkeit verwendet wird (definiert in [4.1]). Der Vergleich zeigt Abweichungen von Theorie und Experiment, die für Scher- und Dehnfließen etwa gleich groß sind. Die Abweichungen liegen unter 10%, wenn für das Produkt ausI _IV und der Deformationszeitt der WertI _IV t = 3 nicht überschritten wird.

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With 7 figures and 2 tables     

The effect of a transverse shear acting on the edge of a circular cutout in a simply supported circular cylindrical shell

Summary First, the solution to the problem of a simply supported circular cylindrical shell (without a cutout) subjected to a circumferential segmental line load at the middle of the shell is derived. Next, the negatives of the stress resultants and stress couples at a given radius ₀, obtained from this solution, are combined with a transverse shear force to form the edge conditions for a circular cylindrical shell containing a circular cutout with radius ₀. The desired solution is finally obtained by superposing the above two solutions. The convergence of the series, obtained in the first part, is improved for the complete region near and on the segmental line load. Numerical results are presented.

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Übersicht Es wird zunächst die Lösung für die Spannungsverteilung in einer einfach gelagerten kreiszylindrischen Schale ohne Ausschnitt angegeben. Die Schale wird durch eine Linienlast längs eines Umfangs in der Mitte der Schale belastet. Die hierfür erhaltenen Kräfte und Momente für einen gegebenen Radius ₀ werden dann mit einer Quer-Schubkraft kombiniert, um die Randbedingungen für eine kreiszylindrische Schale mit rundem Ausschnitt vom Radius ₀ zu erhalten. Die gewünschte Lösung wird schließlich durch Überlagerung der beiden Teillösungen erhalten. Die Konvergenz der dabei auftretenden Reihenentwicklungen wird für den Bereich der Belastungslinie verbessert. Numerische Ergebnisse werden angegeben.

     

Unsteady flows of a third-order viscoelastic fluid

Summary Unsteady third-order viscoelastic flow is examined for the purpose of determining a method by which certain material constants in theRivlin-Ericksen theory can be measured. The concept of an intrinsic pressure hole error is used, and an expression for this error is derived for third-order flow. It is also shown that the velocity field for unsteady creeping motion of a third-order fluid is identical at any time to a corresponding steady third-order flow. The pressure field, however, depends upon the rate of change of the flow with time.

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Zusammenfassung Es wird die instationäre Strömung dritter Ordnung einer viskoelastischen Flüssigkeit untersucht zu dem Zweck, eine Methode anzugeben, mit deren Hilfe gewisse Stoffkonstanten in der Theorie vonRivlin undEricksen gemessen werden können. Dazu wird das Konzept des intrinsic pressure hole error verwendet, und es wird für diesen Fehler im Rahmen der Theorie dritter Ordnung ein Ausdruck abgeleitet. Weiter wird gezeigt, daß das Geschwindigkeitsfeld für die instationäre schleichende Strömung einer Flüssigkeit dritter Ordnung zu jeder Zeit mit der zugeordneten stationären Strömung dritter Ordnung identisch ist. Im Gegensatz dazu hängt das Druckfeld jedoch von der zeitlichen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ab.

     

The behavior of a spherical bubble near a solid wall in a compressible liquid

Summary The behavior of a spherical bubble near a solid wall is analysed by considering the liquid compressibility. The equation of motion of the bubble with first order correction for the effects of liquid compressibility and solid wall is derived. The equation obtained here coincides with the known result in case of L or C . Further experimental study is made on the motion of bubbles produced by a spark discharge in water. The theoretical results are in good agreement with the experiments.

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Das Verhalten einer kugelförmigen Blase in einer kompressiblen Flüssigkeit in der Nähe einer festen Wand

Übersicht Bei Berücksichtigung der Flüssigkeitskompressibilität wird das Verhalten einer kugelförmigen Blase in der Nähe einer festen Wand analysiert. Die Gleichung der Bewegung der Blase wird mit der Korrektur erster Ordnung für den Einfluß der Flüssigkeitskompressibilität und der festen Wand angegeben. Aus der erhaltenen Gleichung wird für L oder C das bekannte Ergebnis hergeleitet. Darüber hinaus wird eine experimentelle Untersuchung der Blasenbewegung durchgeführt. Die Blase wird mit Hilfe von Funkendurchschlägen zwischen Elektroden in Wasser erzeugt. Die theoretischen Ergebnisse stimmen gut mit den Experimenten überein.

     

Beitrag zur Prüfung metallischer Werkstoffe im Torsionsversuch

Zusammenfassung Der Torsionsversuch eignet sich zur Untersuchung des plastischen Verhaltens von Metallen bei erhöhten Temperaturen, wenn die Fließspannung stark von der Umformgeschwindigkeit abhängt. Aus der gemessenen Drehmoment-Drehwinkel-Kurve wird die Fließkurvek _f () berechnet. Hierfür wird ein Fließkriterium benötigt, dessen Unsicherheit im allgemeinen größer ist als alle Meßfehler. Diese Unsicherheit geht aber nicht in die berechnete Dehngeschwindigkeitsempfindlichkeit ein, die somit als Hauptergebnis des Versuches anzusehen ist.Um die Bedingungen technischer Warmumformung zu simulieren, wird die Verwendung extrem kurzer Proben (flacher Scheiben) empfohlen, womit sehr hohe Umformgeschwindigkeiten erreicht werden können. Für die Auswertung derartiger Versuche ist die wirksame Länge der kurzen Proben — experimentell oder semiempirisch — zu bestimmen und die Kerbwirkung zu berücksichtigen. Im Gegensatz zur herkömmlichen Vorgehensweise wird empfohlen, die örtliche Spannung und Verzerrung nicht für die Mantelfläche der Probe zu berechnen, sondern für einen kritischen Radialabstand im Innern der Probe, für den die Schiebung von der Kerbwirkung unabhängig ist, so daß sich die zuverlässigsten Werte ergeben.

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Summary The torsion test is often used for studying the plastic deformation of metals at elevated temperatures when stress depends strongly on the strain rate. From the measured torque-twisting angle curve, the stress-strain curvek _f () has to be calculated. For this purpose a yield criterion has to be used the uncertaintly of which normally exceeds all experimental errors. This uncertaintly, however, does not propagate into the calculated strain rate sensitivity which therefore may be considered as the main result of the torsion test.For simulating the conditions of technical hot forming processes, the use of extremely short test pieces (flat discs) by which very high strain rates can be obtained is recommended. For evaluating the test data the efficient lenght of short specimens has to be determined. In opposition to the conventional procedure of test evaluation, it is recommended not to calculate stress and strain for the surface of the specimen but for a critical radius for which strain is independent of the notch effect so that the most reliable values are obtained.

Mit 5 Abbildungen     

The velocity slip of polar fluids

Summary The theory of polar fluids, briefly reviewed and shown to be identical to the theory of micropolar fluids, is applied to five different viscometric flows and to the flow around a slowly rotating sphere. Comparing theoretical predictions with experimental results for the viscometric flows it is demonstrated that the theory may serve as a model for the flow of suspensions if a velocity slip along a solid wall is accounted for.In the important limit, in which the length scale of the microstructure is much less than a characteristic geometric length theNavier-Stokes equations subject to a velocity slip boundary condition are all one has to work with for the evaluation of the apparent fluidity; a positive slip coefficient guarantees the sigma phenomenon to result. For other flows one may also adopt this procedure as long as one is interested only in average macroscopic quantities. In this way it turns out that the classical expressions for the hydrodynamic force and torque on a slowly translating and rotating sphere may be employed if the geometric radius is replaced by an apparent one.But even for the evaluation of local quantities, where the full system of equations has to be used, one needs a velocity slip boundary condition. Only then does a qualitative agreement with the experimentally determined details of the flow field result. It is demonstrated that such a requirement is a natural and physically expected supposition for any continuum approximation of a fluid with internal structures.

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Zusammenfassung Die Theorie der polaren Flüssigkeit, welche kurz referiert und für die gezeigt wird, daß sie identisch ist mit der Theorie der mikropolaren Flüssigkeit, wird auf 5 stationäre Schichtenströmungen sowie auf die Strömung um eine langsam rotierende Kugel angewendet. Durch Vergleich von theoretischen Resultaten mit experimentellen Ergebnissen für Schichtenströmungen wird gezeigt, daß die Theorie durchaus als Modell für die Strömung von Suspensionen geeignet ist, vorausgesetzt, daß eine Geschwindigkeitsgleitung entlang einer Wand mitberücksichtigt wird.In dem entscheidenden Grenzfall, in dem die Größe der Mikrostruktur klein ist im Vergleich zu charakteristischen Makrodimensionen, hat man zur Bestimmung der scheinbaren Fluidität nur dieNavier-Stokes-Gleichungen zu lösen, allerdings unter der Randbedingung einer Geschwindigkeitsgleitung; ein positiver Gleitungskoeffizient führt dann zum Sigma-Effekt. Auch auf andere Strömungen ist diese Methode anwendbar, solange man sich nur für irgendwelche Mittelwerte interessiert. Auf diese Weise zeigt sich, daß die klassischen Ausdrücke für die hydrodynamische Kraft und das Drehmoment auf eine sich langsam bewegende starre Kugel ihre Gültigkeit behalten, wenn man den geometrischen Radius durch einen scheinbaren ersetzt.Aber sogar zur Berechnung lokaler Größen, für die man das vollständige Gleichungssystem benötigt, muß eine Geschwindigkeitsgleitung an der Wand angenommen werden. Denn nur dann erhält man eine qualitative Übereinstimmung mit dem experimentell bestimmten Strömungsprofil. Es wird gezeigt, daß eine derartige Annahme für jede Approximation einer Flüssigkeit mit innerer Struktur durch ein Kontinuum physikalisch zu erwarten ist.

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With 2 figures     

Zum Problem der Stabilität ungleichförmig rotierender viskoelastischer Wellen

Übersicht Für eine mit harmonisch schwankender Winkelgeschwindigkeit rotierende Welle wird der Einfluß der inneren und äußeren Dämpfung auf die Stabilität untersucht. Zu diesem Zweck wird die Welle viskoelastisch vorausgesetzt. Sowohl für die unbelastete Welle mit verteilter Masse als auch für die masselose Welle mit einer Scheibe und axialer Belastung können Drehzahlschwankungen stabilisierend wirken.

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Summary The stability of a shaft rotating with a harmonically variable angular speed is investigated taking into account internal and external damping. This means that the material of the shaft has a viscoelastic behavior. For both the unloaded shaft with distributed mass and the massless shaft with one disc and axial loading the variation of angular velocity can give rise to stabilization.

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Ausführliche Fassung des auf dem 12. Internationalen Kongreß für Angewandte Mechanik gehaltenen Kurzvortrags On the Stability of Nonuniformly Rotating Viscoelastic Shafts.     

On the stability of interconnected rigid bodies

Summary The aim of this paper is to determine conditions for equilibrium of an orbiting system of interconnected rigid bodies and to find the stability conditions for a given equilibrium configuration. The equations were expressed in a body mean frame and derived from the Roberson-Wittenburg formalism, the combination of the advantages of these methods leading to a rather simple stability analysis by use of the Liapunov technique.

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Übersicht Es werden die Bedingungen für das Gleichgewicht eines Systems von miteinander verbundenen starren Körpern aufgestellt, die sich auf einer Umlaufbahn befinden. Die Stabilitätsbedingungen für eine gegebene Gleichgewichtslage werden berechnet. Die Bewegungsgleichungen werden nach dem Vorbild von Roberson-Wittenburg abgeleitet und in einem körperfesten Zwischensystem ausgedrückt. Dank der Vorteile dieses Vorgehens kann die Stabilitätsanalyse verhältnismäßig einfach nach der Ljapunovschen Methode durchgeführt werden.

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Presented at the Symposium on Systemtheoretische Probleme der Mechanik, in the Mathematisches Forschungsinstitut, in Oberwolfach (6–12 August 1972), by P. Y. Willems.     

Zur Formulierung der Randbedingungen in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten mit Injektion und Absaugung an den Wänden

Zusammenfassung Es wird die Strömung einerOldroyd-Flüssigkeit B im Spalt zwischen zwei parallel angeordneten, in ihrer eigenen Ebene stationär bewegten Platten analysiert unter der zusätzlichen Bedingung, daß an einer der Platten eine räumlich und zeitlich konstante Injektion und an der anderen eine entsprechende Absaugung erfolgt. Zur Formulierung angepaßter Randbedingungen wird das Problem in der Weise idealisiert, daß der ganze Raum als mit Flüssigkeit gefüllt betrachtet wird und anstelle der Plattenberandungen zwei gleichmäßig mit Flächenkräften belegte Ebenen angeordnet sind. Für diese Ebenen werden Anschluß- und Sprungbedingungen bestimmt, und es wird die Existenz von asymptotischen Werten der Geschwindigkeit auf beiden Plattenseiten postuliert. Diese Bedingungen reichen aber im allgemeinen nicht zur vollständigen Bestimmung des Problems aus, sondern es muß bezüglich der Injektionsplatte noch die Bedingung der Rückwärtsabschirmung hinzugefügt werden.Die Lösungen des so definierten Problems werden in dimensionsloser Form angegeben und diskutiert. Dabei wird besonders auf den Spezialfall verschwindender Retardation (Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit B) eingegangen, denn in diesem Fall führen die Randbedingungen zu Sprüngen in der Geschwindigkeit, und beim Überschreiten einer kritischen Absauggeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) ändert sich das Strömungsfeld unstetig in bemerkenswerter Weise.Weiterhin wird einsichtig gemacht, daß das Problem im allgemeinen nicht mit einer Approximation für langsame Strömungen (Rivlin-Ericksen-Flüssigkeit) zu lösen ist, sondern nur in dem Spezialfall, daß die Injektionsfläche ins Unendliche rückt. In diesem Fall werden Lösungen für eine Approximation zweiter Ordnung angegeben und mit den strengen Lösungen verglichen.In zwei Anhängen werden schließlich die in der Untersuchung auftretenden Ausdrücke für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen und für den Deformationsverlauf beim Kriech- und Kriecherholungsversuch kurz abgeleitet.

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Summary The problem of flow of anOldroyd fluid B between two parallel plates, both moving steadily in their own planes, is analysed. Additionally it is assumed that the fluid is injected with uniform and constant velocity at one plate and is sucked at the other. In order to formulate the boundary conditions in an appropriate manner the problem is idealized in such a way that the whole space is taken to be filled with fluid and instead of porous plates there are two singular planes with uniformly distributed forces. For these planes matching and jump conditions are stated and the existence of asymptotic velocities on both sides are postulated. But, in general, these conditions are not sufficient for the solution of the problem and a further condition, namely that of back-shielding at the plate with injection, has to be introduced.The solutions of the above defined problem are given in dimensionless form and discussed in detail. Emphasis is laid on the special case with vanishing retardation (Maxwell-Oldroyd fluid B) because the boundary conditions result here in jumps in velocity, and when a critical value of suction velocity (velocity of sound) is attained the flow field changes its character unsteadily in a remarkable manner.Further it is elucidated that the problem in general cannot be solved by the method of approximation for slow flows (Rivlin-Ericksen fluid) but only in that particular case in which the injectional area is taken to be at infinity. For this case solutions for second-order approximation have been given and are compared with the exact solutions.Finally, in two appendices, the expressions for the velocity of propagation of transversal sound waves and for the slope of deformation in the so-called creep and creep-recovery experiment respectively, which are used in the above investigation, are derived in short.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Bad Münster a. Stein vom 28.–30. Mai 1969.     

Berechnung des Temperaturfeldes um eine im Erdboden verlegte Punkt- und Linienquelle bei Randbedingung III. Art an der Erdoberfläche

Zusammenfassung Für den Fall, daß sich in einem halbunendlichen Körper in der Tiefe L eine Punkt- bzw. Linienquelle befindet und daß an der Oberfläche des Körpers ein örtlich und zeitlich konstanter Wärmeübergangskoeffizient herrscht, wird das stationäre Temperaturfeld analytisch berechnet. Beim Vergleich mit einer Näherungslösung (Hilfsschicht) zeigt sich, daß nicht so sehr die Biot-Zahl Bi= · L/ als vielmehr der größte Winkel zwischen Wandnormale und Wärmestromdichte in der Hilfsschicht ein Maß für die Genauigkeit der Näherungslösung ist.

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Calculation of the temperature field around a buried point- and linesource, respectively, when the boundary condition is Newton's law

The steady state temperature field in a semiinfinite body caused by a buried point- and linesource, respectively, has been analytically calculated. The comparison with a simple approach (additional-layer) shows that the greatest angle between the normal of the wall and the heat flux density in the additional-layer, describes the quality of the approach better than the Biot-number Bi=L/ does.

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Formelzeichen A Fläche - Bi Biot-Zahl - C Eigenwertfunktion - E₁ Exponentialintegral - exp Exponentialfunktion - i komplexe Einheit - J₀ Besselfunktion nullter Ordnung und 1. Grades - L Verlegungstiefe der Punkt- bzw. Linienquelle - Q Quellstärke - r Radius - Re Realteil eines Ausdruckes - T Temperatur - t Integrationsvariable - x, y, z Ortskoordinaten - Wärmeübergangskoeffizienten an der Erdoberfläche - Laplace-Operator - Wärmeleitfähigkeit des Erdbodens - dimensionslose Temperatur - Integrationsvariable - dimensionsloser Radius - komplexe Ortskoordination Indizes 0 Erdoberfläche, senkrecht über der Quelle - 1 Lösung für das 1. Randwertproblem - 3 Lösung für das 3. Randwertproblem - 13 Zusatzfunktion - w Erdoberfläche - Umgebungstemperatur - Näherungslösung     

Der Gelenkstab mit Vorverformung

Übersicht Eine frühere Arbeit über den Gelenkstab bei großen elastischen Verformungen wird auf Stäbe mit einem Kreisbogen als Achse erweitert. Für verschiedene Werte der Vorkrümmung werden die Verschiebung des Lastangriffspunktes und die seitliche Auslenkung des Gelenkes in Abhängigkeit von der Last mittels elliptischer Integrale berechnet und in Kurventafeln dargestellt. Bei negativer Vorkrümmung ergibt sich für die Biegelinie ein fließender Übergang zwischen erster und zweiter Eigenform.

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The hinged strut with initial curvature

Summary A previous work concerning hinged struts with large elastic deformations is extended to cover struts with circular axis. For various degrees of initial curvature the deflection of the hinge and the displacement of the roller support are calculated using elliptic integrals. The results are given in diagrams. If the initial curvature is negative, the deflection curve changes smoothly between the characteristic functions of the first and second eigenvalue.

     

Stochastic models of relaxation phenomena

Summary The present work is concerned with simple stochastic models for the representation of the linear viscoelastic material behaviour. It is shown that such models can be employed in the same manner as the usual mechanical models. However in contrast to the mechanical models, the stochastic models are related to the microstructure of the medium by means of a material functional. In the present work the latter is shown only in a very reduced form.Creep and relaxation functions of such materials are considered first in terms of microscopic quantities, which are random variables. By introducing the concept of a mesoscopic domain within the material sample the transition from the microscopic to the macroscopic or phenomenological representation can be achieved.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden einfache stochastische Modelle beschrieben. Es wird gezeigt, daß solche Modelle ebenso wie die einfachen Anordnungen von Federn und Dämpfern zur Veranschaulichung des linearen viskoelastischen Verhaltens eines Materials benutzt werden können.Im Gegensatz zu den letzteren sind jedoch die stochastischen Modelle mit der Materialstruktur mittels einer Materialfunktion verbunden. Diese wird in einer äußerst vereinfachten Form dargestellt. Kriech- und Relaxations-Funktionen werden mittels dieser Modelle vorerst für die eingeführten mikroskopischen Variablen abgeleitet und dann mittels Einführung des Begriffes einer mesoskopischen Region im. Material wird der Übergang zur makroskopischen Theorie vollzogen.