min{max|x~n a_1 x~(n-1) a_2 x~(n-2) … a_(n-1) x a_n|}(x∈A)问题

引理1设n∈N,且n≥2则cosnθ=12n-1cosnθ q1·cos(n-2)θ q2·cos(n-4)θ …(1)(其中q1,q2,……均为与n有关的常数)说明:文[1]给出了余弦的n(n≥2,n∈N)次降幂公式:cosnθ=12n-1nk=0Ckncos(n-2k)θ.将上式整理即有:cosnθ=12n-1cosnθ 12n-1C1ncos(n-2)θ 12n-1C2ncos(n-4)θ     

a_n=(c·a_(n-1) d)/(a·a_(n-1) b)的通项的又一解法

文[1]采用常数消去法,以学生熟悉的特例为依托,简单明了地解决了求分式线性递推数列通项的问题,受此启发,经过研究,笔者得到了另一种解法,现以文[1]的两个例子来说明.例1已知数列{an}中,满足a1=2,且an=3an-1 55an-1 3(n=2,3,…),求数列{an}的通项公式.解引入参数t,使得an t=3an     

新题征展(109)

A 题组新编 　　1.已知数列{an}的前n项和Sn=1/2n(n-1),且an是bn与1的等差中项. 　　(1)求数列an和数列bn的通项公式; 　　(2)若cn=(1)/(nan)(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn;……     

求和模型S=n(n-1)/2的构建和应用

大家知道,从自然数1开始逐个相加,一直加到n,把它们的和记为S,则有s=1 2 3 … n=n(n 1)/2(代数第一册(上)P39) 由这个公式,可得1 2 3 … (n-1)=n(n 1)/2     

巧用(-1)~n求摆动数列的通项

在数列中,我们经常会碰到求形如:1,-1,1,-1,…或-1,1,-1,1,…等数列的通项,很显然,我们只要利用(-1)n进行符号的调整,就能很快求出数列的通项公式,我们不禁会思考,在其它的摆动数列中,还能不能用(-1)n去求通项?引例(2004年北京卷)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为,且这个数列的前21项和S21的值为.分析由等和数列的定义,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,…),故a18=3.当n为偶数时,Sn=52n;当n为奇数…     

关于数论函数方程φ(x_1…x_(n-1)x_n)=m(φ(x_1)+…+φ(x_(n-1))+φ(x_n))

运用Euler函数的性质证明了:当n>1时,方程φ(x_1…x_(n-1)x_n)=m(φ(x_1)+…+φ(x_(n-1))+φ(x_n))仅有有限多组正整数解(x_1,…,x_(n-1),x_n),得到了这些解都满足max{x_1,…,x_(n-1),x_n}≤2m⁴(n-1)4(n-1)²n2n².     

数列中一个不可小看的公式

一、一个公式若S_n表示数列{a_n)的前n项和,即S_n=a_1 a_2 … a_(n-1) a_n,则有S_(n-1)=a_1 a_2 … a_(n-1) (n≥2),于是当n≥2时,a_n=S_n-S_(n-1),而n=1时,a_1=S_1,因此,a_n=(?)．解有关数列题目时,我们常常使用这个公式来实现问题的转化,下面举几个例子加以说明．例1数列{a_n)的前n项和为S_n=3n~2 n 1,则此数列的通项a_n=     

妙求a_n=(c·a_(n-1) d)/(a·a_(n-1) b)的通项

1问题的提出现行课本中,有下面典型例题:已知数列{an}的第一项是1,以后各项由公式an=1 1an-1给出,写出这个数列的前5项.这是一个分式递推关系的数列的问题.如何运用简单明了,学生容易接受的方法予以解决递推关系an=c·an-1 da·an-1 b(1)的通项公式,一直以来是中学数学教学的一     

方程x~((n))+f_1(t)x~((n-1))+f_2(t)x~((n-2))+…+f_(n-1)(t)■+f_n(t)x=0解的稳定性

考虑方程z~((n))+f_1(t)x~((n-1))+f_2(t)x~((n-2))+……+f_(n-1)(t)x+f_n(t)=0 (1)在现有文献中,对方程(1)的研究几乎能集中在二阶,对于 n>2的情形,很少见到。本文应用变换技巧以及.直接方法,特别利用文[9]的推广了的方法研究了 n 为任意正整数的方程(1)的平凡解的稳定性,得到了其平凡解全局一致渐近稳定性的充分条件。特别当 n=2时所得的结果包含了文献[1-8]的有关结果。有些结果就非文[8]的条件所能得到,如本文定理4、5及其推论1。     

a_n={S_n-S_(n-1),n≥2,S_1,n=1的应用

设数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,则ａｎ 与Ｓｎ 间有 :ａｎ=Ｓｎ-Ｓｎ - 1 ,Ｓ1 ,ｎ≥ 2 ,ｎ=1.它是ａｎ 与Ｓｎ 之间相互转化的重要工具 ,应用它能较简洁地解出许多条件中含有Ｓｎ 的问题 .下面举例说明它的应用 .1　消去Ｓｎ,转化为ａｎ 来解例 1　设 {ａｎ}是正数组成的数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ.并且对所有自然数ｎ,ａｎ 与 2的等差中项等于Ｓｎ 与2的等比中项 .求数列 {ａｎ}的通项公式 .解　由题意有ａｎ 22 =2Ｓｎ (ｎ∈Ｎ ) ,整理得Ｓｎ=18(ａｎ 2 ) 2 ,由此得Ｓｎ 1 =18(ａｎ 1 2 ) 2 ,∴ａｎ 1=Ｓｎ 1 -Ｓｎ=18[(ａｎ 1 2 ) …     

FLAT TIME-LIKE SUBMANIFOLDS IN ANTI-DE SITTER SPACE H_1~(2n-1) (-1)

By using dressing actions of the G(n1,n-1)1,1-system, the authors study geometric transformations for flat time-like n-submanifolds with flat, non-degenerate normal bundle in anti-de Sitter space H1(2n-1)(-1), where G(n-1,n-1)1,1 = O(2n - 2, 2)/O(n - 1,1)×O(n-1, 1).     

(＋∞∑n-1)1/n2m的初等解法

本文用初等的方法研究(＋∞∑n-1)1/n2m(m∈N)的求和问题. 这个问题最先由Euler[8]解决.文献[1][6]给出了另两种求解方法.特别地,对于m=1的情形,即(＋∞∑n-1)1/n2=∏2/6,已有许多不同的证明方法,可见文献[2][3][4][5]以及那里的参考文献.本文的想法,主要受文献[5][6]的启发而来的.     

试题研讨(4)

题 1　已知数列 {an}前 n项和为 Sn,若 a1= 2 ,nan 1=Sn n( n 1 ) .( 1 )求数列 {an}的通项公式 ;( 2 )令 Tn =Sn2 n,1当 n为何值时 ,Tn>Tn 1( n∈ N ) ?2若对一切正整数 n,总有 Tn ≤ m,求 m的取值范围 .( 2 0 0 2年苏州市模拟考试题 )命题溯源　求数列的通项公式是数列知识的重要问题 .1 983年高考题中首次出现由递推数列求通项公式的问题 ,连考了三年 ,当时形成了一个热潮 .多年来两类求数列通项公式的问题是常考常新 .一类是已知f ( an,Sn) =0求数列通项 an;另一类是与不等式相关的数列综合题 ,如 1 998年全国高考试卷末题 ,…     

(n-1)-半单的n-李代数的几何描述

证明了实数域上(n-1)-半单的(n+1)维n-李代数A是n维欧氏空间的Lorentz群O(p,n-p)与n维Abel正规子群的半直积的n-李代数.且当p=0时,A是n维欧氏空间的等距变换群的n-李代数.并提出了关于(n-1)-半单的(n+1)维n-李代数的外导子的物理应用与几何应用问题.     

无穷级数∞∑(n＝1)1/(2n-1)2k的一种计算方法

根据无穷多项式理论,将余弦函数的幂级数展开式构造成无穷乘积的形式.并且利用ln(1+x)幂级数展开,得到∞∑(n-1)1/(2n-1)2k(R为正整数)的一种计算方法.     

活用公式巧解一道数列题

题目2003年全国高考(文)已知数列{an}满足a1=1,an=3(n-1) a(n-1)(n≥2), (1)求a2、a3; (2)证明:an=(3n-1)/2 本题是一道典型的求数列通项的问题.常见解法是用数学归纳法或迭代法,没有新意. 事实上,对于数列{an},其前n项和为Sn,则an= 认真审题,联想上述求通项公式的结构,     

REGULARITY AND EXPLICIT REPRESENTATION OF (0,1,…,m - 2,m) INTERPOLATION ON THE ZEROS OF (1-x)P_(n-1)~(α,β)(x)

A necessary and sufficient condition of regularity of (0,1,…,m - 2,m) interpolation on the zeros of (1-x)P_(n-1)~(α,β)(x) (α> -1,β≥- 1) in a manageable form is established, where P_(n-1)~(α,β)(x) stands for the (n-1)th Jacobi polynomial. Meanwhile, the explicit representation of the fundamental polynomials when they exist, is given.     

对一道高考题的探究

已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=2an (-1)n(n≥1).1)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3;2)写出数列{an}的通项公式;3)证明对任意的整数m>4有1a4 1a5 … 1am<78.思路分析1)略.2)an=23[2n-2 (-1)n-1](n≥1).3)由于1a4 1a5 … 1am是关于m的递增数列,故不能直接用数学归纳法证明不等式,     

"n(n-1)/2"在初中数学学习的妙用

通常我们会通过"一题多解"的形式来培养学生的发散性思维能力.以达到对同一题目从不同角度多次思维,达到知识灵活运用和迁移.而"多题一解"是培养学生收敛性思维的一种综合归纳的思维方式,即当学生做了同一知识点的许多习题后,加以梳理、归纳、提炼、异中求同,揭开不同习题的表面现象,挖掘其本质的结构,使学生脱离"题海",获得事半功倍的效果.本文例谈公式n(n-1)/2在初中数学学习中的妙用.     

由数学实验探求数列a_n=a_(n-1)+f(n)(n≥2)的通项

1　实验课题数列an=an - 1+ f(n) (n≥ 2　n∈N)的通项的探求 .2　实验数学目标2 .1　知识技能目标让学生掌握用迭代法求数列an =an - 1+ f(n) (n≥ 2　n∈N)的通项 .2 .2　过程与方法目标通过带领学生进行数学实验 ,引导学生积极地进行思维活动 ,激发学生学习数学的兴趣 ,经历数列an=an - 1+ f(n) (n≥ 2 ,n∈N)的通项的探求过程 ,培养学生观察能力、猜想归纳能力、论证能力、抽象概括能力、合作交流的能力 .2 .3　情感、态度与价值目标通过实验、猜想、证实等环节 ,培养学生的探索精神和创造个性 ,培养学生实事求是严谨治学的态度 .3　…