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文 [1 ]运用“斜截三棱柱”的体积公式给出了棱台体积公式的新推导 ,受其启发 ,本文再借助著名的斯坦纳定理给出三棱台体积公式的一种独特新颖的推导方法 .图 1 定理图斯坦纳定理 如图1 ,设四面体ABCD中 ,AB =a ,CD =b ,对棱AB ,CD间的夹角为θ ,距离为d ,则其体积为 : V =16 abdsinθ .(证明详见本刊 1 999年第 1 2期P11)问题 已知棱台ABC DEF中 ,S△ABC=S1,S△DEF=S2 ,高为h ,试推导三棱台的体积公式 .图 2 解问题用图解 如图 2 ,设AB =a1,BC =b1,DE =a2 ,EF=b2 ,∠ABC =θ… 相似文献
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类比,在数学学习中起到至关重要的作用,不仅一些结论可以通过类比得到,而且在方法上也可以通过类比.在推导棱台体积公式时,通过降维变成平面图形——梯形,先给出梯形面积公式的两种证法,而后将这两种方法类比应用到棱台上求体积,实现问题的圆满解决. 相似文献
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笔者选取1829年-1948年期间出版的75种美英几何教材,考察其中关于棱台体积公式的内容,研究发现相关教材中推导棱台体积公式的四种方法,即分割法、构造法、定义法和公式法.相关观点和素材为HPM视角下棱台体积公式的教学提供有益的参考. 相似文献
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预备定理 设斜截三棱柱EF ABCD中 ,EFAB=λ,DCAB=m ,底面ABCD的面积为S ,EF与面ABCD的距离为h ,(如图 1)则斜截三棱柱的体积为V =(λ +m + 1)3(m + 1) ·S·h .该定理证明见文 [1],从略 .已知棱台A′B′C′ ABC中 ,设S△A′B′C′ =S1,S△ABC=S2 ,高为h ,试推导三棱台的体积公式 .图 2 棱台解 如图 2 ,作A′D∥BB′ ,C′E∥BB′分别交AB ,CB于D ,E .其中A′B′C′ DBE为三棱柱 ,值得注意的是几何体A′C′ ADEC即为上文所提到的斜截三棱柱 ,对其应用定理 :λ… 相似文献
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本专栏特邀过伯祥老师主持,稿件请寄316004浙江海洋学院)1创设情境T:我们已经学过了柱、锥的体积的计算方法,如果所给的几何体是一个台体,如何求它的体积呢?比如,已知三棱台ABC—A′B′C′的上、下底面面积分别为S′、S,高为h,求它的体积.S:... 相似文献
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(本专栏特邀过伯祥老师主持,稿件请寄:316004浙江舟山师专)[主持人按:皮亚杰的理论主要是由(通过他的研究、总结、概括而得来的)下述基本概念所组成的:智力,图式,同化与调节,平衡,内化与运算等.图式是行动的结构或组织,这些行动在同样与类似的情境中由于重复而引起迁移或概括;同化是把知觉到的新鲜刺激融于原有的图式中,调节(或译顺应)则是改变原有的图式或建立一个新的图式以容纳一个新鲜刺激的过程;思维是内化的行为;……本设计的要点是;通过一个精心选择出来的特殊图式,把三维问题归结到相对应的一个二维问题;一… 相似文献
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用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱EFABCD,并约定平面ABCD为底面,EF到底面ABCD的距离为高.引理 设三棱柱的一个侧面面积为S,与相对侧棱之间的距离为h,则三棱柱的体积为V=12S·h.该引理的证明见文[1],从略.定理 设斜截三棱柱EFABCD中,EFAB=λ,DCAB=m,底面ABCD的面积为S,EF与面ABCD的距离为h(如图2),则斜截三棱柱的体积为V=图2 定理图m λ 13(m 1)S·h.证 如图2,过F作面FMN∥面ADE,由引理知VADEM… 相似文献
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底面是矩形,顶部为平行底面的一条线段,四个侧面中两个是梯形,两个是三角形,这样的多面体好像木工用的楔,故称此种几何体为楔形.对于任一楔形,有如下命题:若楔形的底面矩形的边长分别为a,b,顶部棱长为l,顶棱到底面的距离为h,则楔形的体积为V=16hb(2a+l).图1楔形证如图1,在楔形EF—ABCD中,底面边长AB=a,AD=b,顶棱EF=l,顶棱到底面ABCD的距离为h,通过割补法易得棱柱PDA-FCB,棱柱PDA-EMN.因为V棱柱PDA-FCB=12S矩形ABCD·h=12abh;而VE-PDA=13VPDA-EMN=13·12SAMND·h=16bh·(l-a),所以V楔形EF-ABCD=VPDA-FCB+VE-P… 相似文献
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立体几何练习时曾碰到这样一道题 :已知三棱锥三条侧棱的长分别为a ,b,c,其中每两条侧棱的夹角均为 60°,求它的体积 .这使我想到 ,如果将其一般化 ,设每两条侧棱的夹角分别是α、β、γ ,那就应该可以推得出三棱锥的又一个体积公式 .一做 ,果然得到了公式 .特录下与同学们共赏 .已知三棱锥D -ABC中 ,DA =a ,DB =b ,DC =c .∠ADB =γ ,∠BDC =β,∠CDA =α ,求这个三棱锥的体积V .图 1 结论题图解 如图 ,在平面BDC中取D为原点 ,DC为x轴建立直角坐标系 ,那么D、C、B的坐标分别为 ( 0 ,0 ) ,(c ,0 ) ,… 相似文献
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三棱锥体积公式的发现100022北京市十七中岳荫巍(本栏为老师们交流教学精品而设,欢迎您将自己最欣赏的为讲解一定理、一公式或一道例习题的重过程、重发现、重学生素质培养的教学设计稿赐给本刊.稿件请寄本刊特邀编辑过伯祥老师处:316004,浙江舟山师本课... 相似文献
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20 0 2年世界杯足球赛所用的足球名叫飞火流星 ,在不充气时它是一个由 1 2个正五边形和2 0个正六边形围成的 32面体 ,不妨称它为飞火流星体 ,简称“飞体” (图1 ) .新编高中《数学》中有C6 0 分子的结构图 ,其形状应是一个很小的“飞体” .本文将用两种方法探求“飞体”体积的计算公式 .1 直接求积法“飞体”有 90条棱 ,它们的长都相等 ,设为a .“飞体”中有一个中心记为O ,“飞体”有 6 0个顶点 ,它们与中心O距离相等 ,因此“飞体”有一个外接球 ,1 2个正五边形与中心O距离相等 ,记为h1,2 0个正方形与中心O距离也相等 ,记为h2 ,把中心O… 相似文献
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众所周知 ,任何一个平面多边形都可以分割成若干个三角形 ,任何一个多面体均可分割成若干个三棱锥 .三棱台ABC A1B1C1可分割成如图 1所示的三个三棱锥A A1B1C1,C AB1C1,B1 ABC ,设三棱台的上、下底面积分别为S1,S2 ,高为h ,体积为V ,则其体积为V =13(S1+S2 +S1S2 )h =13hS1+ 13hS2+ 13hS1S2 .因为VA A1B1C1=13hS1,VB1 ABC=13hS2 ,所以VC AB1C1=13hS1S2 .图 1 三棱台的分割图设VA A1B1C1=V1,VC AB1C1=V2 ,VB1 ABC=V3 ,设 ABA1B1=k ,则 V2V1=V3 V2=S2… 相似文献
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在高二的学习当中 ,我发现了这样一个命题 .命题 在同一平面内有一条直线l和位于l一侧的平面图形 ,设此图形的面积为S ,它的重心到l的距离为R ,则此图形绕l旋转一周所得的几何体的体积V =S·2πR .证 设平面α内有一条直线l和位于它一侧的平面图形T ,T的面积为S ,它的重心到l的距离为R .现可将T看成无穷多个“点”的组合 ,设每个“点”的面积均为S0 ,它们到l的距离分别为r1,r2 ,r3,… .可将图形T看作质量均匀分布的木板 ,则将这些“点”看作物理上的“质点” ,则S0 就相当于每个点的“质量” ,同理 ,S为整个图形… 相似文献
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文 [1 ]给出了三面角中棱与面所成角与三面角之间的关系如下 :定理 1 在三面角S—A1 B1 C1 中 ,三个面角∠C1 SB1 =α ,∠A1 SC1 =β,∠A1 SB1 =γ ,且棱SA1 和平面C1 SB1 所成的棱面角为θ1 ,棱SB1 和平面A1 SC1 所成的棱面角为θ2 ,棱SC1 与平面A1 SB1 所成棱面角为θ3,则cosθ1 =cos2 β+cos2 γ- 2cosαcosβcosγsinα ,cosθ2 =cos2 γ+cos2 α- 2cosαcosβcosγsinβ ,cosθ3 =cos2 α +cos2 β- 2cosαcosβcosγsinγ .(三面角的棱面角的余弦公式 )文 [2 ]给出了定理 1的一个简证 .受定理 1启发 ,如图 ,若分别在SA1… 相似文献
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关于高一立体几何棱台、圆台体积公式推导一课的教学,为开阔学生的思路,培养学生思维探究的能力,并勾通前后知识间的联系,我有如下一些主要想法和做法。 一、为进而退 广开思路 提出课题后,教师引导学生为进而退,转化矛盾,把台体体积公式的推导归结为求锥体、柱体体积的问题,为学生探究用不同方法去推导台体体积公式提供一个总的遵循,起到“开而弗达”作用。 相似文献
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