一类多边形的几何特征

本文约定:满足1a2 1b2=1的椭圆(长半轴长a,短半轴长b)称为标准椭圆;以椭圆的中心为圆心的圆称为椭圆的同心圆,其中半径为1的椭圆的同心圆称为椭圆的同心单位圆.文[1],[2]证明了与标准椭圆内接,且与其同心单位圆外切的三角形不存在.本文确定与标准椭圆内接,且与其同心单位圆外切     

椭圆与它的同心圆

设椭圆的长半轴为a,短半轴为6(0相似文献   

一类三角形存在性的进一步结论

特别约定：满足1/a^2＋1/b^2=1的椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1称为标准椭圆．以标准椭圆的中心为圆心的圆x^2＋y^2=r^2称为标准椭圆的同心圆．     

圆锥曲线的“蒙日圆”

<正>圆锥曲线有关切线的问题时常出现,而关于椭圆的切线,有一个著名的定理:在椭圆中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上(如图1),该圆的圆心是椭圆的中心,半径等于(a²+b2+b²)2)^(1/2),其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴.因为发现该圆的人是法国数学家加斯帕尔·蒙日,所以这个圆又叫蒙日圆.     

椭圆面积公式S=πab的一种初等证法

椭圆的面积公式S=πab的证明,要用到微积分的知识,在这里,给出一种初等证法。高中《平面解析几何》上有这样的题(P126第23题):底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截,截面为一椭圆。求该椭圆的方程。其图如右(图1),不难发现:椭圆的长半轴a、短半轴b与底面圆的半径r有如下关系: a·cosa=r b=r (a为椭圆面与底面成的角) “—一·—L_/ 由此,我们以椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的短半轴b为底面圆半径,构造一个圆柱(高h足够大),然后用一个平面去截圆柱,当截面与底面成a角时,得到椭圆截面x~2/a~2     

点在圆内的证法

设A，B分别为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a，b〉0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．     

黄金分割椭圆及其特性

有这样的一种椭圆，它的长半轴、短半轴、半焦距分别是如图1所示的直角三角形ABC的斜边BC及直角边CA、BA的长a、b、C，且BA边在斜边BC上的射影BH的长恰等于CA边的长b，即是说，D是线段BC的黄金分割点．这时，由CA~2=DC·BC得定义如果椭圆的短半轴和长半轴的长之比等于，那么就称这种椭圆为黄金分割椭圆．由以上定义，焦点在X轴上，中心在原点的黄金分割椭圆的标准方程可写成：注：为书写方便，①式中的h代表无理数（下文同）．下面，我们不妨以椭圆①为例，介绍黄金分割椭圆的一些特征：（1）椭圆①的半焦距是其长半轴和短半岛…     

一道圆锥曲线题的推广

题目已知椭圆 C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴Z为半径的圆与直线x-y＋√3=0相切．     

椭圆与圆的变换关系应用

若将椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )进行如下变换ｘ′ =ｘｙ′ =ａｂｙ ,即将ｘ =ｘ′,ｙ =ｂａｙ′代入原方程 ,则得ｘ′2 ｙ′2 =ａ2 ,可知是圆的方程 .以上变换勾通了椭圆和圆两种曲线 ,即是我们所要讨论的椭圆和圆的变换关系 .从中我们可以看出 ,将圆等比例地压缩 ,便得到椭圆 .这种变换关系我们也可以从曲线的立体投影中看出 ,若圆所在平面与某个平面 β夹锐角α ,则半径为ａ的圆在平面β上的投影便是一个长半轴为ａ ,短半轴为ａｃｏｓα的椭圆 .根据这种变换关系 ,我们可得出以下几个有用的结论 .结论 1　曲线内一点分过此点的…     

黄金椭圆（双曲线）的性质再探

本刊文[1]、[2]将短半轴长与长半轴长(或虚半轴长与实半轴长)的比ba=ω=5-12的椭圆(或双曲线)叫做黄金椭圆(或双曲线).并给出了它们的若干性质,读后很受启发,笔者进一步分析探索,又得到了几个性质,现说明如下.性质1　经过黄金椭圆C1:x2a2 y2b2=1(a>b>0)或黄金双曲线C2:x2a2-y2b     

争鸣

问题问题115对于椭圆的周长,我们给出如下推导方法．把一个长半轴长为a,短半轴长为b的椭圆(图1)放入底面半径为b的圆柱中(足够深),会出现椭圆边缘与圆柱内壁完全闭合(图2)的情形．设此时椭圆在圆柱     

关于椭圓矢径的几个定理及椭矢函数

为叙述方便起见,茲规定椭圆的中心在原点,长、短轴分别在x,y轴上,在x轴上的半轴用a表示,在y轴上的半轴用b表示。中心与椭圆上的点的联线称为矢径,用l表示。x轴的正半轴旋转角α(按习惯规定正负)能与l重合,则称α为矢径l的矢角。夹角为π/2的两条矢径称为共余矢径,用l与l_1表之。共轭直径上的两条矢径称为共轭矢径,用l与(?)表之。Ⅰ.关于椭圓矢径的几个定理     

圆锥曲线的切线的几何作图

圆的切线的几何画法是大家熟悉的。我发现了另外三种圆锥曲线的切线的初等几何画法。一、作图 i)椭圆的切线的几何作图如图1,0为椭圆的中心,F_1、F_2为椭圆的焦点,P为椭圆外一点,过p作椭圆的切线。作法 1.以O为圆心,长半轴长a为半径作⊙O。 2.以PF_1(或PF_2)为直径作⊙O＇,交⊙O于Q、Q＇(若P在⊙O上,则Q、Q＇分别为以PF_1、PF_2为直径的圆与⊙O的另一交点)。 3.连PQ、PQ＇,则PQ、PQ＇就是所求作的切线。     

点在圆内的证法

设A,B分别为椭圆x2a2 2yb2=1(a,b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.1)求椭圆的方程;2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.证明点B在以MN为直径的圆内.本题第一小题,易求得椭圆方程为2x4 2y3=1;第二小题为证明题,即证明点B在以MN为直径的圆内.下面就此题谈谈“点在圆内”的四种证法.“点在圆内”在高中所学知识范畴内常可转化为:①此点B与圆心O距离小于圆的半径;②BM·BN<0;③tan∠MBN<0;④(xB-a)2 (yB-b)2相似文献   

解析几何与其他知识的整合

一、与函数、导数的整合 　　例1.(2007年北京)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.……     

培养学生的探究能力一例——椭圆和双曲线中的姊妹圆

本文向读者展示的椭圆、双曲线中姊妹圆的发现 ,对一个数学家或者一个数学教师来说是不足挂齿的 ,但对初学解析几何的学生来说 ,不能不说是一个创造与创新精神的体现 .1　美感追求发现姊妹圆高二圆锥曲线复习课上练习有道题 :点 M与椭圆x21 32 y21 2 2 =1的左焦点和右焦点的距离之比为 2∶ 3,求点 M的轨迹并画出图形 (《平面解析几何》(必修 ) P79) .解　设 M( x,y) ,∵　椭圆的长半轴 a =1 3,短半轴 b =1 2 ,半焦距 c =5,故按题意得( x 5) 2 y2( x - 5) 2 y2 =23,化简得 x2 y2 2 6 x 2 5=0即 ( x 1 3) 2 y2 =1 2 2 .画…     

椭圆小辅助圆的若干性质

把以椭圆短轴为直径的圆x²+y²=b²称为椭圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a> b> 0)的小辅助圆,本文介绍椭圆C的小辅助圆x²+y²=b²的几条性质.     

直角三角形直角边卷成半圆时斜边所成的曲线

文[1]提出了一种椭圆周长的推导“方法”，认为圆柱面上的半椭圆的展开图为直线段而得到椭圆周长公式为C椭=2√4a^2＋（π^2-4）b^2（a，b分别为椭圆的长、短半轴长），文[2]指出该公式不成立，并得出半椭圆的展开图为三角曲线．事实上，我们知道椭圆周长涉及到第二类椭圆积分，故椭圆周长是不能用初等函数来表示的，然而，文[2]提出了一个没有解决却又耐人寻味的问题如下．     

一类含绝对值方程的几何解法

含绝对值的方程,一般解法是分区间讨论,但计算量较大.如果渗透数形结合的思想,运用复数与解几知识求解,可收到事半功倍之效。例1 求方程|x 5] |x-1|=8的实数解. 解:若把x看成复数,则此方程是以z_0=-2为中心,长半轴a=4,半焦距c=3的椭圆方程.此方程的实数解就是椭圆与实轴交点对应的复数:x=-2±4即-2或-6. 一般地,形如|x-c_1| |x-c_2|=2a(a>0,c_1相似文献   

怎样计算椭圆的面积

在高等数学中,利用定积分可以推出椭圆的面积公式:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,则S椭圆=abπ．其实不使用定积分,利用高中数学知识, 也可以轻松地得到上述结论．