Solvability of the Dirichlet problem for degenerate quasilinear elliptic equations

In a bounded domain of the n -dimensional (n?2) space one considers a class of degenerate quasilinear elliptic equations, whose model is the equation $$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial F}}{{\partial x_i }}} (a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i - 2} u_{x_i } ) = f(x),$$ where x =(x₁,..., x_r), l_i?0, m_i>1, the function f is summable with some power, the nonnegative continuous function a(u) vanishes at a finite number of points and satisfies \(\frac{{lim}}{{\left| u \right| \to \infty }}a(u) > 0\) . One proves the existence of bounded generalized solutions with a finite integral $$\int\limits_\Omega {\sum\limits_{i = 1}^n {a^{\ell _i } (u)\left| {u_{x_i } } \right|^{m_i } dx} }$$ of the Dirichlet problem with zero boundary conditions.     

On the uniqueness of symmetric bases in finite dimensional Banach spaces

Suppose{e _i} _i=1 ⁿ and{f _i} _i=1 ⁿ are symmetric bases of the Banach spacesE andF. Letd(E,F)≦C andd(E,l _n ² )≧n' for somer>0. Then there is a constantC _r=C_r(C)>0 such that for alla _i∈Ri=1,...,n $$C_r^{ - 1} \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i e_i } } \right\| \leqq \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i f_i } } \right\| \leqq C_r \left\| {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i e_i } } \right\|$$ We also give a partial uniqueness of unconditional bases under more restrictive conditions.     

Optimal recovery methods for the integral on classes of differentiable functions

Найдены методы восст ановления интеграла по информации $$I\left( f \right) = \left\{ {f^{(j)} \left( {x_i } \right)\left( {j = 0, ..., \gamma _i - 1; i = 1, ..., n; 1 \leqq \gamma _i \leqq r; \gamma _i + ... + \gamma _n \leqq N} \right.} \right\},$$ оптимальные на класс ахW _p ^r ,r=1,2,...; 1≦p≦∞. Это позволило, в частност и, получить наилучшие для классаW _p ^r квадратурные форму лы вида $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right)$$ И $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = af\left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 0}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + bf\left( 1 \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right).$$      

A note on approximation to the identity with iterated kernels

Пустьl ₁ иl ₂ — неотрицательные убывающие функции на (0, ∞). Допустим, что $$\int\limits_0^\infty {S^{n_i - 1} l_i (S)\left( {1 + \log + \frac{1}{{S^{n_i } l_i (S)}}} \right)dS}< \infty ,$$ , гдеn ₁ иn ₂ — натуральные числа. Тогда для каждой функции \(f \in L^1 (R^{n_1 + n_2 } )\) при почти всех (x₀, у₀) мы имеем $$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to \infty } \lambda ^{n_1 + n_2 } \int\limits_{R^{n_1 } } {\int\limits_{R^{n_2 } } {l_1 } } (\lambda |x|)l_2 (\lambda |y|)f(x_0 - x,y_0 - y)dx dy = f(x_0 ,y_0 )\int\limits_{R^{n_1 } } {\int\limits_{R^{n_2 } } {l_i (|x|)l_2 } } (|y|)dx dy.$$      

On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

Analogs of the arcsine distribution for sequences linearly generated by independent random variables

Let {ξ_k}, kz ...?1,0,1, ..., be a sequence of independent identically distributed random variables with . Let {C_k} be a numerical sequence such that \(\Sigma _{ - \infty }^\infty c_k^2< \infty \) Let $$X_n = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {c_{k - n} \xi _k } , S_n = \sum\limits_1^n {X_k } $$ . This article investigates the limit behavior of the distributions of functionals of the following type: $$\mathcal{V}_n = \tfrac{1}{n}\sum\limits_1^n {h\left( {S_k } \right)} $$ , where h is a bounded function on R¹.     

A tauberian theorem for random walk

LetX ₁,X ₂,... be independent random variables, all with the same distribution symmetric about 0; $$S_n = \sum\limits_{i = 1}^n {X_i } $$ It is shown that if for some fixed intervalI, constant 1<a≦2 and slowly varying functionM one has $$\sum\limits_{k = 1}^n {P\{ S_k \in I\} \sim \frac{{n^{1 - 1/\alpha } }}{{M(n)}}} (n \to \infty )$$ then theX _i belong to the domain of attraction of a symmetric stable law.     

Асимптотические рав енства для интеграло в от модуля суммы кратн ого ряда из синусов

Assume that the coefficients of the series $$\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i = 1}^m \sin k_i x_i $$ satisfy the following conditions: a) a_k → 0 for k₁ + k₂ + ...+k_m →∞, b) \(\delta _{B,G}^M (a) = \mathop {\mathop \sum \limits_{k_i = 1}^\infty }\limits_{i \in B} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_j = 2}^\infty }\limits_{j \in G} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_v = 0}^\infty }\limits_{v \in M\backslash (B \cup G)} \mathop \Pi \limits_{i \in B} \frac{1}{{k_i }}|\mathop \sum \limits_{I_j = 1}^{[k_j /2]} (\nabla _{l_G }^G (\Delta _1^{M\backslash B} a_k ))\mathop \Pi \limits_{j \in G} l_j^{ - 1} |< \infty ,\) for ∨B?M, ∨G?M,B∩G, where M={1,2, ...,m}, $$\begin{gathered} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta _1^j a_k = a_k - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_{j + 1} } ,\Delta _1^B a_k = \Delta _1^{B\backslash \{ j\} } (\Delta _1^j a_k ), \hfill \\ \Delta _{l_j }^j a_k = a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j - l_j } - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j + l_j } ,\nabla _{l_G }^G a_k = \nabla _{l_{G\backslash \{ j\} } }^{G\backslash \{ j\} } (\nabla _{l_j }^j a_k ). \hfill \\ \end{gathered} $$ Then for all n∈N^m the following asymptotic equation is valid: $$\mathop \smallint \limits_{{\rm T}_{\pi /(2n + 1)}^m } |\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i \in M} \sin k_i x_i |dx = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \left| {a_k } \right|\mathop \Pi \limits_{i \in M} k^{ - 1} + O(\mathop {\mathop \sum \limits_{B,{\mathbf{ }}G \subset M} }\limits_{B \ne M} \delta _{B,G}^M (a)).$$ Here \(T_{\pi /(2n + 1)}^m = \left\{ {x = (x1,x2,...,xm):\pi /(2n + 1) \leqq xi \leqq \pi ;i = \overline {1,m} } \right\}\) . In the one-dimensional case such an equation was proved by S. A. Teljakovskii.     

Further properties of inner product quadrature formulas

An inner product quadrature formula is of the form $$\int_{ - 1}^1 {w(x)f(x)g(x)dx \cong \sum\limits_{i = 0}^m {\sum\limits_{j = 0}^n {f(x_i )a_{ij} g(y_j ) = f^T Ag.} } } $$ Conditions are established for which these quadrature formulas are exact whenf andg are polynomials of degree not greater thanm+k andn?l (also, analogouslym?k andn+l) respectively. The structure and properties of the matrixA are also considered.     

On the zero distribution of the Riesz transforms of power series

Рассматривается последовательность преобразований Рисс а степенного ряда $$f(z) = \sum\limits_{v = 0}^\infty {\alpha _v z^n } ,$$ задаваемая формулой $$\sigma _n (z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{\textstyle{{Pk} \over {P_n }}}s_k (z)} ,$$ гдеs _k (z) — частная сумма порядкаk рядаf, a {p _k } — комплексная послед овательность, для которой $$P_n = \sum\limits_{k = 0}^n {p_k \ne 0, n = 0,1,2,... .}$$ Показано, что число ну лей полиномовσ _n в кру ге ¦z¦ <R связано при определе нных условиях лакунарнос ти с порядком роста {σ_n} и с их сверхсходимостью.     

Bemerkungen zu einem Satz von Fejér

Последовательность {ita_k} _(n) ^k =1/∞ вещественных ч исел называется дважды мо нотонной, еслиa _k -2a _k+1 +a _k+2 ≧0 дляk≧1. В работе доказываютс я следующие утвержде ния, являющиеся обобщени ем двух теорем Фейера:

1. Если {ita_k — дважды моно тонная последовател ьность, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^n {a_\kappa z^\kappa } > 1/2$$ дляи≧ 1.
2. Если О≦β<1 и последова тельность (k+1-2β)ak} дважд ы монотонна, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {ka_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } > \beta $$ , то есть $$\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } \varepsilon S_\beta ^\kappa $$ . При помощи 2) получены о бобщения и уточнения теорем из работы [1] о линейных комбинациях некотор ых однолистных функц ий.

     

On the mean value of certain functions connected with the convergence of orthogonal series

В статье рассматрива ются множестваQ ⁿ , 1≦п<∞, ортонормированных с истемΦ={φ _i (x)} _i ⁿ =1, состоящих из функций, постоянных на интервалах \(\left( {\frac{{j - 1}}{n}, \frac{j}{n}} \right)\) , 1 ≦j ≦j ≦п. НаQ ⁿ естественно перенос ится с группы ортогон альных матриц порядкаn мера Хаара. Изучается поведение наQ ⁿ функци и $$S(\Phi ) = \mathop {\sup }\limits_{\mathop \sum \limits_{i = 1}^n y_i^2 = 1} (\int\limits_0^1 {\mathop {sup}\limits_{1 \leqq r \leqq n} } (\mathop \sum \limits_{i = 1}^n y_i \varphi (x))^2 dx)^{1/2} $$ . Доказывается, что приt > 0 иn=1,2,... $$\mu \{ \Phi \in Q^n :s(\Phi ) \geqq t\} \leqq (Ce^{ - \gamma t^2 } )^n $$ .     

Discretized likelihood methods—asymptotic properties of discretized likelihood estimators (DLE's)

Suppose thatX ₁,X ₂, ...,X _n , ... is a sequence of i.i.d. random variables with a densityf(x, θ). Letc _n be a maximum order of consistency. We consider a solution \(\hat \theta _n \) of the discretized likelihood equation $$\sum\limits_{i = 1}^n {\log f(X_i ,\hat \theta _n + rc_n^{ - 1} ) - } \sum\limits_{i = 1}^n {\log f(X_i ,\hat \theta _n ) = a_n (\hat \theta _n ,r)} $$ wherea _n (θ,r) is chosen so that \(\hat \theta _n \) is asymptotically median unbiased (AMU). Then the solution \(\hat \theta _n \) is called a discretized likelihood estimator (DLE). In this paper it is shown in comparison with DLE that a maximum likelihood estimator (MLE) is second order asymptotically efficient but not third order asymptotically efficient in the regular case. Further it is seen that the asymptotic efficiency (including higher order cases) may be systematically discussed by the discretized likelihood methods.     

On the convergence to infinity of Fourier series along dense subsequences of numbers

В статье доказываетс я Теорема.Какова бы ни была возрастающая последовательность натуральных чисел {H _k } _{k = 1} ^∞ c $$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{H_k }}{k} = + \infty$$ , существует функцияf∈L(0, 2π) такая, что для почт и всех x∈(0, 2π) можно найти возраст ающую последовательность номеров {n_k(x)} _k=1 ^∞ ,удовлетворяющую усл овиям 1) $$n_k (x) \leqq H_k , k = 1,2, ...,$$ 2) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t} (x)} (x,f) = + \infty ,$$ 3) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t - 1} (x)} (x,f) = - \infty$$ .     

On the properties of the strong Cesàro summability and strong convergence of series

Говорят, что ряд \(\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \) сумм ируется к s в смысле (С, gа), gа >?1, если $$\sigma _n^{(k)} - s = o(1),n \to \infty ,$$ в смысле [C,α] _λ , α<0, λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {\sigma _k^{(\alpha - 1)} - s} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ и в смысле [C,0] _λ , λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {(k + 1)(s_k - 1) - k(s_{k - 1} - 1)} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ где σ _n ^(α) обозначаетn-ое ч езаровское среднее р яда. Суммируемость [C,α] _λ , α>?1, λ ≧1 о значает, что $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty k^{\lambda - 1} \left| {\sigma _k^{(\alpha )} - \sigma _{k - 1}^{(\alpha )} } \right|^\lambda< \infty .$$ В данной статье содер жится продолжение ис следований свойств [C,α] _λ -суммиру емо сти, которые начали Винн, Х ислоп, Флетт, Танович-М иллер и автор, в частности свя зей между указанными методами суммирования. Наконец, даны некотор ые простые приложени я к вопросам суммируемости ортог ональных рядов.     

Banach spaces in which a theorem of orlicz is not true

Let the Banach space X be such that for every numerical sequencet _n ↘0 there exists in X an unconditionally convergent series σx_n, the terms of which are subject to the condition ∥x_n∥=t_n (n=1,2,...). Then $$\mathop {sup}\limits_n \mathop {inf}\limits_{X_n } d(X_n ,l_\infty ^n )< \infty ,$$ where X_n ranges over all the n-dimensional subspaces of X.     

On a certain class of infinitely divisible distributions

We characterize the class of distribution functions Φ(x), which are limits in the following sense: there exist a sequence of independent and equally distributed random variables {ξ _n }, numerical sequences {a _k }, {b _k } and natural numbers {n _k } such that $$\mathop {lim}\limits_{k \to \infty } Prob\left\{ {\frac{1}{{a_k }}\mathop {\Sigma }\limits_{k = 1}^{n_k } \xi _k - b_k< x} \right\} = \Phi (x)$$ and $$\mathop {\lim \inf }\limits_{k \to \infty } (n_k /n_{k + 1} ) > 0$$ .     

Some extremal properties of positive trigonometric polynomials

A class P_n of even positive trigonometric polynomials tn(?)=a₀ + a₁ cos ?+ ... + a_n cos · n?, satisfying the conditions: a_k ≥0 (k = 0,1, ..., n), a₀ < a₁ is considered. The behavior of the sequence of functionals $$v_n = _{t_n \mathop { \in P_n }\limits^{\inf } } \frac{{t_n \left( 0 \right) - a_o }}{{\left( {\sqrt {a_1 } - \sqrt {a_o } } \right)}}$$ , is studied; two-sided estimations are given for V_n and \(V_\infty = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } V_n \) .