极限函数的连续性与一致收敛性的关系

<正> 我们知道:如果f_1(x),f_2(x).…,f_n(x)…都在[a,b]上连续且f_1(x),f_2(x)…,f_n(x),…在[a,b]上一致收敛于f(x),那末f(x)必在[a,b]上连续.现在我们提出一个相反的问题:如果f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…都在[a,b]上连续,且f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…在[a,b]上收敛于     

Vincent定理的多元推广

Vincent定理指出:若f(x)为d次实系数多项式,(a_1,b_1)为开区间,则多项式f(x)在(a_1,b_1)上没有实根当且仅当存在正常数δ,使得对任意区间(a,b)(a_1,b_1),当|a-b|δ时,多项式(1+x)~df((a+bx)/(1+x))的系数不变号(都是正数或都是负数).文章的主要工作是推广这一结果到一般的多变元代数系统.设实系数多项式f∈R[x_1,x_2,…,x_n],f相对于变元x_i的次数记为d_i.记区间的笛卡尔积为I=[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n](也称为Box).记φ(I)=max{b_i-a_i,i=1,2,…,n}.定义f_I=(1+x_1)~(d_1)(1+x_2)~(d_2)…(1+x_n)~(d_n)f((a_1+b_1x_1)/(1+x_1),(a_2+b_2x_2)/(1+x_2),…,(a_n+b_nx_n)).称f_I为f相对于Box I的伴随多项式.证明了:若多项式f_1,f_2,…,f_m∈R[x_1,x_2,…,x_n],且BoxΛR~n,则方程组{f_1=0,f_2=0,…,f_m=0}在BoxΛ上没有零点,当且仅当存在正常数δ(与BoxΛ有关),使得对于任意Box IA,当φ(I)δ时,伴随多项式f_(1I),f_(2I),…,f_(mI)中至少一个f_(iI)的非零系数全是正(或负)数且f_i在Box I的所有顶点上的值不为0.     

学习数学分析中基本概念的两点体会

一、从“举反例”談起要想精确地掌握一个数学概念,光靠背誦几遍定又是不够的,必須从正面、反面去理解它。把一个概念与其他概念进行比較,找出区別和联系,从而才能更深刻地理解这个概念的实貭。“举反例”就是比較、区分各个不同概念的有效方法之一。我們以連續、可微、有連續微商这三个概念为例說明“举反例”的作用。为此,先将它們的定义敍述如下: Ⅰ.連續:若f(x)在x=x_0的邻域內有定义,且(?) f(x)=f(x_0),則称f(x)在x=x_0連續; Ⅱ.可微:若f(x)在x=x_0的邻域內有定义,且(?) f(x)-f(x_0)/x-x_0=1,则称f(x)在x=x_0可微,l叫做f(x)在x=x_0的微商,記为f′(x_0)=l; Ⅲ.有連續微商:若f(x)在x=x_0邻域內点点可微,且f′(x)在x=x_0連續,则称f(x)在x=x_0有連續微商。为了找出这三个概念之間的区別和联系,我們很自然地提出如下四个問題: 1° f(x)在x=x_0可微,能否得出f(x)在x=x_0連續? 2° f(x)在x=x_0連續,能否得出f(x)在x=x_0可微? 3° f(x)在x=x_0可微,能否得出f(x)在x=x_0有連續微商?     

几篇有缺点的文章

由于看到本通报1958年7月号“关于三角函数週期的求法”一文中有个別不严密处,联想到本通报过去刊登的文章中有两篇也有些問題,愿意在此一併提出,供同志們参考! 大家都来消灭个別文章中的个別缺点,那怕是极其細微的,对于提高本通报的貭量,将会有好处的。先談一談“关于三角函数週期的求法”,一文中的問題。 1)这篇文章的第一部份,作者断言“連續的週期函数,一定有最小正週期存在”。这句話是錯誤的,很容易举出反例:设f(x)=c(常数),則f(x)是連續的週     

关于隐函数样条的凸性分析

本文讨论由隐函数样条F(x)=αg~h(x)-(1-α)f(x)=0,x∈R~(?),0<α<1定义的函数(Functional spline)的凸性,得到:1)当 g(x)=l_0(x),f(x)=multiply from j to k l_j(x),其中,l_j(x)=sum from i=1 to n a_(ij)x_i+b_j 是线性的,且 (?)(x)≥0围成区域Ω,那么在Ω内,当 h>k 时,F(x)=αg~h(x)-(1-α)f(x)=0是凸的;2)在 R~2内,若 f(x,y)=0,g(x,y)=0定义两条凸曲线,那么隐函数样条不一定是凸的.但可以构造 f_1,g_1,使得 f_1与 f 定义同一条曲线,g_1与 g 也定义同一条曲线,而这时的隐函数样条是凸的.本文还给出了一个凸样条的充分条件.     

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

用合分比解分式方程的同解研究

施合分比于方程 f_1(x) f_2(x)/f_1(x)-f_2(x)=f_3(x) f_4(x)/f_3(x)-f_4(x) (Ⅰ) 得方程 f_1(x)/f_2(x)=f_3(x)/f_4(x) (Ⅱ) 往往会引进增根和失去应有的根。現在我們規定用M_1表示由全部增根組成的集合,再規定用M_2表示由全部失根組成的集合。本文給出一个法則,用它可以确定M_1和M_2的所有元素,从而帮助檢查用合分比解分式方程的可靠性。     

一个定理的类比定理

[编者按]本刊2005年第11期发表了甘志国老师的”一类问题的统一解法”一文后,2006年第1期又发表了孟祥礼、孟祥东老师的“一个定理的推广”一文,其观点基本正确.其中该文的推广定理最好表述为“若a为方程x f(x)=m的根,且函数f(x)存在反函数f-1(x),则m-a为方程x f-1(x)=m的根”.     

一类半线性周期问题单侧全局区间分歧和定号解

首先建立一类含不可微非线性项周期问题的单侧全局区间分歧定理.应用上述定理,可以证明一类半线性周期问题主半特征值的存在性.进而,可研究下列半线性周期问题定号解的存在性-x″+q(t)x=αx~++βx~-+ra(t)f(x),0tT,x(0)=x(T),x'(0)=x'(T),其中r≠0是一个参数,q,a∈C([0,T],(0,∞)),α,β∈C[0,T],x~+=max{x,0},x~-=-min{x,0};f∈C(R,R),当s≠0时,sf(s)0成立,并且f0∈[0,∞)且f_∞∈(0,∞)或f_0∈[0,∞]且f_∞=0,其中f0=lim∣s∣→0f(s)/s,f_∞=lim∣s∣→+∞f(s)/s.     

一九八八年日本部分大学入学试题选解(二)

12.设f(x)是x的实系数三次多项式,最高次项的系数是1.若f(x)=0有三个不同的根:α,β,γ,而且α~2,β~2,γ~2也是这一方程的三个不同的根,试求出f(x)。     

一元多项式整根的判定

由高中代数第三册第一章的内容可知,若整系数多项式f(x)=a厂+a,:一l了一’+…+alx+吻有因式二一冬(其中p I’定是首项系数a,,的约数,q是互质的整数)那么P ?一定是末项系数内的约数.当户二1时,因式即成为x一q.为了判定x一q是否为f(x)的因式,对于q的可能值要经过检验,这是够麻烦的。下面的整根判定定理可以帮你减轻部分劳动量,特别是在判断当a,=1时f(x)有无有理因式方面有独到的功效. 盆根判定定理:一个整系数的多项式f(x),若f(o)和f(l)均为奇数,则当x不管为任何整数时,f(x)手0,(即多项式f(x)无整根). 证明:设f(x)二a,了+a,一;广一’+…+。x…     

談第二种倒數方程

數学通報1955年10月号王友鋆同志有一篇討論倒數方程定义的文章:談倒數方程,我們在初等數学複習及研究(代數)的教学中也遇到了同样的問題,王友鋆同志的文章沒有談到倒數方程的解法,这篇短文僅就第二种倒数方程的解法問題作一些討論,为了完备起見,我們先从定义開始。定义 設f(x)=0为複數体上的n(>0)次方程,a_1,a_2,…,a_n为此方程的全部根,若-1/(a_1),-1/(a_2),…,-1/(a_n)也是f(x)=0的全部-1/a_1,-1/a_2,…,-1/a_n也是f(x)=0的全部根,則称f(x)=0为第二种倒數方程。定理1 n次方程f(x)=0为第二种倒數方程的充分必要条件是:f(x)=εx~nf(-1/x),其中当n为偶數時ε=1或-1;当n为奇數     

数学变式教学中的闪光点

变式教学在课堂上展示知识发生、发展、形成的完整认知过程,有利于培养学生研究、探索问题的能力,体现着现代教育理念的气息,成为“问题、变式、反思、体验”教学模式的精彩片断.1.由特殊到一般的变式,理解与掌握问题的数学本质案例1在某次数学考试中,学号为i(i=1,2,3,4)的同学的考试成绩f(i)∈{85,87,88,90,93},且满足f(1)≤f(2)相似文献   

非光滑多目标规划非控解和真有效解

考虑问题(P) (?)其中 f(x)=(f_1(x),…,f_m(x))~T,g(x)=(g_1(x),…,g_l(x))~T,C 是 n 维欧氏空间 E_n中的闭集,f_i(x)(i=1,…,m)和 g_j(x)(j=1,…,l)为在 C 的某个邻域中的 Lipschitz函数,D 为 E_l 中的闭凸锥。记R={x|g(x)∈D,x∈C}。设 A 为 E_m 中的非零凸锥。(?)∈R 称为 f(x)(对 A)的非控解,若不存在 x∈R 使     

关于M序列反馈函数的构造方法

n级非奇异移位寄存器的反馈函数f(x_1,x_2,…,x_n), f(x_1,x_2,…,x_n)=x_1( )f_0(x_2,…,x_n)的重量ω(f),是指n-1个变元的布尔函数f_0(x_2,…,x_n)的重量ω(f_0),即f_0(x_2,…,x_n)取值为1的点的个数。设f(x_1,x_2,…,x_n)是n级M序列的反馈函数,我们知道,当n>2时,有     

sin nx+cos mx周期的求法

1956年第12期《数学通报》上曾发表过阿意今斯他和別罗郭夫斯卡娅写的“求三角函数的周期”一文(由张鉴卿譯自苏联“中学数学”),該文提出了求f_1(x)=cos(3/2)x-sin(x/3),f_2(x)=cos 2x-tgx的周期的問題。本文打算就这些問題加以推广,进而求sin nx+cos mx的周期(其中m,n为实数)。分析:若該函数存在周期b(b>0),則根据周期函数的周期的定义,f(x+b)=sin n(x+b)+cos m(x+b) =sin(nx+nb)+cos(mx+mb) =sin nx+cos mx=f(x). 現在的任务是判断b是否存在;如果存在,如何把它求出来。根据三角函数的性貭知道,对sin nx来說,要使sin(nx+nb)=sin nx对一切x的值都成立,則     

2002年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及解答

一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1.函数 y =13- 2 x - x2 的定义域为 .2 .若椭圆的两个焦点坐标为 F1(- 1,0 ) ,F2 (5 ,0 ) ,长轴的长为 10 .则椭圆的方程为 .3.若全集 I=R,f (x)、g(x)均为 x的二次函数 ,P ={ x| f (x) <0 } ,Q ={ x| g(x)≥ 0 } ,则不等式组f (x) <0g(x) <0 的解集可用 P、Q表示为 .4 .设 f (x)是定义在 R上的奇函数 .若当 x≥ 0时 ,f (x) =log3 (1 x) ,则 f (- 2 ) =.5 .若在 (5x - 1x) n 的展开式中 .第 4项是常数项 ,则 n =.6 .已知 f (x) =1- x1 x.若α∈ (π2 ,π) ,则f (cosα) f (- cosα)可化简为 .7.六位…     

n次迭代还原函数的一个构造定理

定义1记函数f(x)=f[1](x),f(f(x))=f[2](x),…,f(f(…f(x)…))=f[n](x),f[n](x)为f(x)的n次迭代.定义2记f(x),f[2](x),f[3](x),…,f[n](x)的定义域的交集为A,若对于任意的x∈A,存在最小的正整数n,使得f[n](x)=x,则称f(x)为n次迭代还原函数.不难证明,若f(x)为n次迭代还原函数,则     

一类非自治非线性系统的渐近稳定性

考虑方程组(E) (dx)/(dt)=f(t,x),其中 x=(x_1,x_2,…,x_n)~T,f(t,x)=(f_1(t,x),f_2(t,x),…,f_n(t,x))~T 在区域 D:t≥t_0≥0,‖x‖≤H,H>0;上连续可微,且 f(t,0)≡0.用 x=x(t;t_0,x_0)表示(E)的具有初值 x(t_0;t_0,x_0)=x_0的解.对于方程组(E),我们有下面的引理:引理 对于方程组(E),如果存在一个正定的函数 V(t,x)满足微分不等式(dV)/(dt)≤ω(t,V) (1)且比较方程     

不等式求极限原理在初等几何学上的应用

在极限論中,有一条众所周知的重要原理,人們称它为“不等式求极限原理”。即設有三个函数f(x),g(x)与h(x),它們之間保持关系 g(x)≤f(x)≤h(x),如果已知当x→ξ(或x→∞)时,函数g(x)与h(x)有同一极限A,則函数f(x)也有极限A。这条原理应用很广,甚至一些重要的极限(例如的确定,也有以它为依据的。現在我們来討論它在初等几何学上的一些应用。数学通报1963年第9期上,曾轉載了苏联数学教学上登載的И.А.馬尔尼揚斯基所写的“导数的一些应用”一文,該文即以不等式求极限原理为依据,成功地为导数在初等几何学上找到了有趣的应用,即为下列各对公式: K=πr~2,C=2πr;(*) V_(圆柱体)=πr~2h,S_侧=2πrh; V_(球体)=4/3πr~3,S_(球面)=4πr~2建立了关系。这三对公式中,每对的右面一个,都是它