从求1984~(1984)的个位数谈起

1984年已经来临,你知道1984~(1984)的个位数是几吗?我们虽然不可能将1984个1984逐次相乘,但是却可以探亲解决这个问题的规律。考察1984~n。其底数的个位数是4,显然1984~n的个位数即4~n的个位数,是n的函数。即n确定后1984~n的个位数也随之确定了。我们将1984~n的个位数记为f_4(n),则f_4(1)=4,f_4 (2)=6;当n继续增加时,1984~n的个位数周期性地重复出现,即f_4(n)为一周期函数,若将其周期记为T_4,则T_4=2。所以f_4(1984)=f_4(2×1991+2)=f_4(2)=6,即1984~(1984)的个位数是6。一般地,若a、b∈N,a~b的个位数也可以求     

《“1984”趣题》的习题解答

1 证明∵(1·2·3…1984)~(1/1984)<1/1984 sum from k=1 to 1984 k=1/1984·(1984(1+1984))/2=1985/2, 上式两边1984次方,得 1984!<1985~(1984)·2~(-1984) 2 解∵ 1985能被5整除。又 1984~(1984)=(1985-1)~(1984)=1985~(1984)-C_(1984)~1·1985~(1983)+C_(1984)~2·1985~(198)~2+…-C_(1984)~(1983)·1985+1 ∴ 1984~(1984)除以5所得的余数是1。 3 证明由题设,得 l~2=a~2+b~2+c~2 且l>a l>b,l>c。∴l~(1984)=l~2、l~(1982)=(a~2+b~2+c~2)l~(1982)=a~2l~(1982)+b~2·l~(1982)+c~(2·1982)≥a~2·a~(1982)+b~2b~(1982)+c~2·c~(1982)=a~(1984)+b~(1984)+c~(1984) 4.证(k≥1)     

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

《数学通报》1985年第3期的《正实阵n个不等式》一文中用数学归纳法证明: A、B为n阶正定阵,λ,μ>0,则λ|A|~(1/n) u|B|~(1/n)≤|λA μ|~(1/n)等号当且仅当A=kB(k>0)时成立。 本文给出一个用数学分析,高等代数知识     

大有可为的“1984”

彝程烈 1984年迈着骄健的步伐走来了,她满身载着有趣的问题走来了。你着她那美丽的外表—1984就足以令人高兴. 1。求证N=11…199…988…844…4、气尸子、,.砂、一,J 厅7之儿、一沪J 儿是1987的倍数(:=工仑84X花985 x 1986).证明:.:N二11.二1的一988…8妞…丝10。一1 9 、一尸“一J一J、~尸J 理n九(1。二+。x 102·+sx、,“九10”,.’ 1987是素数,1987,10)二1十4). 由 8.求证2983几“.备+2993‘。“4不是一个自然数的平方数.证明:设1983几.6‘+1993‘。“‘二。么(m〔N) 则2993‘“.‘=(m+1953。““)(功一1983。。“)。 ,.’ 1993是质数…     

方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a±x)~(1/2)=x等价吗?

《中学数学》1984年第三期刊登了题为“解方程、(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2所想到的”*一文,介绍了方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与方程x=(x±a)~(1/2)等价性的证明及其应用。读完此文后,颇受启发,但笔者总认为有点不同的看法,下面提出与同志们讨论,并兼与该文作者商榷。作者在“探求方程(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2的特殊解法时,联想到方程     

方程2(x+(x~2-1)~(1/2))=(x-1+(x+1)~(1/2))~2的另一解法

贵刊83年6期《问题征解》一栏中,刊登了上面这个方程的解法,本人觉得比较繁,既设辅助未知数,又出现了高次方程。这里提出一个解法,迴避了上述两个问题,使解法过程简化。只要看出有 2x+2(x~2-1)~1/2=((x+1)~1/2+((x-1)~2)~1/2即可简化过程,从而原方程变形成 (x+1)~1/2+(x-1)~1/2=(x+1)~1/2+x-1。整理得     

由k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的证明所想到的

本刊1984年第8期《不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法》一文(以下简称文〔1〕中,对不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)作出了六种证法。其实,这个不等式还有一种更简单的证法,现补充如下,我们姑且叫它为〔1〕的第七个证法吧: g) 间接证法:     

用((a b)/2)~2≤(a~2 b~2)/2解题两例

对于a、b∈R,易知(a b/2)2≤a2 b2/2恒成立,此不等式反映了任意两个实数的和与这两个数的平方和的大小关系,巧用这一不等式可以妙解一些数学不等关系的问题．请看以下两例: 1．比较大小例1试比较2~(1/2) 3~(1/2) 4~(1/2)与30~(1/2)的大小．解∵(a b/2)2≤a2 b2/2,     

(2x)~(1/2)与x~(1/2)是同类二次根式吗

数学是一门有趣的科目,它启示人们不断探索.正因此,历史上出现了诸多数学难题.今天我们来一起讨论一个小问题,即:"(2x)~(1/2)与x~(1/2)是否是同类二次根式",这个问题是初二学生几乎都见过的一道普通的关于同类二次根式的判断题,也许很多人会根据课本上给出的定义不假思索地回答"不是",有可能一些人会觉得这是一个很幼稚的问题,但我却不这样认为. 是的,当我们看到这道题时,就会联想到     

“1984”趣题

在1984年新年之际,我们列举几道和1984这个数值有关的趣味数学题为中学师生和数学爱好者春节期间助兴。 1.某四位数m,它一共有14个正约数,其中质数约数的总和等于33,求m。解:设m=P_1~(a1)、P_2~(a2)…P_k~(ak),其中p_1,P_2,…,P_k是m的质数约数,a1、a2、…、a_k是自然数。由于m的正约数的个数是14,即 (a_1+1)(a_2+1)…(a_k+1)=14=2×7。∴k=1或2。又因P_1+P_2+…+P_k=33=2+31=2+3+5+23=…,故k≥2。∴k=2。从而p_1=2,P_2=31。a_1=1或6;a_2=6或1。但由于m是一个四位数,∴m=26·31=1984。 2.在自然数集合上定义函数f(n),设f(1)=     

公式C_n~kC_k~m=C_n~mC_(n-m)~(k-m)的意义及其应用

有些数学关系既不易理解也不易记忆,但如果把它们与准确、形象、生动的实例联系在一起,就不困难了。 组合数的性质C_n~k·C_k~m=C_n~m·C_(n-m)~(k-m)就是这样。如果说C_n~m=C_(n-1)~m C_(n-1)~(m-1)和C_n~m=C_n~(n-m)分别表达了组合数的“加法”和“减法”运算的话,那     

由2~(1/2)引起的数学风波

勾股定理在西方又称为“毕达哥拉斯定理”,是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的．毕达哥拉斯(约公元前580年～约公元前500年),幼年好学,青年时期离家到文明古国巴比仑、印度、埃及求学．他创建了“毕达哥拉斯学派”,这一学派是当时古希腊一个显赫的政治和数学学派．毕达哥拉斯学派有一句名     

函数y=((x±d)~2+a)~(1/2)+((c-x)~2+b)~(1/2)的极小值

本刊1983年增刊中曾发表过关于求函数y=(x~2+a)~(1/2)+((c-x)~2+b)~(1/2))的极小值的一篇文章,该文介绍了一种几何方法,的确比判别式法和导数法简捷。但该文的形式较特殊,在应用中受到一定的限制。为了得到一般的形式,本文在其基础上作些改进,使它的应用范围更加广泛。     

数学聊斋(续一)

之一坐飞机看佛光我曾经写过一篇文章《数学聊斋二则》发表在中国科大校园网站的“校友文稿”上,后来又于2003年8月发表在《大学数学》(参见19卷第2期).其中第一则“峨嵋山的佛光—连续函数介值定理”叙述的是1984年8月我在峨嵋山舍身崖看佛光的真实经历.如果天气晴好,阳光以适     

直线·斜率·相切·最值

第35届美国中学数学竞赛试题第29题为:对满足(x-3)~2+(y-3)~2=6的所有实数对(x、y),求y/x的最大值。该题解法很多,本文给出一种简捷而又直观的方法,即用斜率来解。条件(x-3)~2+(y-3)~2=6表示圆心在(3,3),半径为6~(1/2)的圆(如右图),y/x是过原点与动点(x,y)的直线斜率,显然当直线与圆相切     

(2χ~2)~(1/2)-(2n-1)~(1/2)的近似正态性及多总体标准差的齐性检验

计算了随机变量(2χ~2)~(1/2)的数学期望和方差,比较分析了随机变量(2χ~2)~(1/2)-2n~(1/2)与(2χ~2)~(1/2)-(2n-1)~(1/2)的近似分布的相同和不同之处,并且利用2χ2的近似分布的正态性,建立了多总体标准差的检验法.     

答孙叔豪同志

《数学研究与评论》1984年第四期上刊登了孙叔豪同志的《对周友成同志的“关于θ-加细性”一文的一些意见》,文中就我的文章的“逆象问题”部分提出了质疑。现就孙文中提出的几个问题答复如下: 一、我的文章是本刊编辑部于1982年7月26日收到,1983年第四期刊出的。孙文中引了两段话的《Handbook of Set-Theoretic Topology》一书,按孙文所指是1983年出版的,我在文章发表之前没有看到此书,也没有得到任何与之相当的材料。     

方程(A-(A-)~(1/2)…-(A-X)~(1/2))~(1/2)=X与(A-X)~(1/2)=X同解的条件

关于方程(a+(a+…+(a+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a+x)~(1/2)=x的同解问题,[1]文已圆满地解决了。关于方程(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a-x)~(1/2)=x的同解问题,[1]文只是指出它们一般不同解,至于它们在什么条件下同解,[1]文未讲。如果弄清了在某种条件下(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a-x)~(1/2)=x同解,那么在这种条件下解前面这个方程就是非常方便的事情了。这就促使我们去探讨(a-(a-…-(a-x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=与(a-x)~(1/2)=x同解的条     

不等式F(x)·(Φ(x))~(1/2)≥0的解法探讨

例　解不等式(ｘ - 4)ｘ2 - 3ｘ - 4≥ 0 .错解 :原不等式等价于不等式组 :ｘ - 4≥ 0 ,ｘ2 - 3ｘ - 4≥ 0 ,即 ｘ≥ 4,ｘ≥ 4或ｘ≤ - 1,解得ｘ≥ 4,∴原不等式的解集为 {ｘ|ｘ≥ 4} .剖析　显然当ｘ =- 1时 ,原不等式也成立 .为什么漏掉ｘ =- 1这个解呢 ?究其原因是忽略了原不等式中的“≥”号具有不等和相等的双重性 .要注意 :同解定理“不等式Ｆ(ｘ)·Φ(ｘ) >0与不等式组Ｆ(ｘ) >0Φ(ｘ) >0 同解”中的不等号是“ >” ,而不是“≥” .下面介绍三种可以防止错解的简便方法 ,供读者参考 .1　符号分解　符号“≥”是由“ >”与“ =”复合…     

山西大学1984年数学通报总目录

一般教学教学教学应重视学生能力的培养··“·“一谢力之1(1).浅谈数学解题策略“。”·“·”。“。”。”。..。“.…吴江1(2).谈数学学习的负迁移及其防止方法·..·一贺鹏远1(6).关于195519.‘与108礴‘,.3大小的比较—培养学 生“实验·猜想‘沦证”能力一例”一明知白1(18)裸堂提问方法初探“·“·······”·”·”··一贺信淳2(1)从函数教学谈发展学生的直觉思维能力 .……,.……。·..·..……”二“·”....”二。”。王子玉2(5) 课堂教学要领八则‘一三年教学实验工作的体会“·····..一周中棠2(8) 高中数学总复习(…