海伦三角形的若干性质

海仑三角形是边长和面积均为整数的三角形,如三边长互素,则称为基本海仑三角形。本文给出基本海仑三角形的若干性质。在     

三边均不是3的倍数的本原海伦三角形

三边均不是３的倍数的本原海伦三角形黄拔萃（福建三明钢铁厂一中）文［１］问：是否存在三边均不是３的倍数的本原海伦三角形？笔者利用海伦数组公式其中［２］，即可找到解，如ｎ＝３，ｔ＝２，得ａ＝２５，ｂ＝７４，ｃ＝７７；ｎ＝３，ｔ＝９，得ａ＝２５，ｂ＝２５，...     

海仑数组的探求

如果三角形的三边长为整数且面积亦为整数，则称之为海仑三角形．海仑三角形的三边长所构成的数组（a，b，c）称之为海会数组．本文对海会数组进行新的探索．假定D＞0，D不是平方数，c是非0整数．设x=u，y=V是不定方程x~2-Dy~2=c的一个解，那么就称u＋v是它的一个解．其中当u≥0，v≥0时，最小的一个叫做基本解．再设x＋y是Pell方程X~2-Dy~2=1的任意一个解，则容易验证（u十v）（X十y）（=ux＋uyD＋（ux＋ut）也是x~2-Dy~2=c的解．设三角形三边长分别为a，从一a十…，C，其中p为奇数（可正可负）．则其面积为由于这个关于C’的M次方程…     

关于海伦三角形的边和面积的性质

关于海伦三角形的边和面积的性质山东济宁教育学院朱道勋海伦三角形是边长与面积均为整数的三角形．若海伦三角形的三边长互素，则称之为本原海伦三角形（也称素海伦三角形）．关于海伦三角形以及特殊的海伦三角形（如方海伦三角形）的存在性问题和表示海伦三角形三边的一...     

第二周几何能力训练一

说明　此组题主要训练对三角形一章的知识、方法的灵活应用能力．　　一、选择题（每小题３分，共２４分）１．定理：三角形的两边之和大于第三边的知识依据是（　）．（Ａ）两边差小于第三边（Ｂ）两点之间，线段最短（Ｃ）两点间的距离的定义（Ｄ）两点确定一条直线２．证明等腰三角形的性质定理的辅助线不能是（　）．（Ａ）顶角的平分线　（Ｂ）底边上的中线（Ｃ）腰上的中线　　（Ｄ）底边上的高３．到三角形的三边距离相等的点是三角形的（　）．（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三条中线的交点（Ｃ）三条角平分线的交点（Ｄ）三边的中垂线的…     

有趣的海仑三角形

所谓海仑三角形就是边长与面积均为整数的三角形,显然由于相似放大的原因,我们关心的是三个边长互素,即(a,b,c)=1的海仑三角形,姑且称之为素海仑三角形,假若海仑三角形的面积又是一个平方数,此时     

点对称三角形的性质及其应用

点对称三角形的性质及其应用４４５０００湖北恩施市教研室熊光汉Ｐ为三角形ＡＢＣ内一点，点Ｐ关于△ＡＤＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的对称点分别为Ｐ１、Ｐ２，Ｐ３我们称△Ｐ１Ｐ２Ｐ３为点对称三角形（如图１）．将点对称三角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３与原△ＡＢＣ结合起来研究，可...     

三角形的内接三角形面积的不等式链

三角形的内接三角形面积的不等式链赵心敬，焦和平（西安市一中７１００８２）定义１以三角形三边上的高线的垂足为顶点的三角形叫做原三角形的垂足三角形．定义２以三角形的内切圆与三边的三个切点为顶点的三角形叫做原三角形的切点三角形．定义３以三角形三边上的界点为...     

有关本原海伦三角形的几个新的结论

有关本原海伦三角形的几个新的结论边欣，李忠民（天津教育学院数学系３０００２０）海伦三角形是边长与面积均为整数的三角形．若海伦三角形的三边长互素，则称之为本原海伦三角形。文［１］对本原海伦三角形证明了下面三个定理和一个推论：定理１本原海伦三角形的三边长...     

数学奥林匹克讲与练(Ⅶ)

例题讲解49．来证：在以正n边形的顶点为顶点的三角形中，互不全等的三角形的数目等于与最接近的整数．证明在以正n边形的顶点为顶点的三角形中，设有N1种不同的正三角形，N2种不同的非正等腰三角形，N3种不等边三角形，则N1=1或0（视n是否3的倍数而定）（1）（视n的奇偶性而定）（2）易知每个正三角形与1个含固定顶点A的正三角形全等；每个非正等腰三角形与3个含固定顶点A的这种三角形全等；每个不等边三角形与6个含顶点A的不等边三角形全等．但含顶点A的三角形的数目为50．20队参加比赛，问最少要安排多少场比赛，才能使每3队中至少有…     

全等三角形与相似三角形

全等三角形与相似三角形四川师范大学邓安邦一、基础知识１、全等三角形：是指能够完全重合的三角形。（１）性质：对应角相等，对应边相等。（２）判定：①边角边公理（ＳＡＳ）；②角边角公理（ＡＳＡ）；③边边边公理（ＳＳＳ）；④角角边定理（ＡＡＳ）。２、相似三角...     

圆与三角形结合的又一结果

圆、三角形是几何的基本图形,也是我们认识许多其他图形的基础．三角形与圆的关系一般研究、讨论较多的是三角形与它的内切圆的关系与性质,三角形与它的外接圆的关系与性质,或三角形一条边与一个圆外切的关系与性质,而同时讨论三角形的三条边与三个外切圆的关系则较少涉及到,经过探讨,笔者推导一个三角形三边与它们的外切圆关系的结果并证明之．     

二倍角三角形的一个性质及其应用

二倍角三角形的一个性质及其应用喻俊鹏（湖北应城市实验中学４３２４００）定理三角形中，如果有一个角是另一个角的二倍，那么这个角所对边的平方等于另一个角所对边的平方加上另一个角的对边与第三边的积．如图，△ＡＢＣ中ａ，ｂ，ｃ为角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边．设Ａ＝２Ｂ...     

关于Rt△整距点的几个结论

直角三角形的整距点,是指到边长为整数的直角三角形各边的距离均为整数的点．在三角形内部的,称为内整距点;在外部的称为外整距点．文［１］［２］［３］相继给出了几个有趣的结论,但仍有许多引人入胜的问题值得讨论． 定理 若基本勾股形的三边长为ａ、ｂ、ｃ（ｃ斜边）,则内整距点的个数不超过．（注：基本勾股形是指三边互素的Ｒｔ△;［ｘ］是取整函数） 该定理给出了内整点个数的一种估计,有一定的应用价值．其证明要用到的工具较多,篇幅较长,故以引理的形式渐次展开． 引理１ 直角三角形三边长互素的充要条件是两直角边互素． …     

用垂足三角形的性质解竞赛题

是锐角ABC的三条高线，我们称DEF为ABC的垂足三角形．用SABC、R分别表示ABC的面积和外接园半径，SDEF、LDEF分别表示DEF的面积和周长，则垂足三角形有如下有趣的性质．性质1性质n证明同理故R（sin2A＋sin2B＋sin2C）4RsinAsinBslnC．下面以一些国内外竞赛题为例，说明会足三角形两个性质的应用．例1凸DEF是锐角上ABC的垂足三角形，凸ABC和bDEF的外接团半径分别是R、r．求证：R—Zr．（1981年太原市竞赛题）证明如④2，例2锐角凸＊＊C三边上的高分别是AD、＊E、CF，凸ABC外接国半径为R．求证：凸ABC的面积等于西D…     

一道夏令营选拔赛试题推广的加强与再推广

１９９２年江苏省数学夏令营选拔赛试题第二题：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ．求证：２ａ２＋ｂ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｃ２＋ａ２ａ＋ｂ＋ｃ＜３（１）文［１］将其推广为：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ，λ∈［－２，２］，则２＋λ１ａ＋ｂ＋ｃ（ａ２＋λａｂ＋ｂ...     

三角形教与学

第１课　关于三角形的一些概念（一）　　一、学习准备１．线段有个端点．２．如图３－１中有条线段,有个角．用字母表示图中的线段是,表示图中的角是．图３－１图３－２３．如图３－２中,∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ,ＯＣ叫做∠ＡＯＢ的．二、读书自学（Ｐ２～Ｐ３）重点领会三角形、三角形的角平分线、中线的意义,理解这些概念的几何语言．三、效果反馈（做完后同桌互相批改）１．如图３－３中,是三角形的是．图３－３２．如图３－３的图（２）中,△ＡＢＣ的∠Ｂ的对边是,边ＡＢ的对角是．３．如图３－４中有个三角形,分别记为．图３－４…     

一道IMO题的对偶式与面积解释

第２４届ＩＭＯ第６题是：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：ａ２ｂ（ａ－ｂ）＋ｂ２ｃ（ｂ－ｃ）＋ｃ２ａ（ｃ－ａ）≥０．（１）文［１］指出了它的下述对偶形式：ａｂ２（ａ－ｂ）＋ｂｃ２（ｂ－ｃ）＋ｃａ２（ｃ－ａ）≤０，（２）并给出了统一的距离解释．即不等式（１）、（２）的几何解释为：三角形内Ｂｒｏｃａｒｄ点到内心的距离非负．受此启发，笔者研究了第６届ＩＭＯ第２题：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：　ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ２（ａ＋ｃ－ｂ）＋ｃ２（ａ＋ｂ－ｃ）≤３ａｂｃ，（３）发现它也有如下的…     

关于三角形五心的类正弦定理

关于三角形五心的类正弦定理周才凯（湖南省炎陵县五中４１２５００）众所周知，正弦定理是揭示三角形边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理，求解三角形中的许多问题无不与之结缘．最近笔者在研究三角形五心（内心、外心、重心、垂心和傍心）的性质时发现了与五...     

用共边定理探讨三角形五心的一个相似性质

平面几何问题是高中联赛的一个重难点，而三角形又在平面几何中占据着最重要的作用，因此解决三角形的问题是解决平面几何问题的基础．三角形的五心（垂心、重心、内心、外心、旁心）是三角形问题的核心，三角形的很多性质都是在五心的基础上推导出来的．三角形的五心有很多很好的性质，本文运用共边定理探讨了三角形五心中的一个较为相似的性质，这对于理解和掌握三角形及一些平面问题的证明能够起到很好的帮助作用．