圆台侧面两点间的最短距离

现行的中学数学教材《立体几何》复习参考题二第20题是: (1)有一个圆锥如图1,它的底面半径为r,母线长为l,在母线SA上有一点B,AB=a,求由A绕圆锥一周到B的最短距离是多少?     

圆锥的轴截面是过顶点的最大截面吗?

去年某出版社出版的一本谈数学选择题的解法与训练的书中,在立体几何部份选入了两道有关过圆锥顶点最大截面的选择训练题: 一、圆锥的高为1,底面半径为3~(1/2),过圆锥顶点的截面面积的最大值是: (A)3~(1/2);(B)2;(C)2(3~(1/2));(D)3, 二、己知圆锥的母线长为l,底面半径为R,如果过圆锥顶点的截面面积最大值为l~2/2,那么有: (A)R/l=(2~(1/2))/2; (B)R/l≥(2~(1/2))/2; (C)R/l>(2~(1/2))/2; (D)R/l<(2~(1/2))/2。书中对这两题给出的答案都是(A)。在这里,可能是编者认定“在过圆锥顶点的所有截面中、圆锥的轴截面的面积最大”。并以这一命题为根据作出这样答案的。那么编者们认定的这个命题正确吗?下面我们将对此作一些分析,从而得出相应的结论。     

不可忽视的两个直觉错误

“直觉”就是领悟 ,就是洞察 .有学者认为 :直觉思维是一种直接反映对象、结构以及关系的心智活动 ,是以想象和判断迅速交替进行的一种思维 .在数学学习活动中 ,直觉思维对数学解题的作用是不言而喻的 ,尤其在客观题 (选择题、填空题 )的解题中 ,教师常常将它作为一种解题策略教给学生 .但由于其思维的不成熟、不全面性 ,加之缺少严密的逻辑推理而往往造成解题错误 .例 1　已知圆锥的母线长为l,底面圆的半径为R ,若通过圆锥顶点的截面积的最大值为 l22 ,则 Rl 应满足的关系是 (　　 )(A) Rl =22 .　　 (B) Rl ≤ 22 .(C) Rl >22 .　　 (…     

过圆锥顶点的最大截面选择题

圆锥的母线长为5,按以下条件求过顶点的截面的最大面积. 1.底半径为3时 (A)12;B)10;(C)8;(D)6. 2.底半径为4时'A)25亿丁,'B,誓;(C)25,(D,6.".底半径为号"忿时(A)12多(B)4。底半径为2时丝.4了(C)附:本期"一望而解"揭底:     

浅谈旋转体中一类截面面积最值的统一性

经过两条母线的截面是圆柱、圆锥、圆台中的一类重要截面 ,其面积的最值问题是这类截面的一个研究重点 .从目前的一些资料和刊物发表的文章来看 ,仅有圆柱、圆锥方面的结论 (见下文中的结论 1、结论 2 ) ,而缺少最重要的圆台方面的结论 .作为补充和完善 ,本文将给出圆台中过两条母线的截面面积最值的一般性结论 ,并进一步阐释圆柱、圆锥、圆台三者之间的和谐统一关系 ,供读者教学或研究时参与 .结论 1　设圆柱的底面半径为ｒ,母线长为ｌ,则过两条母线的截面面积的最大值为 2ｒｌ.证明略 .结论 2　设圆锥的母线长为ｌ,轴截面顶角为 ,则过两…     

解答圆锥问题的三个“相当于”

将圆锥沿一条母线剪开、铺平,圆锥的侧面展开图是一个扇形.其中,处理好体(圆锥体)和面(扇形)二者间元素的对应关系,准确理解、把握好三个相当于,是解决圆锥问题的关键所在.     

由一个高考题联想到的生活应用

<正>数学试题的训练与研究不仅是为了应试能力的提高,更重要的是从中学会一类问题的解决方法,并最终能解决实际问题．学会用数学的眼光观察世界、用数学的语言表达问题、用数学的方法解决问题才会使数学的学习更加有意义．1考题再现(2020年全国新课程3卷15题)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为＿．     

由课本一道例题引起的思考

人民教育出版社《立体几何》课本第８２页有这样一道例题; 例 已知：圆锥的底面半径为ｒ,母线长为ｌ,侧面展开图扇形的圆心角为θ°． 求证：θ＝ｒ／ｌ·３６０． 本题的证明是利用侧面展开图扇形的圆心角、半径（圆锥母线长ｌ）、弧长（圆锥底面圆周长２πｌ）三者之间的关系来完成的,同学们很容易理解和掌握．但如果同学们仔细反思和联想（如图１）,不难发现ｒ／ｌ即为ｃｏｓ ａ（其中ａ为圆锥母线与底面所成的角）, 所以由此题结论还可得到 ｃｏｓ ａ＝ｒ／ｌ＝θ／３６０,而 、ｒ 二冗厂”厂 匕刀厂“ｏｔＸｃｏｓｏ二 口了一 …     

2006年浙江省台州市中考数学试卷

一、选择题(有12小题,每小题4分,共48分)第2题图1.下列各数中是正整数的是()A.-2B.1C.0.3D.22.如图,长方体的面有()A.4个B.5个C.6个D.7个3.下列计算正确的是()A.3x-2x=1B.3x 2x=5x2C.3x·2x=6xD.3x-2x=x4.直径所对的圆周角是()A.锐角B.直角C.钝角D.无法确定第5题图5.如图,圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,则此圆锥的高线长为()A.4cm B.5cmC.3cm D.8cm6.方程x2-4x 3=0的两根之积为()A.4B.-4C.3D.-37.要使根式x-3有意义,则字母x的取值范围是()A.x≥3B.x>3C.x≤3D.x≠38.若反比例函数y=xk的图象经过(-2,1),则k的值为()A.-2B.2C.-…     

圆锥曲面截线类型的判别与简单论证

关于圆锥曲面的平面截线是二次曲线(包括退化的二次曲线)的命题,常常仅以几何教具加以演示说明,本文试图用简要方法研究这一问题。为简便计,我们只取半个圆锥曲面,作图如左。先假定截面不过顶点,再考察过点的。已知圆锥曲面(半个)的轴 SH 与母线夹角为 a,平面 POP′截圆锥     

利用圆锥解决一类直线条数问题

我们知道圆锥的所有母线与圆锥底面所成的角相等，所有母线与圆锥的轴的夹角相等，且圆锥的母线与底面所成的角与母线与圆锥的轴的夹角互余．运用圆锥的以上性质很容易解决以下问题．     

一个偶然的发现

一、提出问题在学习圆锥的侧面展开图时,老师出了这样一道题目:如图1,圆锥底面半径为9cm,母线长36cm,则圆锥侧面展开图的圆心角为     

对一道2020年高考立体几何题的变式探究

2020年高考全国Ⅰ卷理科第18题是:如图1,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO±一点,PO=√6/6DO.(Ⅰ)证明:PA⊥平面PBC;(Ⅱ)求二面角BrPC-E的余弦值.     

过圆锥、圆台的母线的截面

在复习立体几何有关旋转体的截面问题时,我向学生提出这样一个问题:“过圆柱、圆锥、圆台的母线的所有截面中轴截面面积是否一定最大?”很多学生认为“轴截面面积一定最大。”有的学生甚至觉得这样一个问题不值得一提。其实不然,圆柱的轴截面面积最大是无可非议的,但圆锥、圆台就不一定如此。例如,高为1而底面半径为3~(1/2)的圆锥的轴截面面积是     

关于棱（圆）锥的一个公式

问题　圆锥高为 h,锥内水面高为 13h,若将其倒置 ,使底面在上 ,水面仍平行于底面 ,此时容器内水面高为 (　　 ) .(A) 23h　 (B) 92 7h　 (C)3 193h　 (D)3 63h解此题虽然不难 ,但作为一道选择题 ,计算量还是够大的 .如果把“圆锥”改为“棱锥”,虽然只有一个字之差 ,但计算难度     

图形与问题脱节的一个错误案例

笔者在一本中学数学课外读物上见到这样一道题:如图1,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好形成如图2所示的一个圆锥模型,设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆的半径与扇形的半径之间的关系式是()图1图2(A)R=2r(B)R=94r.(C)R=3r.(D)R=4r.该书提供的正确答案是(D):R=4r,并给     

一个用料最省问题的讨论

要在矩形的纸上画一个底半径为ｒ,高为ｈ的圆锥的侧面展开图,这个矩形的两边长最少是多长?这个问题的实质是用一个矩形的纸,做一个圆锥,这个矩形的长、宽各为多少时用料最省(即矩形的面积最小).为便于研究,假设圆锥的母线长为ｌ,底面半径为ｒ,矩形的边长最小分别为ａ,ｂ,矩形的面积为Ｓ.根据圆锥的侧面展开图,扇形的圆心角α的大图1　扇形画法1小分以下几种情况:1　若0<α<π2,此时应有两类画法:1)圆锥的顶点在矩形的一边上,扇形的圆弧两端点分别在矩形的两边上,如图1.2)圆锥的顶点在矩形的一边上,扇形的圆弧与矩形的一边相切,两端点分别在…     

最大截面的简便求法

本刊去年第四期“疑难解析”一栏中,曾刊载《圆锥的轴截面是最大截面吗?》一文。文中就过圆锥顶点的截面的最大值的求法作了研究。但笔者认为文中介绍的最大值,求法过于复杂,在此想介绍一种较为简便的求法。如右图:设圆锥为VO,其底面半径为R,母线长为l,则分两种情况加以讨论。 (i)圆锥的轴截面的顶角不大于90°的情况。即k/l≤(2)~(1/2)/2 这时由于过顶点的截面中,顶角最大的是轴截面,所以S_(max)=1/2l~2sinθ(其中θ为轴截面的顶角),特别地方当θ=0°时,S_(max)=1/2l~2。     

多面体与旋转体(选择题五道)

1.四个命题:长方体是①直棱柱,②正棱柱,③四棱柱,④平行六面体.其中真命题的个数是 (A)1(B)2(C)3(D)4 2.正方体月C,的全面积为S,又L,M,N分别是它的三条棱AB、AD、AA,的三个内点,过这三点的平面截去正方体的一角之后的多面体的全面积设作S。,则 (A)S>S。(B)S相似文献   

走展开路线就一定“最短”吗?——对一道中考题的再思考

笔者最近对2008年中考青岛卷中的关于圆锥上两点之间“最短距离”的问题进行探究,并得到一些心得,与广大同仁们进行交流.1题目图1(2008青岛)如图1是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且AF=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到点A,则此蚂蚁爬行的最短距离为cm.解析把图1中侧面展开后如图2,可知A′E为蚂蚁爬行的最短距离.∵l=n1π80R(R为扇形半径),∴n=18010×π10π=180,∴∠A′OE=90°,∴A′E=OA′2+OE2=82+102=241.评析此题是无盖问题,把圆锥展开成平面图形,再由平面上“两点之间,线段最短”的原理,达到求解目的.图22提出问题假如本题中此圆锥是一个有盖的圆锥形的纸杯,那么蚂蚁爬行的最短距离是否仍为图2中A′E的长呢?我们从以下两条路线来考虑:走路线1:底面圆的直径EF+AF,(如图1).设这条路线的长为l1,则l1=10+2=12,路线2:侧面展开图的线段A′E,(如图2).设此路线的长度为l2,则l2=OA′2+OE2=241,∵l12-l22=122...