应用均值不等式证题的两条思考途径

应用均值不等式证明不等式是不等式证明的重要方法之一．然而如何灵活地应用均值不等式却又奥妙无穷,特别是如何拆项、配凑等一些技巧性变形是应用均值不等式的关键．本文主要介绍获取这些变形的两条思考途径,供大家参考．     

应用均值不等式时如何构造定值

应用均值不等式求最值时，应使和或积为定值．这时往往需要采用“拆项、添项、变系数”等变形技巧构造定值．本文例析若干变形技巧．     

试谈运用均值不等式的待定系数法“套路”

不等式是高中数学的重要内容,均值不等式是不等式进行变形的一个重要依据,在应用时不仅要牢记三个条件“正、定、等”,而且要善于根据均值不等式的结构特征,创设应用均值不等式的条件,利用待定系数法凑定值是常用的解题技巧,本文举例说明.例1已知常数a,b都是正数,变量x满足0相似文献   

聚焦基本不等式问题的解题策略

基本不等式又称均值不等式,是高中数学的重要内容之一,也是高考的热点内容之一,更是解决许多数学问题(如最值问题)的重要工具.本文聚焦基本不等式问题的解题策略,供参考.策略1:配凑.运用不等式求函数的最值要满足三个条件:一正,二定,三相等.有时候不满足"和为定值"或"积为定值"的条件,要将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值(或积为定值)的形式.配凑法的实质是代数式的灵活变形.     

试谈运用均值不等式的待定系数法“套路”

不等式是高中数学的重要内容．均值不等式是不等式进行变形的一个重要依据，在应用时不仅要牢记三个条件“正、定、等”，而且要善于根据均值不等式的结构特征，创设应用均值不等式的条件．利用待定系数法凑定值是常用的解题技巧，本文举例说明．     

n元均值不等式的应用

我们非常熟悉的 n元均值不等式a1 a2 … ann ≥ n a1a2 … an　 ( ai >0 ) ,当且仅当 a1=a2 =… =an 时取等号 ,若灵活运用此不等式 ,解决形如“和”大于等于“积”的多元不等式的证明 ,可使问题巧妙获证 .其思路自然、流畅 ,可培养学生观察问题的深刻性和思维的灵活性、创造性 .而且缩短了思维的回路 ,优化了解题过程 .1　直接运用 n元均值不等式有些不等式的问题由于其本身的特点 ,可直接运用均值不等式 ,或添、拆项后使用均值不等式 ,可迅速获得证明 .例 1　求证( 1 1n) n <( 1 1n 1 ) n 1　 ( n∈ N ) .分析　此问题与自然…     

应用均值不等式时如何构造定值

应用均值不等式求最值时,应使和或积为定值.这时往往需要采用"拆项、添项、变系数"等变形技巧构造定值.本文例析若干变形技巧.例1已知π/3相似文献   

用a b/2≥(ab)~(1/2)证a b c/3≥(abc)~(1/3)

本刊1987年第二期P39上给出了一种用二元均值不等式证明三元均值不等式的巧妙证法。它与教学参考书中给出的证法,就证明的基本思路来说完全类似(都是通过“添项”,使奇数项的和变为偶数项的和,从而使二元均值不等式的应用成为可能),只不过添凑的项不同而已(一个添加三个正数的几何平均数,另一个添加三个正数的算术平均数)。这种采用“添项”思想的证明方法,技巧性较强,学生难以想到。在下面笔者给出的新的证明中,除了注意到恒等     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

分析不等式结构寻求证法

不等式的证明向来是比较难的 ,突出表现在入口难 ,条件运用难 ,确定变形的方向难 .本文试着从分析不等式的结构入手 ,寻求证明不等式的一些常见方法 .一、分析“次数”结构例 1　已知ａ +ｂ +ｃ=1,求证 :ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥13 .分析　待证不等式的左端各项都是二次的而右端的常数 13 是零次的 ,不等式的两端在结构上是不均衡的 ,所以将右端变形为二次式尤为重要 .由已知条件ａ +ｂ +ｃ =1,待证式即化为ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 13 (ａ +ｂ +ｃ) 2 ,利用“作差法”不难给出证明 .例 2　已知ｘ >0 ,ｙ >0 ,且ｘ3+ｙ3=2 ,求证 :ｘ + ｙ≤ 2 .分析　已知…     

不等式证明中的拆项

不等式证明的方法、技巧多种多样,其中拆项技巧也是常用的技巧之一,有些不等式恰当地运用拆项技巧可使证明流畅、简捷,起到化繁为简、化难为易的作用.本文试举几例如下:     

一类最值问题的“拆项”处理模式

一类最值问题的“拆项”处理模式张光华（四川省阆中东风中学６３７４００本文将给出不能直接运用二元均值不等式处理的“积定和最小”一类问题的简捷处理模式．我们先看下列命题的证明过程．命题对于函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａ２ｘ（ｘ∈Ｒ＋，ａ为正常数），设ｂ为正常数．（...     

化“和”或“积”为定值的常用方法

利用均值不等式求最值是高中常用的方法．但在利用均值不等式求最值时,要注意定理成立的三个条件,即是“一正——各项都是正数;二定——和或积为定值;三等——能否取得等号”,通常情况下,所给(或所得到)的式子不同时具备定理成立的三个条件,必须对式子进行适当的变形使其具备定理成立的三个条件,本文通过具体的例子说明化“和”或“积”为定值的常用变形方法和技巧。     

由均值不等式与柯西不等式联袂巧解竞赛题

<正>均值不等式与柯西不等式是历年数学竞赛的热点内容,利用这两类不等式解题的关键是恰当创设应用公式的结构形式,通常需要转化、变形、甚至构造,同时还需要有丰富的想象力.对一些复杂的不等式问题,有时要把均值不等式与柯西不等式联袂方可达到事半功倍的     

实现拆项与添项的四种策略

在利用基本不等式求最值时拆项、添项是务必要掌握的内容,本文着重来探讨求最值问题中的拆项、添项策略的实施。利用基本不等式求最值,必须满足三个前提条件,“一正二定三相等”,即：一正—字母为正数;二定—积或和为定值,当和为常数,积有最大值;当积为常数,和有最小值。有时需通过“配凑法”凑出定值;     

对均值不等式链的一个性质的探讨

对均值不等式链进行探讨,通过研究得到了一个性质,利用“pqr法”给出了证明.     

寻求匹配因子证明不等式

均值不等式是一组非常重要的不等式.数学竞赛中有许多轮换对称不等式都可以通过构造出均值不等式而获得简捷的证明.构造均值不等式的出发点和目标是寻求匹配因子,使每一个因式取值的比例达到均衡相等.本文通过实例谈一谈如何寻求匹配因子证明竞赛中的有关不等式问题.     

用平均值不等式解题的技巧

在使用平均值不等式解题时,根据问题的结构,常常需要配合一定的变形技巧,才可以把问题化为平均值不等式结构.现举例说明如下. 一、拆项拆开已知式结构,在注意等号成立的条件下,把和(积)变成定值. 例1 已知0相似文献   

推介一组优美的国外代数不等式竞赛题

不等式证明是各级各类数学竞赛的热门话题,在2012年国外的数学竞赛里,出现了许多优美的不等式证明题,笔者收集整理了当中的一部分,作为新颖的竞赛辅导资料必是有益的.对于这些不等式的证明,其关键是恰当的代数变形,以及适时利用均值不等式、柯西不等式.     

均值不等式及其应用

<正>均值不等式是中学数学中的一个常见不等式,有很重要的地位,也经常被叫做均值定理,在不等式证明及求最值方面应用非常广泛.1均值不等式如果a,b都是正数,那么■,当且仅当a=b时,等号成立.对任意两个正实数a,b,数■叫做a,b的算术平均值,数■叫做a,b的几何平均值.因此把这一常见不等式叫均值不等式.