巧用根与系数的关系解竞赛题

根与系数的关系是一元"次方程(n∈N~*)的重要性质,本文通过实例来说明巧用一元二次(三次)方程的根与系数的关系解竞赛题.1.利用一元二次方程根与系数的关系解题当已知条件中出现或者通过转化后出现两数之和、两数之积时,可考虑利用根与系数的关系来构造一元二次方程(或函数)来解题.     

建立一类特殊方程的矩阵方法

应用有关一元二次方程的韦达定理,可以解决这样的问题:已知一个一元二次方程,不解这个方程,求作另一个一元二次方程,使它的根与原方程的根有某些特殊关系,例如,使它的根是原方程各根的相反数、K倍、平方、立方、倒数等等。在解题过程中,往往需要将关于原方程的根是对称的一些代数式表示成为原方程系数的新代数式,而其中的计算量是较大的,并且如果所要求的特殊关系复杂,或者方程的次数较大时,计算则更繁。本     

配方法在代数式问题中的应用

<正>应用配方法将一个代数式或一个代数式的某一部分通过恒等变形,构造出一个或几个完全平方式的和(或差),再利用完全平方式的非负性或其它条件实现问题的解决,这种方法在中考及数学竞赛中经常用到.现举例说明如下.一、求代数式的值例1已知:x-y=4,y-z=3,求x~2+y~2+z~2-xy-yz-xz的值.分析已知条件中只给出了两个方程,无法求出x、y、z三个未知数的值,但可求出x-z=7,结合求值式特征,易想到利用配方法整体求解.     

构造一元二次方程解题六例

<正>一元二次方程是初中数学中的重要知识之一,有些数学问题表面上看似乎跟一元二次方程没有关系,其实它们跟一元二次方程有关联.我们通过构造一元二次方程,然后或者解方程,或者利用根与系数的关系(韦达定理),或者利用根的判别式,可以很好地解决相关问题.下面我们以六道经典题目为例,体会怎样根据题目的条件来构造一元二次方程,从而达到求解的目的.     

系数相关问题与问题性质的相关

条件相关的问题 ,必然隐含问题性质的相关 .如何运用好相关的条件 ,则是沟通由一个命题到另一个命题的关键 .有一类相关问题 ,体现在系数的相关上 ,那么 ,此类问题性质的相关性的研究必以相关系数为纽带 .现就系数相关的方程、函数、不等式问题谈谈它们性质的相关 .1　 系数相关的方程问题问题 1　关于 x的方程 ax2 + bx + c=0的解集为 {m,n},则方程 ax2 - bx + c=0的解集是 .分析　这是一例系数相关的方程问题 ,利用二次方程的根与系数的关系易知 ,系数相关带来根的相关 :方程 ax2 - bx + c=0的根是原方程的根的相反数 - m,- n.也可将二次…     

与两数和两数积 有关的整数根问题

关于x的整系数方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的整数根问题,常常是中考和数学竞赛命题 的重要内容．这类问题涉及面广,综合性强,除 要应用判别式和根与系数的关系,还要应用整 数的有关性质．本文以全国初中数学联赛试题 介绍利用两数和(a+b)与两数积ab构造(a± 1)(b±1)解一类有关整数根的竞赛题．     

方程思想在证明不等式中的应用

方程思想，也称为笛卡尔模式，它是笛卡尔首先提出来的，是解决大量数学问题的导航器，在代数、几何及数学的各个学科中都有着广泛的应用．应用方程思想证明不等式，就是通过仔细观察命题的特征，合理地构造方程，然后利用根的判别式或根的特性得到证明不等式的自的．本文将对如何应用方程思想证明不等式作些肤浅的探讨．1利用根与系数的关系构造方程如果题设条件中具备或经变形整理后具备马十x。一a，x；·x。一b，则可利用报与系数。的关系构造方程：x‘一ax＋b—0例1已知Z，y，Z为实数，且满足试证：1＜X＜9．证明由（1）得yX—X‘一S…     

用整体代入巧求一类代数式的值

已知条件 A,求代数式 B 的值,通过观察 A 与B 的结构关系,适当变换 A 或 B 之后,可以把 A 整体代入 B,从而把 B 变换为 A 的代数式而求得值;或者把 B 整个地代入 A,利用 A 的条件等式,建立起的 B 的方程而解出 B.利用这种整体性代入法可简捷地求出一类较复杂的代数式的值.现举例如下:     

一类变系数Boussinesq型方程的精确解

一类变系数Boussinesq型方程与变系数Broer-Kaup-Kupershmidt方程之间在某种约束下的关系.通过构造变系数Broer-Kaup-Kupershmidt方程的达布变换并应用达布变换得到这类变系数Boussinesq型方程的精确解.     

二元一次方程组的应用

二元一次方程组是解决实际问题的重要工具,有些数学问题(这里不指有关应用题)初看起来不属于二元一次方程组的问题,但是我们可以通过已知条件(或已知有关关系式)去构造二元一次方程组作为桥梁来解决它们.一、根据已知条件求代数式中(或方程中)的     

一元二次方程两根之比与系数的关系

解答涉及一元二次方程两根之比问题时,常采用对偶法把它配成对称式,然后用韦达定理求解,但如果利用两根之比与方程系数的美妙关系,则更胜一筹.定理设一元二次方程     

我解大系数一元二次方程的一点心得

在一元二次方程中,我发现“不解方程,求作一个新方程使各根是原方程各根的k倍的新方程与原方程间的系数有一定的关系.”例如:不解方程x2+11x+12=0,求作一个新方程使其各根分别为原方程各根的3倍.解的结果为x2+33x+108=0,即为x2+3×11x+32×12=0.经反复验证是正确的.证明如下:设方程x2+bx+c=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2=-b,x1x2=c.∴kx1+kx2=     

一竞赛求值题的多种解法

在数学竞赛中,常有一元二次方程的根的代数式求值问题.这类问题,有直接的方法,就是先解此一元二次方程,然后把根代入就能求出结果;其实不解方程,也可以把值求出来.下面以一竞赛题为例,学会用多种解法解这类题目.     

代数法解决一元二次方程两类根的分布问题

本文中通过对一元二次方程根的分布的多种模型以及解决模型方法的阐述,让读者明确可以利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系来解决根的分布问题,运用代数方法实现问题的解决.     

关于两圆锥曲线的公共点问题分析

一、正确理解两圆锥曲线的公共点问题用代数方法研究两圆锥曲线C1、C2的位置关系,确定它们的公共点情况,可以从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论.与研     

构造方程巧解竞赛题

利用两数和与积构造一元二次方程,是初中数学的重要内容,在数学的应用中有着重要作用.运用构造方程解决有关的数学竞赛题,能开拓思维空间,提高解题能力,使人耳目一新,感受到数学的无穷魅力,提高对数学的兴趣.求代数式的值     

广义Davey-Stewartson方程的孤波解

在本文中,利用辅助的常微分方程来代替更一般的方程,扩张映射方法被呈现.通过这种方法,使用符号计算关于Davey-Stewartson方程的许多新的孤波解被构造.     

一元二次方程根与系数的关系及应用

在义务教育课程标准实验教科书九年级上册 (华东师大版 )第 2 2章《实践与探索》一节中 ,我们得到一个很重要的结论 ,即一元二次方程根与系数的关系 :如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的两根是x1,x2 ,那么有x1+x2 =-ba ,x1·x2 =ca .这实际上就是著名的“韦达定理” .运用这个定理 ,在不解方程的情况下 ,可以解决许多与一元二次方程的根有关的问题 .一、已知一根求另一根及求未知系数例 1　已知方程x2 -6x +m =0的一个根是 5 ,求另一个根及m的值 .解 :设方程的另一个根为x1,根据根与系数的关系得x1+5 =6.得x1=1 .又∵x1·5 =m ,∴m =5 …     

巧用韦达定理解题

<正>已知一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个的根分别为x_1,x_2,求解有关x_1,x_2代数式的值是一元二次方程问题中的一种题型,解决此类问题通常有两种方法,分别是:方法 1先将已知的一元二次方程的根求出来,然后再带入到已知的代数式中计算;方法2将所求代数式进行适当的变形,然后利用韦达定理以及已知条件去求解出变形后的代数式的值.这两种方法各有利弊,方法 1思路简单,     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .关于x的方程 6mx2 +3nx +2 =0和 2 4mx2 +1 0nx+7=0有公共根是 12 ,则m =,n =.2 .关于x的二次三项式 (m -1 )x2 +4 (m -1 )x +2m +2是一个完全平方式 ,则m的值等于3 .若x1,x2 是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根 ,则二次三项式ax2 +bx +c在实数范围内可分解为.4.已知方程 3x2 -4x =-1的两个根为x1,x2 ,不解方程 ,代数式 x2x21+x1x22=.5 .关于x的二次方程 (x+2 ) 2 =2 -n(n <5 )无实数根 ,则n的最大整数值是 .6.在平面直角坐标系内 ,已知点 ( 1 -2a ,a -2 )在第三象限 ,且a为整数 ,则a =.7.设P(x ,y)是平面直角坐标系中…