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相似文献
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1.
若a∈R,则a2≥2a-1①当且仅当a=1时等号成立.将此不等式推广到一般,有定理若a∈R+,n∈N且n≥2,则a2≥na-(n-1)②当且仅当a=1时等号成立.证由均值不等式,有a2+(n-1)=an+1+1+…+1n-1个≥na,∴an≥na-(...  相似文献   

2.
方明 《数学通讯》1999,(2):32-33
本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广.定理若a,b,c∈R+,n∈N且n≥2,则an+bn+cn3≥(a+b+c3)n(*)当且仅当a=b=c时等号成立.证当n=2时,∵a2+b2+c23-(a+b+c3)2=(a-b...  相似文献   

3.
一组互相关联的不等式命题   总被引:4,自引:2,他引:2  
大家知道,由n元均值不等式可方便地得到如下一个不等式:设ai∈R+(i=1,2,…,n,n≥2),则∑ni=1ai∑ni=11ai≥n2;(1)不等式(1)相当有用,对它作适当代换,可引出一组互相关联的不等式命题;首先,对(1)作代换(S-a1,S-a2,…,S-an)→(a1,a2,…,an),其中S=∑ni=1ai,得命题1 设ai∈R+(i=1,2,…,n,n≥2),∑ni=1ai=S,则∑ni=11S-ai≥n2(n-1)S ;(2)证明 由(1),∑ni=1(S-ai)∑ni=11S-…  相似文献   

4.
算术─几何平均不等式的简单证明王申怀(北京师范大学数学系100875)众所周知,给出n个实数ai≥0(i=1,2;…,n)成立下述算术─几何不等式:等号成立,当且仅当a1=a2…=an.一般上述不等式均采用数学归纳法来证,但不太容易.下面提供一个较为...  相似文献   

5.
文[1]例6试图将一道IMO试题推广为“若n(n≥3)个非负实数a1,a2,…,an满足a1a2+a2a3+…+ana1=1,及ni=1ai=s,且m≥1,则ni=1amis-ai≥n(3-m)/2n-1①当且仅当a1=a2=…=an=1n时取等...  相似文献   

6.
11661998年12月号问题解答(解答由问题提供人给出)1.对任意自然数n,试证:12+22+32+…+n2<2证明构造数列{an}:a0=2,a1=a20-12,a2=a21-22,…,an=a2n-1-n2.下面数学归纳法证明:an>n2.显然...  相似文献   

7.
一个加强的不等式及其应用   总被引:2,自引:0,他引:2  
一个加强的不等式及其应用杨克昌(湖南岳阳大学414000)本文给出涉及n个非负数的m次方加上1之积与这n个数的算术平均的m次方加1的n次方之间的一个不等关系,并作为其推论加强一类常见不等式.定理若则当且仅当a1=a2=…=an时式中等号成立.证明证明...  相似文献   

8.
平均值不等式的又一证法─—兼谈均商函数的递增性   总被引:1,自引:0,他引:1  
平均值不等式的又一证法─—兼谈均商函数的递增性刘小宁(武汉化工学校)设ai>0(i=1,2,…,n),n为正整数.则有如下著名的平均值不等式:等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.近百年来,不少的数学工作者先后对(1)施用各种巧妙的方法进行证明;《...  相似文献   

9.
贵刊文[1]、[2]给出了不等式:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)(a,b,c>0)(高中《代数》下册P32第5题)的两个推广,读后颇受启发,作为两个推广的注记,本文对其中的指数作进一步的推广;推广1 设a、b、c、k、m、n>0,且m≥k,m+k=n,则2(an+bn+cn)≥an+bn+cn+am-kbkck+akbm-kck+akbkcm-k≥am(bk+ck)+bm(ck+ak)+cm(ak+bk)证明 现证前一个不等式,即证an+bn+cn≥am-…  相似文献   

10.
一个不等式的推广黄桂君(江苏省高邮市中学225600)若a>0,b>0,且a+b=1,则(a+1a)2+(b+1b)2≥252,这是我们所熟悉的一个不等式.本文将给出它的几个推广及证明:推广1若a>0,b>0,且a+b=1,则(a+1a)n+(b+1...  相似文献   

11.
我们看两类函数(1){af(n)} (n=1,2,…)(2){f(an)} (n=1,2,…)如果数列(1)、(2)是等差(比)数列,那么我们把它们称为复合等差(比)数列.于是,af(n)=af(1)+(n-1)d或af(n)=af(1)qn-1.例1 数列{an}满足2S2n=2anSn-an(n≥2),a1=2,求an及Sn.解 将an=Sn-Sn-1(n≥1)代入等式,得    2SnSn-1=Sn-1-Sn.因为a1=2≠0,故Sn≠0,上式可变为1Sn-1Sn-1=2,∴ 数列{1Sn…  相似文献   

12.
若ai∈R,bi∈R+(i=1,2,…,n),由柯西不等式得ni=1a2ibini=1bi≥ni=1aibi·bi2=(ni=1ai)2.所以ni=1a2ibi≥(ni=1ai)2ni=1bi①当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时...  相似文献   

13.
两个不等式的简捷证法   总被引:1,自引:0,他引:1  
下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明.本文给出直接简捷的证明.命题1 设xi∈R+(i=1,2,…,n)且x211+x21+x221+x22+…+x2n1+x2n=a(0<a<n),求证:x11+x2+x221+x22+…+x2n1+x2n≤a(n-a)①证 由题设易知:11+x21+11+x22+…+11+x2n=n-a.由于 11+x2k+n-aa·x2k1+x2k  ≥211+x2k·n-aa·x2k1+k2k  =2n-aa·xk1+x2k)(k=1,2,…,n),此n式相…  相似文献   

14.
一、不等式的性质和证明题1 (P7例2)已知a,b∈R+,并且a≠b,求证a5+b5>a3b2+a2b3.评注 类似这道例题,课本上还有P8练习3,P14例9.它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证a4+b4>a3b+ab3和a3+b3>a2b+ab2.我们可以对这一问题加以推广.变式题 已知a,b∈R+,并且a≠b,求证:an+bn>ambn-m+an-mbm(m,n∈Z,n>m).题2 (P8定理1)如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).评注 由a2+b2≥…  相似文献   

15.
一、选择题1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{an},设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,则数列{bn}(  ). (A)是等差数列  (B)是公比为q的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列解 由题设,an=a1qn-1,则 bn+1bn=a3n+1+a3n+2+a3n+3a3n-2+a3n-1+a3n=a1q3n+a1q3n+1+a1q3n+2a1q3n-3+a1q3n-2+a1q3n-1=a1q3…  相似文献   

16.
我在教学中发现:对有些不等式的证明,可根据不等式的特点,用构造二次函数的方法加以解决;本文结合具体例子,谈谈怎样构造二次函数证明不等式;1 确定主元构造例1 设a、b都是实数,求证:a2+b2≥a+b+ab-1.分析 求证结论是二元二次对称不等式,可以a(或b)为主元构造二次函数;证明 设f(a)=a2-(b+1)a+b2-b+1.因二次项系数大于零,且Δ=〔-(b+1)〕2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0故f(a)≥0,即a2+b2≥a+b+ab-1.2 根据判别式构造例2 设实数a…  相似文献   

17.
一、等差数列根据等差数列的通项公式易得下面性质:性质1若数列{an}是等差数列,则a1+an=a2+an-1=…=ar+an-r+1=…,即与两端等距离的两项之和均相等.性质2若数列{an}是等差数列,则当m+n=k+t时(m,n,k,t∈N),有a...  相似文献   

18.
一道分式不等式的进一步改进及简证   总被引:1,自引:1,他引:0  
文[1]、[2]、[3]分别对下面的不等式进行了证明和改进.本文将作进一步的改进,并给出一个相当简洁的证明.设xi∈(0,1),i=1,2,…,n,且∑ni=1xi=a,∑ni=1x2i=b,求证:∑ni=1x3i1-xi≥a2+ab-nbn-a.改...  相似文献   

19.
高中数学小单元自测题数列、极限、数学归纳法(高二)陈耀宇(河南省商城高中465350)第一套数列1.等差数列a-d,a,a+d,…的通项公式是()(A)an=a+(n-1)d.(B)an=a+(n-2)d.(C)an=a+nd.(D)an=a+(n-...  相似文献   

20.
从一道习题到两个优美的不等式   总被引:6,自引:2,他引:4  
许多书上都有这样一道习题:设x,y∈R+,且x+y=1,a,b为正常数,求ax+by的极小值;在此我们不谈它的解法,而是考虑能否把这个题的结论推广,我的想法是:(1)设x,y∈R+且x+y=1,a,b为正常数,n∈N,如何求axn+byn的极小值呢?(2)(更一般化)设ai,bi∈R+(i=1,2…,n,n≥2)且a1+a2+…+an=p,k∈N,bi为常数,如何求b1ak1+b2ak2+…+bnakn的极小值呢?经笔者研究,以上问题可以通过构造均值不等式求解;从而可以得到两个优美的不等式;定理…  相似文献   

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