关于Bieberbach多項式

<正> 設D为包含原点的有界Jordan单連通区域,記B_n(z)为所有n次多項式{P_n(z)}中在条件P_n(0)=0,P′_n(0)=1下使得积分达到极小值的多項式,容易知道这多項式是唯一确定的,这就是熟知的Bieberbach多項式.     

首項系数为1的整系数多項式的整根检驗法——关于“綜合除法”的改进問題

由高斯定理知道,首项系数为1的整系数参项式 了(二)一,”+a zx”一1+aZx”一2+…+a,一lx+a,的有理根为整数,且为a,的因数. 当我们应用“粽合除法”检脸r~,是否j(二)的整根时,归根到底避免不了爵算j(,)的值是否为零.因此,在本盾上仍是“代入法”.有时为了检歇a,的哪些拘数是j(二)的根,哪些不是f(劝的根,往往花费不少的时阴.譬如,耍检脸(一18)是否f(二乡=x夕一6x6+35x5+68二3一 一8x2一53丫一18的整根时,用“粽合除法”一18}1一6 350一18斗32一840668一8一53一18151308一272斗夕68斗90乙了5勺68一24467一84061513夕6一2夕24776最后知j(一15)…     

关于分圓多項式既約因子的性质

苏联著名的代数学家捷波大列夫在1938年于他的一篇論文“代数各部分和数論中的几个問題”中提出一个猜測,即设X_m为x~m-1之因式(在有理数体),它的根为m次本原单位根,则对任一自然数m,X_m的系数只能是0或±1。本文得到一个更强的結果,从而証明了捷波大列夫的上述猜測是正确的。我們先引进两个概念。定义1.如果一个m次单位根ω之周期值恰为m,即ω~m=1,ω~j(?)1(j相似文献   

对称多項式

“对称”,原来是几何中的概念。意思是說两个几何图形相对而相称。从一定的角度看去,这两个图形所处的地位是相同的。建筑图案以及某些艺术品往往由于具有一定的对称性而更觉美观。在解决几何問題时,对称性也往往起重要作用。代数中也有对称。一元n次方程的每一个根所处的地位也都彼此相同,把这个根或那个根叫做x_1是无关重要的。我們从这里得到了启发,要研究一元n次方程,就不能不考虑到它的根的对称性。这样,就很自然地产生了对称多項式的理論。以下我們将要初步地接触到这些理論,和它的簡单应用。一、对称多項式两个变量x_1,x_2的多項式F(x_1,x_2),如果把x_1換做x_2,把x_2換作x_1以后,得出多項式和原来的完全一样,也就是說,如果F(x_1,x_2)=F(x_2,x_1),就把F(x_1,x_2)     

分圓多項式所含之質因子

前言.寫其中ω_i(i=1,2,…,n)为1的n次根。我們已知当ω_j为1的n次原根時諸因子(x-ω_(jy))的乘積为一有理整係數多項式ψ_n(x、y),且在有理數域內不可約,我們称ψ_n(x,y)为n次分圓多項式,本文之目的在於研討:当x,y取任意互質之整數時吵ψ_n(x,y)的質因子呈若何之形狀(至於x,3不互質之情形自不足論)。定理一。令p为正質數;m为正整數;x,y为互質之整數;則     

关于二項系数的一个公式

本文要建立一个有关二項系数的公式在証明(1)的过程中,我們将用到另一个熟知的公式,即 ((?))+((?))+((?))+…=2~(n-1)。(2)(参見徐利治編著“数学分析的方法及例題选讲”,第55頁,1955) 首先注意到,项(?)(-1)~(k-v)(?)当取j=1,2,…,k时,它总是負正相問的。因此有     

唯一因子分解整环

1.引言我們知道,每个不等于±1及0的整数都可以表为有限个素数的乘积,并且若不計素因子的正負号,这种分解是唯一的。这就是通常所謂的整数唯一因子分解定理。对于一个域上的一元或多元多項式来說,相应的唯一因子分解定理也成立,即域F上每个次数≥1的多項式都可表成有限个在F上不可約的多項式之乘积,并且,在不可約因子差一个卢中的非零元素的意义下这种分解是唯一的。对于整数及域上一元多項式的唯一因子分解定理,通常是基于可以进行带余除法这一事实来証明的。万哲先同志在[1]中就几个重要的数域 (复数域、实数域和有理数域) 及整数环上一元多項式的因子分解問題給了詳細的論述,并且介紹了把带余除法抽象化而得到的一个較一般的概念,即欧氏环,进一步証明,在欧氏环里唯一因子分解定理亦成     

实系数多变数二次多項式的因式分解問題

一、引言多項式的因式分解,往往是根据不同情况采取不同的分解方法。在中学里所使用的一些方法,基本上是提取公因式法、利用乘法公式法和分組分解法等,很少有一般的分解方法。对中学生要求到这样程度也就可以了。但对中学教师来說,口掌握特殊方法还是不够的,应尽可能掌握一些一般的分解方法。一个变数的有理数系数任意次多項式的因式分解,在个別的高等代数里已經提到它在有理数体上的一般分解方法。这个方法是此較麻煩的,但它有一个好处,能分解或不能分解通过它我們都能知道,而且能分解时能把它分解出来。我这里所写的实系数多变数二次多項式的因式分解問題是来研究实系数多变数的二次多項式在实数体上的一般分解方法。作起来虽然也比較麻煩,但能分解或不能分解它都能給以肯定的解答。这篇文章是我个人的点滴体会,可能有缺点和錯誤,請讀者給以指正。     

多項式值的几何求法

計算多項式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) a_2x~(n-2) … a_(n-1)x a_n的值。如所週知,可以用下面的方法ropnp来完成: P_0=a_0,P_1=P_0x a_1,P_2=P_1x a_2,…, …,P_n=P_(n-1)x a_n=f(x)。这些过渡的值P_1,P_2,…和最終的值可以用下面的方式几何地得到: (1)在与OX軸构成銳角的OY軸上,取(在正的方向)尺标綫段OM,通过点M引垂直于OX軸的直线ν。在OY軸上取线段OS,OS对应于要求算出f(x)的x值,(于是(?))过点S引出平行于OX軸的直线并与直线ν交于点P。直线OP在下面的研究中将起基础的作用, (2)在OY軸上取OO_0=a_0(較准确地說(?)     

多項式的因式分解問題

掌握分解因式的技能,对学生說来是相当困难的。教本和教学法文献始終沒有正确闡明因式分解的教法。在六年級学习因式分解时,多数教学文献总是把它安排在乘法公式之后,因此,在很多方面是过时的。現在,把因式分解中某些問題的教法明确化的可能性已經成熟了。本文考虑这样三个問題: 1) 学习利用公式进行因式分解的順序。 2) 因式分解对后面教材的应用。 3) 利用     

关于整函数在复合意义之下的因子分解

关于整函数在复合意义之下的因子分解李玉华（云南师范大学数学系，昆明６５００９２）关键词整函数，因子分解．分类号ＡＭＳ（１９９１）３０Ｄ２０／ＣＣＬＯ１７４．５２如存在亚纯函数ｆ与ｇ，使亚纯函数Ｆ＝ｆｇ，则称Ｆ具有左因子ｆ和右因子ｇ，ｆｇ为Ｆ的一...     

直交多項式級数的求和

<正> 1.設φ_o(x),φ_1(x),…是区間(a,b)上之一系列的就范直交函数,孟孝夫証明:当級数∑(a_n log log_n)~2收斂时,直交函数級数 a_oφ_o(x)+a_1φ_1(x)+…+a_nφ_n(x)+…(1)在{φ_o(x)}的直交区間中,几乎到处可用正阶蔡查罗(Cesaro)求和法——(C,a)求和法,a>0——求和.当a=1时,这个定理还有波尔根(Borgen)和卡契馬尔茲(Karczmarz)     

單葉函數的開始多項式

<正> §1 設k次對稱函數fk(z)=z+在單位圓|z|<1中正則單葉。記σ_n~((k))(z)=z+特別記σ_n~((1))(z)=σ_n(z). 舍苟證明一切σ_n(z)在圓|z|<1/4中單葉,且不能易以更大之數。列文     

关于二次三項式的因式分解

分解二次三項式的因式,一般說有四种方法:公式法、配方法、分組分解法和余式定理法。但对分組分解法作进一步研究又可得出观察法。用观察法分解某些(尤其是整系数的)二次三項式的因式时,有快而准的特点,因此在实际計算中我們經常用到它。但要采用观察法,必須在“B~2-4AC是某数的平方时,整系数二次式Ax~2+Bx+C一定是两整系数一次式之积。”这一命題正确的条件下方可。否則(有时可能出現分数),問題将变得复杂多了,不易“观察”。当然就談不上快而准了。所以,有証明这一命題正确的必要,本文的目的正是这样。引理Ⅰ.两奇数的平方差,必是8的倍数;奇数与偶数的平方差,必是奇数。     

关于三角多項式对周期可微函数的最佳逼近

<正> §1.前言 用C_(2π)表示有周期2π的連續函数的全体;L_(2π)表示有周期2π的L可积函数的全体;T_(n-1)表示n-1阶三角多項式的全体. 設f(x)∈C_(2π),記     

二項展开式中的最大系数

关于二項展开式的特点,課本里是分做八个性質来叙述的,其中第六个性質就牽涉到二項展开式中的最大系数問題(代数第三册,22頁)。通过第五个性質的講解,我們已作出二項展开式系数对称性的結論:和兩端等距項的兩項的系数都相等。又由于展开式的系数与组合数相关联,我們已經看出了系数絕对值起始漸增,后来漸減;因而确信最大系数必定在展开式的正中。在这样初步認識的基础上,接着提出下面二个問題:1)在什么样的情况下层开式中存在着一个最大系数?在什么样的情况下存在着兩个最大系数?2)最大系数究竟是展开式中第几項的系数?怎样迅速而合理地把它計算出来?这样,就順利地过渡到新的課題——最大系数上面来了。     

对“关于分圓多項式既約因子的性質”一文的意見

今年七月号“数学通报”发表了佟文廷同志“关于分圓多項式既約因子的性貭”一文,提出了这样一个命題:在有理数体內多項式x~m—1之任何既約因子的系数,对任何m都只能是0或±1。从而肯定了捷波大列夫猜測正确。經研究,发現結果是錯誤的。原来作者仅提出一种分解多項式:的方法,按这种方法分解到不能再分解时,所得的每个因子的系数的确只能为0或±1,但这些因子是否一定就是既約多项式呢?作者沒有証明却含糊地肯定了。現举一反例說明实际上并不是这样的。     

关于图的因子分解

§1.引言 Petersen引入图的因子分解的概念,证明了一个图能2-因子分解的充分必要条件是该图为偶正则的,并由此给出了一类Diophanine方程的基础解。从此,图的因子理论一直为人们所重视,成为图论研究中最活跃的课题之一。著名匈牙利数学家Lovasz在提到图论中有些分枝的中心结构定理形成了图论研究的骨干时,把图因子和连通性作为两个这样的例子特别地提出来了。图的因子分解在研究图的结构性质中起重要作用,并且有重要的实际意义,在对策、组合设计,组合最优化以及生物等都有用处。图的同构是图论中的最基本的关系,有如拓扑学中的同胚,初等几何中的全同。然而同     

关于用矩陣法求多个多項式的最大公因式的問題

我校在“代数方程論”一課中,学了浙江大学池体涛先生的二維表格运算法,也可以說是簡易的矩陣法。就实际做法来說,[3]的求法与通常欧几里得(Euclid)輾轉相除比較起来,互有短长,而且有时在簡单的情况下,欧氏除法也并不很繁。文章[3]虽列举了一个多項式求最大公因式的例子,     

两多項式最大公因式的簡易求法

两个多項式的最大公因式通常都是經过輾轉相除而求得,这种运算既煩瑣又容易出差錯,本文介紹一个新的簡易的求法。引理工Ⅰ体p上多項式f(x),g(x)的最大公因式和f(x),cg(x)的最大公因式相同,其中c是体P中任一非零元。引理Ⅱ体P上多項式f(x),g(x)的最大公因式和f(x),f(x) g(x)的最大公因式相同。引理Ⅲ如果不考虑因式x~(?)(这种因式徂容易判断,以下称为显然因式),则体P上多項式f(x),g(x)的最大公因式与f(x),xg(x)的最大公因式相同。在下列討論中,把多項式f(x)=ax~n a_1x~(n-1) … a_n-1~x a_n和g(x)=b_0x~n b_1x~(n-1) … b_(n-1)x b_n的最大公因式記成矩陣: