The Somigliana identity on piecewise smooth surfaces

Summary TheSomigliana identity is an integral representation of the displacement field of a body, i.e. the solution of the Cauchy-Navier equation in the classical theory of elasticity is represented by influence functions. This well established identity for bodies with smooth surfaces is extended in the present paper to cover two- and three-dimensional bodies with piecewise smooth surfaces.

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Zusammenfassung DieSomigliana Identität ist die Integraldarstellung des Verschiebungsfeldes eines Körpers, d.h. die Lösung der Cauchy-Navier'schen DGL in der klassischen Elastizitätstheorie wird durch Einflußfunktionen dargestellt. Diese Identität, die für Körper mit glatter Oberfläche wohl bekannt ist, wird in diesem Anfsatz auf Körper und Scheiben mit stückweise glatten Rändern ausgedehnt.

     

A mixed boundary value problem for debonding of a semielliptic rigid inclusion on the rim of a half plane

Summary A general solution is obtained for a mixed boundary value problem of plane elasticity. In the present paper the components of the displacement are given on two segments of the boundary and those of the external force are given on the rest of the boundary. A rational mapping function and a complex variable method are used for the analysis. The solution which is obtained in closed form is the first derivative of the complex stress function and does not contain an integral form. A half plane with a semielliptic rigid inclusion is analyzed under uniform tension. The stress distribution, the stress intensity of debonding at the debonded tip of the semielliptic inclusion and the propagation of debonding are investigated.

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Ein gemischtes Randwertproblem für die Ablösung eines starren, halbelliptischen Einschlusses am Rand einer Halbebene

Übersicht Für ein gemischtes Randwertproblem der ebenen Elastizität wird eine allgemeine Lösung gewonnen. Im hier betrachteten Fall sind die Verschiebungen auf zwei Abschnitten des Randes gegeben und auf dem Rest die äußeren Lasten. Für die Untersuchung wird eine rationale Abbildungsfunktion und die Methode der komplexen Variablen benutzt. Die geschlossene Lösung ist die erste Ableitung der komplexen Spannungsfunktion; sie enthält keine Integralterme. Als Anwendung dient die zugbeanspruchte Halbebene mit starrem, halbelliptischem Einschluß. Untersucht wird die Spannungsverteilung, die Spannungsintensität an der Ablösespitze und der Ablösungsfortschiritt.

     

A laminar boundary layer model of heat transfer due to a nonuniform planar jet impinging on a moving plate

A theoretical model is developed of planar jet impingement heat transfer on a moving plate. Boundary layer equations in their integral forms are used in order to include, both near and away from the stagnation line, the effects of surface motion directed perpendicular to the jet plane, an arbitrary surface temperature variation, and nonuniform jet discharge velocity profiles. The validity and accuracy of the approximate solution is assessed by comparison to an exact solution restricted to regions near the stagnation line. Results indicate that the influence of a nonuniform jet discharge velocity decreases with distance from the stagnation line. Surface motion affects heat transfer at regions away from the stagnation line, but has little influence near the stagnation line when the surface temperature is constant.Ein theoretisches Modell für die Wärmeübertragung beim Auftreffen eines ebenen Strahls auf eine bewegte Platte wird hier entwickelt. Es werden Grenzschichtgleichungen in Integralform benutzt um, sowohl in der Nähe als auch in einiger Entfernung der Staulinie, die Effekte der Oberflächenbewegung senkrecht zum Strahl, bei willkürlichen Veränderungen der Oberflächentemperatur und ungleichmäßigen Strahlgeschwindigkeitsprofilen zu beschreiben. Die Gültigkeit und Genauigkeit der approximativen Lösung wird beurteilt in dem sie mit der exakten Lösung für den Bereich in der Nähe der Staulinie verglichen wird. Die Ergebnisse zeigen, daß der Einfluß einer ungleichmäßigen Strahlaufprallgeschwindigkeit mit zunehmenden Abstand von der Staulinie abnimmt. Bewegungen der Oberfläche beeinflussen den Wärmeübergang in Bereichen außerhalb der Staulinie, aber haben einen kleinen Einfluß in der Nähe der Staulinie wenn die Oberflächentemperatur konstant gehalten wird.     

Höhenunterschiedsbestimmung in Oberflächen viskoser Flüssigkeiten

Zusammenfassung In viskosen Flüssigkeiten gleichen sich Höhenunterschiede in der Oberfläche erst allmählich unter dem Einfluß von Oberflächenspannung, Schwerkraft und Viskosität aus. Für die genaue Ausmessung derartiger Höhenunterschiede und die zeitliche Verfolgung ihres Ausgleichs wurde eine Meßanordnung entwickelt, bei der die Markierung des Oberflächenprofils nach dem Lichtschnitt-Verfahren erfolgt. Eine photoelektrische Abtastvorrichtung und ein nicht-linear arbeitendes elektronisches Auswertesystem ermöglichen eine vergrößerte und überhöhte Darstellung des Profils auf einem Oszillographen-Schirm. Für den Ausgleich wichtige Parameter, vor allem die geometrischen Profilabmessungen, lassen sich variieren; ihr Einfluß wird an typischen Beispielen diskutiert.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.     

Dynamic analysis of constrained elastic systems

Summary The dynamic behaviour of a vertical cantilever carrying a concentrated mass at the top, and elastically constrained atsome point is examined. Green's function of the associated unconstrained problem is developed, using which the differential equation of the constrained problem is transformedinto an integral equation. The latter has been shown to be a contractive mapping ensuring both existence and uniqueness of solution.

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Analyse der Dynamik einer elastischen Säule mit Feder-Fesselung

Übersicht Untersucht wird das dynamische Verhalten einer vertikalen Säule, die an der Spitze eine Einzelmasse trägt und in einer gewissen Höhe an eine Feder gefesselt ist. Die Greensche Funktion des assoziierten Problems ohne Fesselung wird entwickelt und mit ihr die Differentialgleichung des Systems mit Fesselung in eine Integralgleichung überführt. Für letztere wird gezeigt, daß sie eine kontrahierende Abbildung ist und daher die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gewährleistet ist.

     

Elastische Knickung gerader Stäbe von exponentiell veränderlichem Querschnitt unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung für die Ausbiegung eines geraden Stabes bei veränderlichem Druck und veränderlichem Querschnitt, wird eine Lösung bei exponentiell veränderlichem Querschnitt mit Hilfe von Whittakerschen Funktionen für den Fall angegeben, daß der Querschnitt ein reguläres Vieleck ist und die Druckkraft durch das Eigengewicht allein hervorgerufen wird. Die Knickbedingung wird bei freiem oberem und eingespanntem unterem Ende aufgestellt und für gewisse Werte des Parameters k der Whittakerschen Funktion ausgewertet. Es wird ferner die Lösung der Differentialgleichung für. exponentiell veränderlichen Querschnitt angegeben, wenn der Querschnitt ein Rechteck ist, dessen kürzere Seite unveränderlich bleibt. Diese Lösung ist durch Zylinderfunktionen von imaginären Argument und Parameter gegeben, weshalb die zugehörige Knickbedingung erst nach der Berechnung der in Frage kommenden Funktionen ausgewertet werden kann.Die theoretischen Ergebnisse werden auf die Berechnung der größten erreichbaren Höhe von Bäumen angewandt.     

Transient displacement and stress in non-homogeneous elastic shells

Summary Transient displacement and stress in thick inhomogeneous cylindrical and spherical shells is investigated for situations when the surfaces are subjected to dynamic loads consistent with the production of radial vibrations. In the first instance, transformation of the governing equations is sought to a form amenable to solution via a finite Hankel transform technique. Such reduction is available for a broad class of radial variations in the material density and elastic parameters. However, the solutions generated by this method are rather involved and two other approaches are indicated. Thus, reduction of the system to the conventional wave equation is obtained under certain restrictions on the nature of the inhomogeneities and a simple correspondence principle is presented for the imposed boundary stress boundary value problem. Finally an asymptotic wave front analysis is presented which has a wide generality of application.

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Zusammenfassung Es werden die zeitlich vorübergehenden Verrückungen und Spannungsänderungen in dicken inhomgenen zylinder-und kugelförmigen Schalen für den Fall untersucht, dass die Oberfläche dynamischen Belastungen ausgesetzt ist, die strahlenförmige Schwingungen produzieren. Zunächst werden Tranformationen der auftretended Gleichungen gesucht, die eine Lösung mit Hilfe von endlichen Hankeltransformations-Techniken zulassen. Eine solche Reduzierung ist für eine grosse Klasse von abstandsabhängigen Veränderungen der Dichte-und Elastizitätsparameter \:moglich.Die so erhaltenen Lösungen sind jedoch recht kompliziert, und zwei weitere Lösungsmöglichkeiten werden angedeutet. Einmal erhält man unter gewissen Beschränkungen bezüglich der Art der Inhomogenitäten eine Reduzierung des Gleichungssystems auf die gewögnliche Wellengleichung, zum anderen wird ein einfaches Korrespondensprinzip für das betrachtete Randwertproblem aufgestellt. Schliesslich wird eine asymptotische Wellenfrontanalyse entwickelt, die vielseitig verwendbar ist.

     

Die näherungsweise Berücksichtigung der mittragenden Breite bei Spannungs-, Stabilitäts- und Schwingungsproblemen

Übersicht Um die Schubverformungen in den Deckplatten von Plattenbalken und Hohlkästen zu berücksichtigen, wird mit Hilfe eines Variationsprinzips vom Minimum der potentiellen Energie ein Näherungsverfahren entwickelt. Bei der Annahme über den Formänderungszustand wird die Bernoullische Annahme vom Ebenbleiben der Querschnitte verlassen. Die Euler-Gleichungen des Variationsproblems ergeben einfache gewöhnliche Differentialgleichungen, die eine Behandlung von Spannungs-, Stabilitäts- und Schwingungsproblemen ermöglichen. Es zeigt sich, daß die Spannungen, Knicklasten und Eigenfrequenzen ganz erheblich von den bekannten Werten der elementaren Stabtheorie abweichen können. Die Genauigkeit der Lösung wurde durch Vergleich mit der exakten Scheibentheorie überprüft, wobei sich eine gute Übereinstimmung ergab.

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Summary A method of determining the shear deformations of the cover plates of T- and box-beams is developed, employing a variational principle of minimum potential energy. In assuming a convenient shape of deformation Bernoulli's hypothesis is rendered invalid. The Euler equations yield ordinary differential equations for the solution of stress, stability, and vibration problems. It is shown that the stresses, the buckling loads and the characteristic frequencies may differ significantly from the values obtained with the elemantary theory of elasticity. The accuracy of the solution is investigated and shown to be of a high degree by comparing the results with those obtained with the exact theory of disks.

     

Mixed convection similarity solutions of a non-Newtonian fluid on a horizontal surface

The mixed convection boundary layer flow on a horizontal stationary or moving plate to a power-law non-Newtonian fluid is analyzed. An exact similarity solution is given for the case of a wall temperature that is inversely proportional to the power-law of the distance from the leading edge of the plate. It is shown that such a solution does not exist if the boundary parameter is smaller than a certain critical value. The effects of the flow index, buoyancy parameter and modified Prandtl number on the velocity and temperature profiles as well as on the global heat transfer and displacement thickness are discussed.

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Ähnlichkeitslösungen für die Mischkonvektion von einem Nicht-Newton'schen Fluid auf einer horizontalen Oberfläche

Zusammenfassung Hier ist die Mischkonvektion von Grenzschichtströmungen auf einer horizontal stillstehenden oder beweglichen Platte für einen Potenzansatz der Nicht-Newton'schen Fluide analysiert worden. Eine genaue Änlichkeitslösung ist für den Fall, daß die Wandtemperatur entgegengesetzt proportional zum Potenzansatz des Abstandes von der Vorderkante der Platte ist, gegeben worden. Es ist gezeigt worden, daß eine solche Lösung nicht existiert, wenn der Grenzparameter kleiner als ein bestimmter kritischer Wert ist. Die Einwirkungen des Strömungsindex, Auftriebsparameter und modifizierter Prantlzahl auf die Geschwindigkeitsund Temperaturprofile sind genauso intensiv besprochen worden, wie die globale Wärmeübertragung und die Verdrängungsdickte.

     

Torsion des unendlichen Halbraumes durch einen kreisförmigen Stempel

Übersicht Es wird ein numerisches Berechnungsverfahren für die Einleitung des Torsionsmomentes im unendlichen Halbraum durch einen kreisringförmigen Stempel, der fest mit dem Halbraum verbunden ist, entwickelt. Das gemischte Randwertproblem wird mit Hilfe geeigneter Singularitäten auf eine Fredholmsche Integralgleichung zurückgeführt und numerisch gelöst. Die Lösung der Integralgleichung gibt direkt die gesuchten Schubspannungen in der Kontaktfläche an. An Testreohnungen wird die Brauchbarkeit der Methode aufgezeigt.

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Torsion of an elastic half-space by a flat annular stamp

Summary The problem considered here is that of an elastic isotropic half-space twisted by the rotation of a flat annular stamp to which it is joined. Using singularities the mixed boundary value problem is reduced by means of Betti's reciprocical theorem into a Fredholm integral equation for the unknown shearing stresses in the contact region. Some numerical results are presented and compared with published ones.

     

Zur Kohärenz des laminaren Rieselfilms

Übersicht Eine Flüssigkeitsschicht, welche eine vertikale Wand hinunterfließt, löst sich in Einzelfäden auf, wenn ihre Dicke zu klein wird. Die Autoren berechnen die kritische Filmdicke, vom Minimum der potentiellen Energie der Oberflächenspannungen ausgehend, welche durch drei physikalische Konstanten charakterisiert wird.

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Summary A liquid film flowing vertically down a solid surface resolves into separate threads when its thickness becomes too small. The authors calculate the critical thickness, applying the principle of minimal potential energy to the entire surface stress, characterized by three physical constants.

     

Zur Stabilität von Schraubenfedern

Übersicht Es wird eine spezielle Lösung der nichtlinearen Kirchhoff-Clebschschen Gleichungen für die Schraubenlinie unter Längskraft- und Torsionsbelastung angegeben. Dann wird die Stabilität dieser Lösung untersucht, indem nach der Existenz einer Nachbarlage gefragt wird. Dabei muß sichergestellt sein, daß die Belastung konservativ ist. Die numerischen Ergebnisse werden mit der Knickformel von Haringx-Ziegler verglichen.

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Summary In this paper a special solution of the nonlinear Kirchhof-Clebsch-equations is treated for helical springs under compression and twist. The stability of this solution is found considering the state in an infinitesimal neighbourhood. On such boundary conditions, that the problem is conservative, numerical results are compared with the formula of Haringx-Ziegler.

     

Ein Randintegralgleichungsverfahren für temperaturmomentbeanspruchte Platten

Übersicht Es wird eine indirekte Randintegralgleichungsformulierung zur Behandlung des Biegungsproblems von Kirchhoffschen Platten mit konvexer, polygonaler Berandung unter beliebiger Temperaturbelastung vorgestellt. Dabei werden starr eingespannte, frei drehbar gelagerte und freie Ränder behandelt. Die polygonale Platte wird in einen rechteckigen Grundbereich eingebettet, wobei soweit wie möglich Übereinstimmung der Randbedingungen angestrebt wird. Unter Verwendung der Greenschen Matrix dieses Grundbereichs wird eine vektorielle Randintegralgleichung hergeleitet, welche nur mehr über einen Teil der tatsächlichen Berandung erstreckt werden muß. Auf diese Weise kann der Rechenaufwand bei der numerischen Lösung gering gehalten, aber die Genauigkeit gesteigert werden. Im Fall allseits frei drehbar gelagerter Platten gelingt weiters eine Reduktion zu einer skalaren Integralgleichung. Die Methode wird an Beispielen getestet, wobei Parallelogrammplatten mit verschiedenen Randbedingungen verwendet werden. Auf die Möglichkeit, das Verfahren zur Berechnung querbelasteter schubelastischer Platten vom Reissnerschen Typ mit Klemmschneidenlagerung heranzuziehen, wird in einem Anhang verwiesen.

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A boundary integral equation method for thermal bending of plates

Summary An indirect boundary integral equation method for the solution of bending of Kirchhoff-plates with arbitrary temperature loading and convex, polygonal planform is presented. Clamped, simply supported and free boundaries are considered. The polygonal plate is embedded in a rectangular domain, thereby applying coincidence of boundaries as far as possible. Using Green's matrix of this basic domain, a vectorial boundary integral equation is derived, which has to be defined on part of the actual boundary only. Thus, the computational effort in the numerical solution is decreased, while the accuracy increases. Reduction to a scalar integral equation in the case of simply supported plates is achieved. The method is tested in example problems by considering parallelogram plates under various boundary conditions. In an appendix it is shown, how to use the method for Reissnertype plates with simple support under pressure loading.

     

Theory of elasticity of a multilayered medium

Summary Though the basic equations of the linear theory of elasticity are well known, it is rather cumbersome to evaluate the exact state of stress and displacement for a multilayered medium. In this paper we discuss a formal solution based on integral transforms and matrix analysis. Essentially the problem is reduced to the evaluation of some basic matrices and thus the calculation takes place in a clearly arranged way. Here we restrict ourselves to plane elastic and isotropic layers and use cartesian coordinates.

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Zusammenfassung Obwohl die Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie wohlbekannt sind, ist die Ermittlung des genauen Spannungs- und Verschiebungszustandes eines vielschichtigen Mediums ziemlich mühsam. In der vorliegenden Arbeit wird mithilfe von Integraltransformationen und der Matrizenrechnung eine formale Lösung entwickelt. Das Problem wird im wesentlichen auf die Bestimmung einiger Grundmatrizen zurückgeführt, die eine übersichtliche Berechnung gestattet. Die Untersuchung beschränkt sich auf ebene elastisch-isotrope Schichten, wobei kartesische Koordinaten verwendet werden.

     

Zur Stabilität der dünnen Kegelschale

Zusammenfassung Die obigen Ausführungen über die Stabilität der dünnwandigen Kreiskegelschale stellen eine Ergänzung und Erweiterung einer früheren Arbeit des Verfassers dar, in der die Ausbeulgrenze für gleichförmig verteilte Auflast und für konstanten Außendruck ermittelt worden ist. Nach einer kurzen Zusammenstellung der früheren Ergebnisse wird die Stabilität der auf Torsion beanspruchten Kegelschale betrachtet. Zur Aufstellung der Beulbedingung wird das Energiekriterium verwendet. Da eine exakte Lösung des sich ergebenden Variationsproblems nicht durchführbar ist, wird zur angenäherten Lösung das Ritzsche Verfahren benutzt. Der dabei gewählte Ansatz wird beim übergang zum Zylinder mit der exakten Lösung identisch. Damit ist in der Regel eine gute Genauigkeit der Lösung gewährleistet, da praktisch auf Torsion beanspruchte Kegelschalen fast stets in einer Form vorkommen, die sich nur wenig von der einer Zylinderschale unterscheidet. Die sich ergebende Beulbedingung kann durch Vernachlässigung unwesentlicher Glieder erheblich vereinfacht werden, so daß ihre zahlenmäßige Auswertung leicht möglich ist und ein übersichtliches Kurvennetz ergibt. Dieses Kurvennetz kann schließlich mit hinreichender Genauigkeit durch eine recht einfache Näherungsformel wiedergegeben werden.     

The plane frictionless contact of two elastic bodies — the inclusion problem

Summary The mixed boundary value problem of the contact of two plane elastic bodies of arbitrary shape is solved for zero friction in their contact zone. It is reduced to a system of four singular integral equations referred to the contact zone and the remaining parts of the boundaries of the two bodies. The system is complemented by two more equations derived from the single-valuedness of the displacements along the contact boundaries. The solution of these equations yields the distribution of the contact stresses and the contact length. The method is applied to the symmetric case of an infinite elastic plate containing an oversized elastic inclusion, with and without axial forces applied to the plate at infinity. The evolution of contact relaxation and the progress of the gap between the inclusion and the plate is also given.

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Der ebene reibungslose Kontakt von zwei elastischen Körpern — Das Problem der Einlagerung

Übersicht Das gemischte Randwertproblem der Berührung zweier ebener elastischer Körper von beliebiger Form wird im Falle verschwindender Reibung in der Kontaktzone gelöst. Das Problem wird reduziert auf ein System von vier singulären Integralgleichungen, welche sich auf die Kontaktzone und die übrigen Ränder der zwei Körper beziehen. Das System wird mit zwei weiteren Gleichungen vervollständigt, welche von der Eindeutigkeit der Verschiebungen längs der berührenden Ränder hergeleitet werden. Die Lösung dieser Gleichungen gibt die Verteilung der Kontaktspannungen und die Kontaktlänge. Die Methode wird auf den symmetrischen Fall einer unendlichen elastischen Platte (mit und ohne axiale Kräfte auf den unendlich fernen Rändern), welche eine elastische Einlagerung mit Übermaß enthält, angewandt. Die Entwicklung der Kontaktauflösung und der Vorschrift der Lücke zwischen Einlagerung und Platte werden mit Hilfe der Lösung obiger Gleichungen angegeben.

     

The flow field of Newtonian fluids in cone and plate viscometers with small gap angles

Summary The flow of a Newtonian fluid in cone-plate viscometers is determined by solving the Navier-Stokes equations. It is shown in an order-of-magnitude analysis that the governing equations can be simplified and that the flow field can be split into two parts, if the angle between cone and plate is small. A closedform solution for the inner flow field is established through an iteration procedure. The zeroth-order solution in which the convective terms are neglected is inserted into the governing equations which then can be integrated again. The outer flow field is also described analytically. The solution satisfies the boundary condition of the vanishing radial velocity component at the free surface. The flow is described throughout the whole gap. Velocity components, pressure distributions, torque and normal force due to inertia are calculated. Pressure distributions and the maximum radial velocity are measured. The free surface boundary condition is experimentally examined.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung einer newtonschen Flüssigkeit in Kegel-Platte-Rheometern beschrieben. In einer Größenordnungsabschätzung wird gezeigt, daß die beschreibenden Gleichungen vereinfacht werden können und daß das Strömungsfeld in zwei Teile aufgeteilt werden kann, wenn der Winkel zwischen Kegel und Platte klein ist. Eine geschlossene Lösung für den inneren Bereich wird durch eine Iteration erhalten. Die Lösung nullter Ordnung, in der die Konvektion vernachlässigt ist, wird in die beschreibenden Gleichungen eingesetzt, die dann nochmals integriert werden. Das äußere Strömungsfeld wird ebenfalls analytisch bestimmt. Die Lösung erfüllt die Randbedingung der verschwindenden Radialkomponente an der freien Flüssigkeitsoberfläche. Die Strömung wird im gesamten Scherspalt beschrieben. Geschwindigkeitskomponenten, Druckverteilung, Drehmoment und Normalkraft aufgrund von Trägheitskräften werden berechnet. Druckverteilungen und maximale Radialgeschwindigkeiten werden gemessen. Die Randbedingung an der freien Flüssigkeitsoberfläche wird experimentell untersucht.

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With 14 figures and 4 tables     

Plane elastic solution for the second mixed boundary value problem and its application

Summary A solution is obtained for the second mixed boundary value problem with two boundaries loaded with external forces, and the other two boundaries simply supported. A rational mapping function formed as a sum of fractional expressions and complex stress functions is used for the analysis. A closed form solution can be obtained under uniform tensile and shearing loadings. These solutions are applicable to crack problems in linear elastic fracture mechanics. In order to illustrate the general solution, a double connected region is considered, in which interaction between a square hole with a crack extension and another crack is investigated. Stress distributions and stress intensity factors are obtained.

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Ebene elastinche Lösung des zweiten gemischten Randwertproblems und ihre Anwendung

Übersicht Die Lösung des zweiten gemischten Randwertproblems der ebenen Elastizität mit zwei kraftbeanspruchten und zwei gestützten Rändern wird dargestellt. Für die Analyse wird eine rationale Abbildung verwendet, die als Summe partieller Lösungen aus komplexen Spannungsfunktionen aufgebaut ist. Für gleichmäßige Zug- und Schubbeanspruchungen kann die Lösung in geschlossener Form dargestellt werden und ist verwendbar in Rißaufgaben der linear elastischen Bruchmechanik. Als Illustration der allgemeinen Lösung dient ein verzweigter Bereich der gegenseitigen Einwirkung einer quadratischen Öffnung mit Seitenkerbe und eines Risses. Die Spannungsverteilungen und Spannungsintensitäten werden dabei berechnet.

     

Die Berechnung der laminaren Hyperschallgrenzschichtströmung mit effizienten Lösungsverfahren

Zusammenfassung Am Beispiel der laminaren Hyperschallgrenzschicht, die ein stark nichtlineares und extrem steifes Anfangs-Randwertproblem darstellt, wird ein numerisches Lösungsverfahren entwickelt, das es erlaubt, Ergebnisse für eine vorgegebene Genauigkeit mit einem Minimum an Rechenaufwand erzielen zu können. In jeder Koordinatenrichtung ermittelt sich das Verfahren Schrittweiten und Approximationsordnungen selbst und überwacht die tatsächliche Genauigkeit der Lösung.

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The computation of the laminar hypersonic boundary layer flow by efficient solution algorithms

For the case of the laminar hypersonic boundary layer, which represents a strong nonlinear and extremely stiff initial-boundary value problem, a numerical solution algorithm is developed, which allows to get results for a prescribed accuracy with a minimum of computation effort. The algorithm determines itself step sizes and orders of the approximation in each of the coordinate directions, and controls the true accuracy of the solution.

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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung - 1.1 Aufgabenstellung - 1.2 Verschiedene Lösungsverfahren - 2 Entwicklung eines numerischen Lösungsverfahrens - 2.1 Vorbetrachtungen und Grundlagen der Ordnungssteuerung - 2.2 Ähnlichkeitstransformation und Netzspreizung - 2.3 Auswahl eines geeigneten Iterationsverfahrens - 2.4 Auswahl eines geeigneten Differenzennetzes - 3 Anwendung des Lösungsverfahrens auf die Hyperschall-Grenzschichtgleichungen - 4 Weitergehende Untersuchungen - 4.1 Instationäre Grenzschichten - 4.2 Unsicherheiten infolge ungenauer Stoffwerte - 4.3 Unsicherheiten infolge des Luftmodells und der Randbedingungen - 5 Schlußbemerkungen und Ausblick - 6 Literatur     

Heterogene Widerstandsverminderung bei turbulenten Rohrströmungen

Zusammenfassung Es wird über Experimente berichtet, bei denen eine viskoelastische Flüssigkeit in die Achse einer ausgebildeten turbulenten Rohrströmung eines newtonschen Fluids injiziert wurde. Bei der Injektion von höher konzentrierter Polymerlösung tritt eine deutliche Widerstandsverminderung auch dann auf, wenn die Lösung als elastischer Faden im Kernbereich mitgeführt wird, d. h. das Polymer noch nicht merklich in die wandnahe Schicht hineindiffundiert ist.Es werden Ergebnisse über die Veränderung des Druckabfalls längs des Rohres in Abhängigkeit von der Gesamtkonzentration des Polymers im Rohr, der Konzentration im injizierten Faden und der Reynoldszahl mitgeteilt und diskutiert. Weiterhin werden die Profile der Hauptströmung, der Turbulenzintensitäten in radialer und axialer Richtung sowie der Reynoldsschen Schubspannungen bei solchen Injektionsexperimenten bestimmt und mit denjenigen des reinen Lösungsmittels sowie einer homogenen Polymerlösung von gleicher, über den Rohrquerschnitt gemittelter Polymerkonzentration verglichen.Der Verlauf des dimensionslosen Geschwindigkeitsprofils und der Reynoldschen Schubspannungen zeigt, daß der Übergangsbereich zwischen viskoser Unterschicht und turbulentem Kern bei der Injektion wesentlich anders strukturiert ist als beim Vorliegen von homogener Widerstandsverminderung. Er ist sowohl im Vergleich zu einer newtonschen Flüssigkeit als auch zu einer homogenen Polymerlösung deutlich vergrößert, und es findet in ihm eine drastische Reduzierung der Reynoldsschen Schubspannungen statt. Die beobachtete Struktur der turbulenten Strömung deutet in Verbindung mit den gemessenen viskoelastischen Eigenschaften der injizierten Polymerlösung darauf hin, daß die großen Turbulenzelemente durch den Polymerfaden in ihrer Bewegung behindert werden. Infolgedessen übertragen sie weniger Energie auf die die Dissipation bewirkenden kleinen Wirbel, wodurch sich eine Widerstandsverminderung ergibt.

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Experiments in which a viscoelastic fluid is injected along the axis of a fully developed pipe flow of a Newtonian fluid are described. For relatively high polymer concentrations the injected polymer solution forms a thread, which remains intact down the entire length of the pipe. Under these conditions remarkable drag reduction is also observed, although the polymer has not diffused noticeably into the layers near the wall.The dependence of the local drag reduction along the pipe on the total polymer concentration in the pipe, the concentration of the injected polymer solution and the Reynolds number was investigated. Furthermore, velocity profiles, turbulence intensities and Reynolds shear stresses were measured and compared with those for the solvent and a premixed homogeneous polymer solution with the same effective concentration.The shape of the velocity profiles and the Reynolds shear stresses demonstrate that the structure of turbulence in the transition or buffer layer between the viscous sublayer and the turbulent core is markedly different in the injection experiments from that in a premixed homogeneous polymer solution. The size of this region is significantly larger than in a Newtonian fluid or a homogeneous polymer solution and the Reynolds shear stresses are drastically reduced. From details of the structure of the turbulence and the rheological properties of the injected polymer solution it may be concluded that the large-scale structures in the pipe are influenced by the polymer thread. It seems that their motion is restricted leading to a reduced transport of energy to the dissipating small eddies and thus to the occurrence of drag reduction.

Von der Abteilung Chemietechnik der Universität Dortmund genehmigten Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 11. – 13. Mai 1981 und der Ersten Europäischen Rheologen-Konferenz in Graz vom 14.–16. April 1982.