ε-迷向测度的刻画及应用

球面上的迷向测度刻画了凸体与其John椭球的关系,并在凸体的极值问题研究中起着核心作用.本文在非典范的欧式内积的结构下对迷向测度进行了新的刻画并给出一个测度是ε-迷向测度的充分必要条件,并用ε-迷向测度来刻画John定理.     

凸体的L_p John椭球与其L_p迷向性

利用凸体的L_p混合体积理论,证明了R~n中关于原点对称的凸体K的L_p迷向性等价于其L_p John椭球为球这一充要条件.作为应用,验证了R~n中单位立方体的L_p迷向性.最后,根据L_p John椭球的仿射不变性,证明了R~n中所有超平行体的L_p John椭球就是经典的John椭球.     

L_p-John椭球的极值性质

对于0n中的凸体K,Lutwak,Yang和Zhang定义了L_p-John椭球E_pK的概念.本文证明了下面两个结论:（i）对Rⁿ中任意原点中心对称凸体K,存在一个椭球E和一个超平行体P,使得当1≤p≤∞和0-1ω_n¹/nE■EpK■2ω_n^-1/nn^1/q-1/2EqP,且V（E）=V（K）=V（P）;当1≤p≤∞和2≤q≤∞时,有n^1/q-1/2EqP■EpK■E,且V（E）=V（K）=V（P）.（ii）设K是Rⁿ中John点在原点的凸体,则存在一个单形T,使得当1≤p≤∞和0pK■α_nn^1/q-1/2EqT,且V（K）=V（T）;当1≤p≤∞和2nKn^1/q-1/2EqT且V（K）=V（T）.     

与John基有关的三个等价等式及证明

John基在凸几何分析中占有重要的地位，在凸体空间关系的研究中起着重要的作用．本文研究了John基的基本性质，主要是通过研究与John基有关的三个等价等式，并证明它们的等价性．     

一类新椭球的体积不等式

基于LYZ椭球的定义和Lp对偶曲率测度,我们引入了一类新椭球,并得到了它的仿射性质.此外,进一步得到了椭球Υ2,q(K,E)和Υ2,q^*(K,E)的体积不等式及其等号成立条件.     

(p,q)-John椭球

本文主要研究(p,q)-John椭球.经典的John椭球和L_p John椭球均是(p,q)-John椭球的特殊情形.首先讨论(p,q)-John椭球的充分必要条件和连续性.得到了关于(p,q)-John椭球的不等式和包含关系,所得到的不等式和包含关系分别类似于Ball体积比不等式和John包含关系.     

关于对偶Steiner多项式的根的注记

受凸体的Steiner多项式的启发,定义了星体的对偶Steiner多项式,并利用对偶Aleksandrov-Fenchel不等式讨论了对偶Steiner多项式的根.进而,得到了关于对偶Steiner多项式的根的一些不等式,这些不等式恰好是关于Steiner多项式的根的不等式的对偶形式.     

迷向体存在性的一个直接证明

本文利用对称算子和仿射变换的方法,对任一凸体ΚС Rn直接证明了存在Κ的仿射变换象(Κ),使得(Κ)是迷向体,或称(Κ)处于迷向位置.     

Busemann-Petty问题的对偶均质积分形式

本文主要建立了凸体几何中Busemann-Petty问题的一个对偶均质积分形式,并将Funk截面定理推广到了对偶均质积分形式．     

运动星体内部径向方向上两点间的平均距离

本文研究了两个相交非空凸体的交集及其线性径向组合体内部两点间的平均距离问题.利用对偶均质积分和对偶混合体积两个工具,获得了平均距离的计算公式,推广了已有的对偶运动公式的相关结果.