椭圆、双曲线中“±b~2/a~2”的另一种几何解释

文 [1]给出了椭圆、双曲线中“± b2a2 ”的几何解释 ,本文给出中心在原点的椭圆、双曲线中“± b2a2 ”的另一种几何解释 ,并简要介绍其应用 .设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1,A(-a ,0 ) ,B(a ,0 ) ,P(x0 ,y0 )为椭圆上不同于A ,B的任一点 ,则kPA=y0x0 +a,kPB=y0x0 -a,∴kPA·kPB=y0 2x0 2 -a2 ,又点P(x0 ,y0 )在椭圆上 ,∴ y0 2 =b2a2 (a2 -x0 2 ) ,∴kPA·kPB=- b2a2 .　　类似地 ,对双曲线 x2a2 - y2b2 =1,A (-a ,0 ) ,B(a ,0 ) ,P(x0 ,y0 )为双曲线上不同于A ,B的任一点 ,有kPA·kPB=b2a2 .上述性质在求离心率范围、求轨迹方程…     

有心圆锥曲线与圆的联系

定理1如图1,设QQ′是圆x2 y2=a2的异于椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)长轴的一条直径,过直径端点Q,Q′分别作椭圆的切线,则切线的交点在椭圆的准线上.图1定理1图定理2从椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的两条准线上关于原点对称的两点E(a2c,y0),E′(-a2c,-y0)作椭圆的切线,则切线的交点在圆x2     

二次曲线的定点弦

文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1　椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-…     

椭圆与双曲线的两个统一性质

由于椭圆与双曲线具有统一的定义,所以二者具有很多统一的性质,本文给出这两种曲线的两个统一性质.定理1已知椭圆x2a2 y2b2=1的左,右顶点分别为A1,A2,已知直线l:x=t(|t|≠a,t≠0),P为l上一动点(P不在椭圆上),直线PA1与椭圆交于另一点M,直线PA2与椭圆交于另一点N,则MN与x轴交于定点.证直线PA2,PA1的斜率分别为k1,k2.联立b2x2 a2y2-a2b2=0,y=k1(x-a),(b2 a2k12)x2-2a3k12x a4k12-a2b2=0.解得xN=a(a2k12-b2)a2k12 b2,yN=-2ab2k1a2k12 b2(1)联立b2x2 a2y2-a2b2=0,y=k2(x a),解得xM=-a(a2k22-b2)a2k22 b2,yM=2ab2k2a2k22 b2(2)直线MN的…     

“椭圆与双曲线的两个统一性质”的相关结论

文[1]中介绍了定理1:已知椭圆x2a2 y2b2=1的左右顶点分别为A1,A2,已知直线l:x=t(|t|≠a,t≠0),P为l上一动点(P不在椭圆上),直线PA1与椭圆交于另一点M,直线PA2与椭圆交于另一点N,则MN与x轴交于定点.并对它进行了证明.同时文[1]认为用同样的证明方法可得出双曲线也具有这样的性质.对此笔者存有疑异,觉得“双曲线也具有这样的性质”中有欠严谨的地方.显然作者在求双曲线与过左顶点A1的直线的交点,即解方程组x2a2-y2b2=1y=k1(x a)(1)(2)时,将(2)代入(1)得:(b2-a2k12)x2-2a3k12x-a4k12-a2b2=0,便直接利用求根公式得出交点坐标,而没有考虑到…     

试题研讨(6)

题 1　 (2 0 0 2年广州市高三测试题 )已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,离心率 e= 12 ,且经过点 M(- 1 ,32 ) .( )求椭圆 C的方程 :( )若椭圆 C上有两个不同点 P、Q关于直线 y =4x m对称 ,求 m的取值范围 .命题溯源　此题根据 1 986年广东省高考试卷末题改编而成 ,主要考查学生求曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系 ,以及综合运用数学知识解决问题的能力 .原解思路　 ( )依题意 ,设椭圆的方程为　 x2a2 y2b2 =1 (a >b >0 ) ,则1a2 94b2 =1 ,ca =12 ,a2 - b2 =c2 .解得　 a =2 ,b =3 ,c =1 .∴　椭圆 C的方程为　 x24 y23 =…     

圆锥曲线的又一性质

有众多文献给出了圆锥曲线(即椭圆、双曲线、抛物线的统称)的美妙性质,本文再给出一条.定理　自圆锥曲线的准线与对称轴的交点引这条圆锥曲线的切线,则切线斜率的平方等于这条圆锥曲线离心率的平方.证　1)当圆锥曲线是椭圆时,不妨设椭圆的方程是x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,只考虑点A(- a2c,0 )(其中a2 =b2 +c2 ,c >0 )处的切线.可设切线的方程为y =k(x + a2c) ,将其代入x2a2 + y2b2 =1,得(b2 +a2 k2 )x2 + 2a4k2c x + a6k2c2 -a2 b2 =0 .令Δ=2a4k2c2 - 4(b2 +a2 k2 )·a6k2c2 -a2 b2 =0 ,可得k2 =ca2 ,即k2 =e2 .2 )当圆锥曲线是双曲线时,…     

从一道高考题看椭圆的一个性质

2009年山东高考(理科)第22题:设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a,b>0),过M(2,2),N(6,1)两点. (1)求椭圆E的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B且OA→⊥OB→?若存在,写出该圆的方程,并求AB的取值范围;若不存在,说明理由.     

椭圆中一个常见命题的推广

椭圆中的一个常见命题[1]:设A、B是椭圆xa22 yb22=1长轴的两个端点,CD是与AB垂直的弦,则直线AD与直线BC交点的轨迹方程是xa22-by22=1.把椭圆的一对特殊的共轭直径x轴与y轴演变为任意的一对共轭直径,有定理1设A(m,n),B(-m,-n)是椭圆ax22 by22=1一条直径的两个端点,CD是与AB的共轭直径平行的弦,设直线AD与直线BC交点M,则点M的轨迹方程为(b2m2-a2n2)(b2x2-a2y2) 4a2b2mnxy-a4b4=0.证明设M(x0,y0),则直线PA、PB的方程是y=n xy00--nm(x-m),y=-n xy00 mn(x m)由直线PA、PB生成的二次曲线[y-n-xy00--mn(x-m)]·[y n-xy00 mn(x m)]=0…     

圆上的几个结论在椭圆上的推广

本文用初等的方法把圆上的几个结论推广到椭圆上去 .为了节省篇幅 ,文中只证明椭圆上的结论 ,圆上结论的证明省略 .文中的a ,b都大于 0 .结论 1　AB是⊙O的直径 ,AC切⊙O于A ,BC交⊙O于P ,PD切⊙O于P交AC于D ,则D是AC的中点 .图 1结论 1′　如图 1 ,AB是椭圆x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴 ,AC切椭圆于A ,BC交椭圆于P ,PD切椭圆于P交AC于D ,则D是AC的中点 .证明　设切点P(m ,n) ,则切线PD的方程为b2 mx+a2 ny=a2 b2 ,①直线BC的方程为y=nm -a(x-a) ,②切线AC的方程为x=-a . ③联立②、③ ,可得C( -a ,2naa-m) ,从而AC的中…     

涉及椭圆与等差、等比数列的一个性质

笔者使用几何画板将椭圆O :x2a2 + y2b2 =1(a >b>0 )沿x轴向右平移 2a个单位得到椭圆O′:(x - 2a) 2a2 + y2b2 =1,再将椭圆O沿x轴向右平移22 a个单位并将其长、短轴都压缩到 22 倍得到椭圆O″ :(x - 22 a) 2(22 a) 2+ y2(22 b) 2=1.由于这三个椭圆两两间的公共弦均为x =22 a ,所以 ,三个椭圆恒过交点M ,N .于是得出椭圆与等差、等比数列的如下有趣性质 .图 1　定理 1图定理 1　如图 1,过椭圆O :x2a2 + y2b2 =1(a >b>0 ) (1)的中心O任作一条直线交椭圆O′:(x - 2a) 2a2 + y2b2 =1(2 )于A ,B两点 ,弦AB交椭圆O″:(x - 22 a) 2(22 a) 2+ …     

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题194已知双曲线c:x2a2-by22=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,P为c上任一点,双曲线c在点P处的切线l与两渐近线分别交于S,T.1)求△SOT的外接圆圆心的轨迹方程;2)求证:OS·OT为定值;3)求证:F1,S,F2,T四点共圆.图1题194图解设p(x0,y0),则有:b2x02-a2y02=a2b2.l的方程为:x0xa2-yb02y=1.联系方程:y=abx,x0xa2-yb02y=1.可解得S点的坐标为(bx0a-2bay0,bx0a-b2ay0).同理可求得T点的坐标为(bx0a 2bay0,-bx0a b2ay0).1)设△SOT的外接圆圆心O′的坐标为(x,y),则有|O′O|=|O′S|=|O′T|,即x2 y2=(x-bx0a-2bay0)2 (y-bx0a-b2ay0)2=(x-bx0a 2…     

巧用椭圆的切点弦方程解题

命题从椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）外一点p（x0,y0）作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB的方程为x0x/a2＋y0y/b2=1．     

圆锥曲线的一条美妙性质

圆锥曲线有很多美妙性质 ,本文给出一条新的性质 .定理　设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则直线 AB一定与该圆锥曲线相切 ,证明　 ( 1 )当圆锥曲线是椭圆时 ,不妨设椭圆方程是　 x2a2 + y2b2 =1 ( a >b>0 ) ,只考虑 A( - a2c,0 ) ,B( - c,b2a) ,则直线 AB的方程为 y =ca( x + a2c) ,将其代入椭圆方程得( b2 + c2 ) x2 + 2 a2 cx + a4- a2 b2 =0 ,其判别式Δ =0 ,故直线与椭圆相切 .( 2 )当圆锥曲线是双曲线时 ,同上可证 .( 3)当圆锥曲线是抛物线时 ,设抛物线方程得 y2 =2 px( p >0 )考虑点 A( - p2…     

椭圆和双曲线的其它形式方程

1.椭圆和双曲线的其它形式方程直线与x轴交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距;直线与y轴交于点(0,b),则称b为直线在y轴上的截距.直线在x、y轴上的截距分别是a和b,且ab≠0时,直线有截距式方程:x/a+y/b=1.椭圆标准方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0时,椭圆与x轴交于点(±a,0),与y轴交于点(0,土b),与直线的截距式方程类比,不妨也称椭圆的标准方程为椭圆的截距式方程.但根据不同的已知条件,直线还有以下     

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题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

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题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

有关椭圆"切准点"对焦点的几个性质

定义椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)上点M(x0,y0) (除长轴两顶点)处的切线l交右准线l2:x=a2/c于P,交左准线l1:x=-a2/c于Q,我们称点P、Q为切准点．笔者通过研究发现有关椭圆“切准点”对焦点有如下几个结论:     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

偶然中的必然

一、偶然的发现 题1 已知向量a=x·→i+(y-√7)→j,→b=x·→i+(y+√7)→j(x,y∈R),且|→a|+|→b|=4√2,动点P(x,y)的轨迹方程记为C.射线y=2√2x(x≥0)与曲线C的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与曲线C交于A、B两点(异于M).求证:直线AB的斜率为定值.