数学问题解答

2009年12月问题解答 (解答由问题提供人给出) 1826 锐角△ABC外接圆为Γ,AB＞AC,D是劣弧(BC)的中点,E、F分别是AB、AC的中点,过E点作AB的垂线交BD的延长线于G,过F点作AC的垂线交DC的延长线于H,CJ⊥GH,垂足为J,反向延长CJ,交AB于K.     

梯形与两腰有关的两组性质

<正>梯形作为一类特殊的四边形有其一些特殊的性质,受文[1]的启发,笔者又得到梯形与两条腰有关的两组性质,兹介绍如下,以飨读者.图1性质1如图1,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,两条腰AD、BC延长后交于O,过O分别引AB、AC的平行线交直线AC、BD、AB、CD于E、F、G、H,M为一条对角线AC的中点,直线AF、BM交于I,直线DM、CF交于J,则(1)EO=OF;(2)AF∥DM,BM∥CF;(3)点I、J在直线OG上,且I、J分别是OG、OH的中点.     

一道常见题的证明、一般化和拓展

<正>1问题呈现已知如图1,O是正方形ABCD的对角线AC与BD的交点,AF平分∠BAC,DH⊥AF于点H,分别交AB,AC与点E,G.求证:OG=1/2BE.本题的一种证法是应用梅涅劳斯定理,即如图1,△ABO被直线ED所截,     

三角形的五心初谈(三)

<正>5与五心联系的一些竞赛题选讲例20 O,H分别是锐角三角形ABC的外心和垂心,点D在AB上,使得AD=AH;点E在AC上,使得AE=AO.求证:DE=AE.证明作锐角三角形ABC的外接圆,圆心O在形内,垂心H也在形内.连接CO并延长交圆于F,连接AF,BF,OB.易知AHBF为平行四边形,所以BF=AH=AD;FO=AO=AE;     

三角形角平分线的一个性质及其应用

:。AB AC A一2弋黔{COS普一2一普·A)乙(l 定理设O口为△月刀‘的外接圆的内(外)角平分线交00于p(Pl),则AB十Ac一ZAPCOS晋}朋一AC}=ZAP,cos汀一A 2(2)证明如图l,乙A的内角平分线交O口于P,连结刀p,易证△月刀尸仍△月2义少,于是有 __月刀·月〔, J心J=~--气二于一一。 ZU夕又由S     

一道中考题的多种证明和拓展

<正>题目(2016·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.求证:DC=DP;一、本题的多种证明证法1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

面积法所证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:     

数学问题解答

2007年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1666如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H,求证:BH=CH.(辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校侯明辉114300)证明如图,过G作BC的平行线,分别交AB,AC于M,N,则易知BMHG=NCHG①.连结OM,ON,OE,OF.因为⊙O是△ABC的内切圆,所以OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.故OG⊥MN.所以O,M,E,G与O,F,N,G分别四点共圆,得∠OEG=∠OMG,∠OFG=∠ONG.又易知∠OEG=∠OFG,所以∠OMG=∠ONG,从而OM=ON,于是MG=NG②.由①、②得BH…     

一类“半角”问题基本结论及其应用

<正>1.基本图形与结论如图1,AB=AC,∠BAC+∠D=180°,∠EAF=12∠BAC,点E在BD上,点F在DC上,则有BE+CF=EF.证明延长DB至G,使BG=CF,连接AG,∵∠BAC+∠D=180°,∴∠GBA=∠ACF.∵AB=AC,∴△GBA≌△FCA,∴AG=AF,∠GAB=∠FAC.     

析解一道中考几何填空题

<正>中考填空题涉及知识点多,解法灵活,既能考查基础知识掌握情况,又能考查学生思维水平.现举一例,供参考.题目(绵阳市2017年中考题)如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=1/3AF,连接CM并延长交直线DE于点H,若AC=2,△AMH     

数学问题2492的另证、溯源及拓广

文[1]提出了一个涉及三点共线的几何命题,并利用面积法进行证明,技巧性强.本文从点共线问题出发,分别利用Menelaus定理和角元Ceva定理重新证明数学问题2492,并溯源分析其本质,探究得出拓广的结论.数学问题2492已知,如图1,CD,BE交于G,并分别交AB、AC于J、K,DK交AB于H,EJ交AC于I,DI与EH交于F,证明:A、F、G三点共线.     

巧用圆证明勾股定理

证明勾股定理的方法很多,下面利用圆的一些性质来证明它. 已知在Rt△ABC中,∠C=90°. 求证:AB2=AC2 BC2. 证法一如图1,以A为圆心,AB长为半径作⊙A交直线AC于D、E,交BC延长线于F,由相交     

数学问题解答

20 0 5年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )15 5 6　ABCD内接于圆 ,AC、BD相交于E ,F是AB的中点 ,G是CD的中点 ,FN⊥BD于N ,GK⊥AC于K ,FN ,GK的延长线交于H ,HE的延长线交AD于M .求证 :HM ⊥AD .(河南方城县博望二中　向中军　 4 732 5 4)证明　如图 ,连结NK .FN ⊥BD ,GK ⊥AC ,故∠FNB =∠GKC=90° ,故E ,N ,H ,K四点共圆 .又ABCD内接于圆 ,故∠FBN =∠GCK ,△FBN ∽△GCK ,从而 BNCK =BFCG,F是AB的中点 ,G是CD的中点 ,故 BFCG =BACD.易知△BAE ∽△CDE ,故 BACD =BECE.从而 BNCK =…     

数学奥林匹克问题选登

1992年3月号问翅解答 (解答由供坦人给出) 19.设H是平面上△月刀‘区域的任一点,月万、刀万、‘万的延长线交△ABc三边于D、E、F,求证:在△月刀‘区域,存在一个以△刀召尸的某两边为邻边的平行四边形. 证如图,G是△月刀‘的重心,D‘、E‘、F‘分别为肥、“、AB边上中点,则△A肥区域被 一48一划分为六个区域:△AF‘G,△BF‘G,△胳G,才△C刀’G,△口召‘G,△AE‘G,不妨设H点落在△cR,G区域,如~口一口刀一_口召,图易知:筋镇’,兹镇l,篇、,,由塞瓦定李理,得豁·器·釜一1=>器一器·纂、1,器一豁·器、影冷艺BFD)艺FDE,乙”D“)匕…     

“任意等分线段”的新方法

数学课上,赵老师给我们布置了这样一道题:如图1,已知在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,AD=mAF,AB=nAE,FE与AC交于点G,试探索AG与AC的关系.题目中有平行线,但没有相似三角形.为了利用相似三角形的性质,我想到了延长FE交CB延长线于点H.     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

面积法巧证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:1OI-O1J=O1B-O1D.图1这是《中等数学》2006年第1期奥林匹克数学问题高中169.这里利用面积证法给出一个连初中生都能知晓的证法.证明连结D     

数学问题解答

611.在菱形ABCD中,AC=AD,点O为AC内任意一点,经O的任意直线分别交AB、BC、CD、DA(或它们的延长线)于点E、F、G、H(不包括菱形顶点)。试证:     

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

经过三角形顶点的直线的一个性质与推论

<正>性质如图1,O是△ABC的外心,经过A点的直线交直线BC于点D (O,B,C不在直线AD上),P是直线AD上任意一点(A,P不重合),以PA为直径的圆分别与AB,AC的另一个交点为E,F,PM∥AO交EF于点M.则BD/CD=EM/FM.证明延长PM交以PA为直径的圆于点Q,连接QE,QF.过O点作OG⊥AB于G,