具有四项的指数丢番图方程(Ⅲ)

根据定理 １,２和 ３;求任何一个方程 ａ~ｘ－ｂ~ｙ＝ｎ,ａ~ｘｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ±１＝０ 或ａ~ｘ±ｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ＝０（ｘ,ｙ,ｚ,ｗ∈≥０）的解都是很简单的,此处ａ,ｂ是适合 ２ ≤５ ａ,ｂ≤５０的互素的两个整数,ｎ是适合１≤ｎ≤８００００的整数．     

具有四项的指数丢番图方程(Ⅲ)

根据定理 １,２和 ３;求任何一个方程 ａ~ｘ－ｂ~ｙ＝ｎ,ａ~ｘｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ±１＝０ 或ａ~ｘ±ｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ＝０（ｘ,ｙ,ｚ,ｗ∈≥０）的解都是很简单的,此处ａ,ｂ是适合 ２ ≤５ ａ,ｂ≤５０的互素的两个整数,ｎ是适合１≤ｎ≤８００００的整数．     

二项式定理及二项式系数的性质

二项式定理及二项式系数的性质湖南省浏阳市第九中学谢世裕［基本概念］１·二项式定理是在学生熟悉乘法公式和组合数性质的基础上提出的重要定理．这个公式即为二项式定理，右边的多项式叫做（ａ十ｂ）ｎ的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数．２．（ａ＋ｂ）ｎ的二项...     

某些环的变换性条件

设Ｚ（Ｒ）是环Ｒ的中心，本文证明了下列的结果：（１）若Ｒ是一个Ｋｏｔｈｅ半单纯环，且对任意ａ，ｂ属于Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ），一含有Ｘ＾２ｔ ｎ＝ｎ（ａ，ｂ）个Ｙ的字ｆＸ（Ｘ，Ｙ）及一整系数多项多式ψＸ（ｘ，ｙ）使得ａｂ＾ｋ－ｆＸ（ａ，ｂ）．ψＸ＇（ａ，ｂ）属于Ｚ（Ｒ）则Ｒ是交换环；（２）若Ｒ是一个Ｂａｅｒ半单纯环，对任意的ａ，ｂ属于Ｒ，都存在一自然Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ）≤１，一含有Ｘ＾２和ｎ     

2~a＋2~b＋2~n为完全平方数的充分条件

２~ａ＋２~ｂ＋２~ｎ为完全平方数的充分条件沈阳市于洪区供销合作社孙哲题已知２ａ＋２ｂ＋２ｎ是完全平方数（ａ、ｂ是已知自然数），求自然数ｎ．关于本题解的讨论是一个有趣而又困难的问题．本文对此进行初步探讨，给出２ａ＋２ｂ＋２ｎ为完全平方数的一个充分条件．...     

某些环的交换性条件

设Ｚ（Ｒ）是环Ｐ的中心，本文证明了下列的结果：（１）若Ｒ是一个半单纯环，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ），一含有Ｘ￣２和ｎ＝ｎ（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ的字ｆ＿Ｘ（ｘ，ｙ）及一整系数多项式使得则Ｒ是交换环；（２）若Ｒ是一个Ｂａｅｒ半单纯环，且对任意的ａ．ｂ∈Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ）≤ι，一含有ｘ￣２和ｎ＝ｎ＇（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ的ｆ＿Ｘ（ｘ，ｙ）及一整系数多项式使得其中ι是一固定的自然数，那么，Ｒ是一个交换环。     

关于f(x)=(a~x 1)~(1/x)的单调性及应用

罗增儒先生在《高中数学竞赛辅导》一书中给出了如下一道问题：问题　设ｘ、ｙ是不相等的正实数，ｍ、ｎ是正整数，且ｎ＞ｍ，令ａ＝ｍｘｍ＋ｙｍ，ｂ＝ｎｘｎ＋ｙｎ，则ａ与ｂ的大小关系是（　　）．　（Ａ）ａ＞ｂ　　　　（Ｂ）ａ＜ｂ　（Ｃ）ａ＝ｂ（Ｄ）不能确定笔者发现，问题中的条件“ｍ、ｎ是正整数”，可放宽为“ｍ、ｎ是不为零的实数”．本文通过建立函数ｆ（ｘ）＝（ａｘ＋１）１ｘ，用初等方法研究其单调性，从而较方便地解决这个“问题”．为此，我们先给出如下一个预备问题：１　预备问题及证明预备问题　对于函数ｇ（ｘ）＝…     

有限Abel群的一个特征

本文证明了有限群Ｇ是Ａｂｅｌ群当且仅当Ｇ_ｒ满足下列条件：（Ⅰ） Ｇ有一个幂自同构 ａ使得 ＣＧ（ａ）是一个初等 ＡｂｅｌＺ一群．（Ⅱ）Ｇ没有子群与２－群＜ａ,ｂ｜ａ~２~ｎ＝ｂ~２~ｍ＝１,ａ~ｂ＝ａ~（１＋２）~（ｎ－１）＞同构,其中ｎ≥３,ｎ≥ｍ．利用该结果,作者还证明若有限群Ｇ有一个幂自同构ａ使得Ｃ_Ｇ（ａ）是一个初等Ａｂｅｌ２－群,则Ｇ是幂零群     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０４６求所有这样的△ＡＢＣ，它的三个边长ａ，ｂ，ｃ与面积Ｓ的数值恰好组成一组从小到大排列的连续自然数．解不妨设ａ＝ｎ－１，ｂ＝ｎ，ｃ＝ｎ＋１，ｓ＝ｎ＋２，这里ｎ＞１，ｎ∈Ｎ．将ａ，ｂ，ｃ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１０１设ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ是正整数，且ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄ＜ｅ，［ｍ，ｎ］是ｍ与ｎ的最小公倍数．求：１［ａ，ｂ］＋１［ｂ，ｃ］＋１［ｃ，ｄ］＋１［ｄ，ｅ］的最大值．解设Ｓ＝１［ａ，ｂ］＋１［ｂ...     

保加利亚教育科学部第50届数学奥林匹克试题(续完)

4　ｎ≥ 2为固定的整数 ,定义任意整数坐标点 (ｉ,ｊ)关于ｎ的余数是ｉ ｊ关于ｎ的余数 .找出所有正整数数组 (ａ ,ｂ)使得以 (0 ,0 ) ,(ａ ,0 ) ,(ａ ,ｂ) ,(0 ,ｂ)为顶点的长方形具有如下性质 :1 )长方形内整数点以 0 ,1 ,2 ,… ,ｎ - 1为余数出现的次数相同 ;2 )长方形边界上整数点以 0 ,1 ,2 ,… ,ｎ- 1为余数出现的次数相同 .解　长方形边界上共有 2 (ａ ｂ)个整点 ,则有ｎ|2 (ａ ｂ) .长方形内共有 (ａ - 1 ) (ｂ - 1 )个整点 ,∴ｎ|(ａ - 1 ) (ｂ - 1 ) .当ｎ =2时 ,为使其中被 2除余 0 ,1的点的个数相同 ,则必有 2 |(ａ - 1 ) (…     

纠正一道例题的推广的错误

现行高中代数（下）课本在不等式一章中有这样的一道例题：设ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，求证ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．文［１］中作出如下的推广：命题１若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ，ｎ∈Ｎ，则ａｍ＋ｎ＋ｂｍ＋ｎ＞ａｍｂｎ＋ａｎｂｍ命题２若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ...     

变通公式 巧妙解题

变通公式巧妙解题２５１７００山东惠民县一中吴庆余等差数列（ａｎ）：ａｎ＝ａ１十（ｎ－１）ｄ公式可巧妙地将ａｎ与Ｓｎ转换，用此公式处理ａｎ与Ｓｎ关系思路清新，功效独到．例１等差数列ａｎ前ｎ项和Ｓ。一５；ｌ’＋３ｎ求通项ａ。（例２在等差数列｛ａ。｝中，前...     

一个使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的条件

一个使用公式ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１应注意的条件陆志昌（山西太原幼儿师范学校０３００２７）１问题的提出已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ有下列关系：ａ１＝３，ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１，求ａｎ．解ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１（１）ａｎ＝２Ｓｎ－１＋２ｎ－...     

“异面直线上两点间距离公式”教学探微

“异面直线上两点间距离公式”教学探微２０１５００上海市金山县中学戴丽萍现行高中课本《立体几何》（全一册）Ｐ４２上通过例２：已知两条异面直线ａ，ｂ所成的角为θ，它们的公垂线段ＡＡ’的长度为ｄ，在直线ａ，ｂ上分别取点Ｅ，Ｆ，设Ａ’Ｅ＝ｍ，ＡＦ＝ｎ，求ＥＦ...     

初二上期数学半期试题

一、判断题（每小题２分,共１０分）请在下列各题的括号内,正确的打“〖”,错误的打“∨”．１．ｘ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａｘ＋ｂｘ＋ｃｘ是因式分解．（　）２．３ａ２－５ａｂ＋ａ＝ａ（３ａ－５ｂ）．（　）３．（ａ－ｂ）（ｘ－ｙ）－（ｂ－ａ）（ｘ＋ｙ）＝２ｘ（ａ－ｂ）．（　）４．三个角对应相等的两个三角形全等．（　）５．三角形任意一边上的中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形．（　）二、填空题（每空３分,共３０分）１．２ｍ（ｘ－ｙ）＝（　　　　）（ｙ－ｘ）．２．ａ（ｍ－ｎ）２＝（　　　　）（ｎ－ｍ）２．３．…     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年９月号问题解答懈答由问题提供人给出）ＩＯ３１已知ａ，ｂ，ｃ，。，ｎ为正数，求证：ｍｂ＋ｎｃ一。ｃ＋。ａ一。ａ＋ｎｂ的充要条件是ａ—ｂ—ｃ证明充分性是显然的．必要性：由。ｂ＋ｎｃ一。ｃ＋ｎａ一。ａ＋ｎｂ，得以上三式相乘，便得ｍ‘（...     

一类数列通项问题的求解

一、问题的提出已知两等差数列｛５ｎ＋２｝和｛４ｍ＋１｝（ｍ，ｎ∈Ｎ）试求两数列中相同项组成的新数列的通项公式．在教学中发现，一些学生通过分析，采用归纳猜想的方法取有限项，猜出新数列仍是一等差数列，且它的公差是两已知数列公差的最小公倍数而得解．但问题是，新旧数列公差倍数关系这个结论只是猜想，缺乏必要的理论依据，这里，我们试用二元一次不定方程式求解公式先来探讨这一问题的一般情形．二、结论的导出设两等差数列为｛ａｍ＋ｂ｝和｛ｃｎ＋ｄ｝（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈ｚ）公差分别ａ和ｃ，其相同项组成的新数列为｛Ｘｎ｝…     

二项式定理在数列求和中的应用

所谓二项式定理,是指下面这个公式：（ａ＋ｂ）ｎ＝Ｃ０ｎａｎ＋Ｃ１ｎａｎ－１ｂ＋…＋Ｃｒｎａｎ－ｒｂｒ＋…＋Ｃｎｎｂｎ．其中ｎ是自然数．本文将举例说明,对于某些含有组合数的数列求和问题,充分利用二项式定理,可以使问题得到巧妙的解决．一、系数成等差数列的...     

广义双循环半群和Jones半群

本文刻画了广义双循环半群Ｂｎ＝〈ａ,ｂ｜ａ＾ｎｂ＝１〉和Ｊｏｎｅｓ半群Ａｎ＝〈ａ,ｂ｜ａ＾ｎ＋１ｂ＝ａ〉（ｎ≥１）的结构;证明了每个Ａｎ都具有Ｐ．Ｒ．Ｊｏｎｅｓ所发现的半群Ａ＝〈ａ,ｂ｜ａ＾２ｂ＝ａ〉的所有重要性质,特别地,证明了Ａｎ,Ａｍ可互相嵌入,从而得到：第三个Ｄ－非平凡的无幂等元「０－」单半群若不含Ｃ＝〈ａ,ｂ｜ａ＾２ｂ＝ａ,ａｂＴ＾２＝ｂ〉,则必含每个Ａｎ或它们的对偶,作为推论,每人广义