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三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc. 相似文献
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三角形旁心的两个性质 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究,文[3]类比给出了三角形内心的两个性质.受他们的启发,笔者对三角形旁心做了类比探究,发现三角形旁心也有类似的性质. 相似文献
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四面体内心与旁心的一个有趣性质 总被引:3,自引:0,他引:3
文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理 设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1 点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1 定理 1图证 如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC… 相似文献
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文[1][3]对三角形内心,旁心的性质进行了研究,文[4]给出了四面体内心与旁心的一个有趣性质,笔者深受启发,探究出空间四面体内心和旁心的另外两个性质,为行文方便,我们把文[4]的两个结论作为本文的两个引理. 相似文献
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三角形外角平分线三角形的性质 总被引:2,自引:0,他引:2
关于与三角形相关联的三角形 ,诸如垂足三角形、伪垂足三角形、中点三角形、内角三等分线三角形、外角三等分线三角形等等的研究 ,近年来有很多新的结果 .而对三角形外角平分线的交点所构成的三角形 (以下简称“三角形外角平分线三角形”)的研究并不多见 ,本文给出三角形外角平分线三角形的一些性质 ,旨在抛砖引玉 ,使对有关三角形的研究更趋完善 .图 1如图 1 ,△ ABC是一任意三角形 ,△ DEF是其外角平分线三角形 .设△ ABC的面积为△ ,外接圆半径为 R,三内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c;△ DEF的面积为△ 0 ,三内角 D、E、F所… 相似文献
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如图1,△ABC是一任意三角形,△DEF图1是它的外角平分线三角形,记△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,面积为S0,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径为ra、rb、rc,△DEF的面积为S.经过探讨,笔者现已得到:定理S=2pR.证明因(p-a)(p-b)(p-c)=r2p,ab bc ca=p2 4Rr r2,得p-1a p-1b 相似文献
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本文旨在给出一个与锐角三角形相伴的新三角形,得到新三角形与原三角形的半周长、面积、外接圆半径及内切圆半径间的大小关系,以及两三角形的内角间的一个恒等式. 相似文献
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三角形垂心的一个性质 总被引:1,自引:1,他引:0
本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点, 相似文献
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命题:锐角三角形中,任意一个内角的正弦(或正切)大于其他两个内角的余弦(或余切)。证明设锐角三角形的三个内角为A、B、C。因为三角形内角都为锐角,所以有A B>90°A>90°-BsinA>sin(90°-B)sinA>CosB。同理sinA>cosC。(类似可证tgA>ctgB,tgA>ctgC)这个性质虽很简单,但熟悉它后对解题带 相似文献
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文 [1 ]用解析法发现了三角形外心的一个性质 ,用此法还不难发现三角形垂心的如下性质 :定理 若点 D在△ ABC的边 AB上 ,且∠ CDB =α,O为 C在 AB边所在直线上的射影 H1、H2 、H分别为△ ADC、△ DBC、△ ABC的垂心 ,则( 1 ) | H1H2 | =| AB| . | cotα| ;( 2 ) | H1H | =| OA| . | cot B cotα| ;( 3) | H2 H | =| OB| . | cot A - cotα| .证明 ( 1 )建如图 1所示的平面直角坐标系 ,设 A( a,0 ) ,D( d,0 ) ,B( b,0 ) ,C( 0 ,c) .过 D点且与 AC垂直的直线方程为y =ac( x - d) .令 x =0 ,可得y =- adc,故 H1( 0… 相似文献